初中数学竞赛矩形和菱形

1、矩形和知识总结归纳一 . 矩形的定义：定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形，矩形也是我们通常所称的长方形二 .矩形的性质：（ 1）矩形具有平行四边形的所有性质（ 2）矩形的对角线相等（ 3）矩形的四个角都是直角（ 4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴三 .矩形的判定：（ 1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（ 2）对角线相等的平行四边形是矩形（ 3）有三个角是直角的四边形是矩形四 .直角三角形的一条重要性质：（ 1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（ 2）性质可以用来解决有关线段倍分的问题五 .菱形的定义：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形六 .菱形的性质：（ 1）菱形具有平行

2、四边形的所有性质（ 2）菱形的四条边相等（ 3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角七 .菱形的判定：1 ）由定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形(2)由对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(3)由边的关系判定：四条边相等的四边形是菱形.典型例题.矩形【例1】 已知矩形的对角线长为 13,周长为34,求这个矩形的面积.【例3】如图，在4ABC中，AB AC, D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE【例2】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O,且 AOD 120 , AC 12 cm,求AB的长.【例4】如图，矩形ABCD的对

3、角线 AC、BD相交于点O, E、F、G、HOB、OC、OD的中点，试说明：四边形EFGH是矩形.【例5】如图，在4ABC中，AB求证：AC DE .AAC , AD、AE分别是 BAC与 BACB也I勺平分线AE，【例6】如图，在矩形ABCD中,AB 16, BC 8,若将矩形沿AC折叠，值E 处，CE是矩形.【例7】如图，折叠矩形 ABCD的边AB,使点B落在AC上的点F处，图B痕为 AE ,右BCF 2,交于点F ,求AF的长.【例8】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将MBE折叠后得到人ACDBDF求BC的长.直角三角形的斜边中线B -AE E【例9】如图，已知平行四边形ABCD

4、, AC、BD相交于点 O, P是平行仙边形 /BCD外一点，且APC BPD 90 .求证：平行四边形 ABCD是矩形.【例10如图，平行四边形 ABCD中，DELAB于E,【例11如图，在 ABC中，AB AC, BD平分证：CD 1BE .2GE求BE的长.【例12如图，4ABC的边BC的中点为N,过A的任一直线 AD BD与D , CE AD于E .求证:NE ND .【例13如图，分别以 4ABC的AC、BC边为腰,【例14】 BCD , M为DE中点，求证：AM如图，已知五边形 ABCDE中， ABC MB ME .AEDE【例15】如图，菱形 ABCD中， B 60 , ABAF

5、 ,求4AEF的周长.A、 B为直角顶点，作等腰直角ACEA 口等腰直角2 cm ,求证:DEF、【例16】【例17】如图所示，在菱形 ABCD中，AC与BD交于O, AC 6 C BD 8 JM萩>BCD的面积.如图，P是菱形 ABCD对角线BD上一点，PEAB于点Eb <PE 4/Cm ,贝博 P冲BC的距离【例18】如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放到一起，重合的四边形ABCD是菱多&1果g援形请给是多少?【例19】如图，在口 ABCD中，EF经过对角线的交点O,且 EFAC分别交CD-出证明，如果不是菱形请说明理由.明四边形 AECF是菱形.【例20】如图，在4AB

6、C中， ACB 90 , AD是BAC的平分线，交, B分上的高,交AD于F , DE AB于E ,求证：四边形CDEF是菱形.EC思维飞跃【例26】设凸四边形的4个顶点满足条件： 每一点到其他3个点的距离之和都相等.试判断这个四边形是什么四边形？请证明你的结论.【例27】已知， ABC中， B 2 C, M是BC中点，AD BC于D.求证:1DM -AB .2【例28】如图所示，矩形 ABCD内一点P到A、B、C的长分别是【例29】如图，已知矩形 ABCD中，CE BD于点E,延长EC ,/与证：CF BD .【例30】APD的长.,求BAD的平分线F相交于点F ,求C-如图，点P是边长为1

7、的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，第 M、M N分别是AB、FBC边的中点，MP NP的最小值是多少?【例31 【例32】作业1.2.3.4.5.6.7.8.RD E .求证:CBEAB如图，在矩形 ABCD中，E为CB的延长线上一点，且AC CE ,DF为AE的明如图，在口 ABCD中，AB 2AD , F为AB的中点，CE ADBFE 3 AEF .如图,如图,如图,求证：BF FD .在口 ABCD中，AC、BD相交于点O,且 AOB使等边三角显亍2,求BC的长.在矩形 ABCD中，AB 3, BC 4 ,若将矩形折叠，使点与,B重合，求折痕矩形 ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D

8、落在BC上的F处A24,求FC的值.能判定一个四边形是菱形的条件是(A.对角线互相平分且相等B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相垂直且对角相等D.对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角已知菱形周长为 24, 一条对角线长为 8,求菱形的面积.C长.设ABE6, 4ABFADC EF C的面积是一 D ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM和CAN, P是BC的中点，求证：PM = PN .如图，在 ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上， CE/ BF ,连BE、CF .(1)求证：BDF© CDE .(2)若AB AC,求证：四边形 BFCE是菱形.已知：锐角三角形 ABC中，BD、CE是两条高，F、G分别是9. 如图所示，在 4ABC中，BAC 90AD BC 于 D