轨迹问题方法与例题大全

1、轨迹问题、什么是轨迹？ 轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系 、求轨迹的一般方法：1 .直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步 骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”,可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,P(x,y)却随另一动点 Q(x' , y')的运动 x' ,y'表示为x,y的式子，再代入 Q的轨2 .定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)或从曲线定义出发建立关系式，从而求出

2、轨迹方程。3 .代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点 而有规律的运动，且动点 Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将 迹方程，然而整理得 P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4 .参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。5 .交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。6 .几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动

3、点运动规律和动点满足的条件，然而得出 动点的轨迹方程。三、注意事项：1 .直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x' =f(x,y),y' =g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程； 几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。2 .要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。3 .求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 四、例题分析：(一)、直接法题型：1、在平面直角坐标系 xOy中，点A(4 , 0)、B(1 ,

4、 0),动点P满足AB AP = 6| PB | .求点P的轨迹C的方程.2、(2009湖南)在平面直角坐标系xOy中，点P到点F (3, 0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C;3、(2009海南)已知椭圆C的中心为直角坐标系 xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1(1)求椭圆C的方程OP(2)若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，e_e =e (e为椭圆C的离心率)，求OM点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。4、(2007四川)已知。O的方程是x2+y2-2=0,O

5、O的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向。和l y nFJ-1 O 1xC的方程;OO所引的切线长相等，则动点 P的轨迹方程是5. (2007福建理)如图，已知点 F(1,0),直线l :x = -1 , P为平面上的动点，过 P作直线i的垂线，垂足为点q,且QpQF4eP"FQ"”.求动点p的轨迹c的方程;(二)、定义法与几何法题型:1、已知动圆过定点F (0, 2),且与定直线L : y = -2相切.求动圆圆心的轨迹2、一动圆与两圆 x2 + y2 =1和x2 + y2 +8x +12 = 0都外切，则动圆圆心的轨迹为3>AABO, A(0,-2),B(

6、0,2),且CA, AB, CB成等差数列，则C点的轨迹方程是4、设F,、F2是双曲线x2-y2 =4的两个焦点，Q是双曲线上的任意一点，从 F1引/FQF 2平分线的垂线,垂足是P,求点P的轨迹方程5、已知M是以点C为圆心的圆(x+1)2+y2=8上的动点，定点 D(1,0).点P在DM上，点N在CM上,I T T -I且满足DM =2DP,NP DM =0.动点N的轨迹为曲线 E .求曲线E的方程;226、已知椭圆 1+二=1(a >b A0)的左、右焦点分别是 Fl (c, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点，满 a2 b2足|F1Q |=2a.点P是线段FiQ与该椭圆的

7、交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT,TF2=0,|TF2|# 0.(I)设x为点P的横坐标，证明|FP|=a+£x； a(n)求点t的轨迹C的方程；7、(2007北京文)如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点M(2,0), AB边所在直线的方程为x 3y 6 = 0点T(1,1)在AD边所在直线上.(I)求AD边所在直线的方程；(II )求矩形ABCD外接圆的方程；(III )若动圆P过点N(2,0),且与矩形 ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.8、如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿BP=150m / APB=60,问怎能样运才能最省

8、工？AR BP运至U P处，其中 AP=100m(三)、代入法题型：1.过椭圆4x2+9y2=36内一点P(1,0)引动弦AB,则AB的中点M的轨迹方程是()2、若A点是圆(x-2) 2+(y-2) 2=1上的动点，点B(1,0),M分AB的比为2:1,则M点的轨迹方程是:222、(2009江西)已知点Pi(Xo,yo)为双曲线4=1 (b为8b b正常数)上任一点，Fi为双曲线的右焦点，过Pi作右准线的垂线，垂足为A,连接FiA并延长交y轴于F2,求线段P P2的中点P 的轨迹E的方程；3、(2006上海文)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为1、F (-石0)，

9、右顶点为D(2,0)，设点A,1,1 .I 2)(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程;4、如图，从双曲线 x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为 N。 求线段QN的中点P的轨迹方程。5、已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原点，关于 x轴，关于y轴，关于直线y=x ,关于直线y=-x , 关于直线y=3对称的曲线方程。(四)、参数法题型：1、直线x +一=1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是 . a 2 -a22、(2004辽宁)设椭圆方程为 x2 +2一=1 ,过点M (0, 1)的直线l交椭圆于点A、B,。是坐标原点，点P41

10、 ,一 满足OP = (OA+OB)，当l绕点M旋转时，求：动点 P的轨迹方程；23、(2004福建)如图，P是抛物线C: y=2x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.2(I)若直线l与过点P的切线垂直，求线段 PQ中点M的轨迹方程；(n)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点试求LST_I +LSL!的取值范围|SP| |SQ|4、经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。22x y5、(2007天津理)设椭圆行十、=1(a Ab A 0)的左、右焦点分别为Fi, F2, A是椭圆上的一

11、点，AF2_LFiF2, a b-1原点O到直线AFi的距离为一OFi .3(1)证明 a = J2b ；(n)设Qi, Q2为椭圆上的两个动点， OQ1 IOQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD ,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.6、( 2005广东)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点 O的两不同动点 A B满足AO±BO (如图4所示).(I)求 AO即重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(n) 4AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.(五)、交轨法题型21、抛物线y - 4Px(p > 0)的顶点作互相垂直的两弦 OA