《高中物理思维方法集解》随笔系列——“比较方法”在高中物理解题中的应用

1、比较方法”在高中物理解题中的应用所谓 “比较方法 ” ， 是通过对研究对象之间的特征、 概念和规律的差异性和类同性的比较，从而发现它们具有相似或相同规律的一种思维方法。 简单地说， 比较过程， 即人脑确定研究对象之间异同关系的思维过程。有比较就有鉴别， “比较法 ” 与 “鉴别法 ”密切联系的（或分类法） 。鉴别是指在比较的基础上，按照一定的标准把多个研究对象划分为几个不同的类型或几种不同部分的思维形式。在思维科学里所谓“比较方法” ，即指“比较-鉴别”的思维方法。德国著名的哲学家黑格尔说： “我们所要求的，是要能看出异中之同和同中之异。 ”此语特别强调了比较方法的重要意义和特殊功能。比较法，

2、是物理教学和物理解题中， 常用的思维方法。例如在高中物理中， 我们通过电流与水流的类同性 “比较 ” ，建立了电流、电压的概念；通过光的特性与电磁波的类同性“比较” ，建立了光的电磁说。从习题解决的角度看， 比较不但是对题目本身的不同因素之间的比较， 更有实用价值的，是对当前解决的 “习题负载 ”与记忆积淀的 “解题经验 ” 的对比。这里所谓 “解题经验 ” ，诸如自由落体运动、平抛运动、匀速圆周运动、简谐运动（弹簧振子、单摆） 、竖直平面内的圆周运动、匀强电场的类平抛运动、匀强磁场的圆周运动、交流电能的传输、波的干涉、光的折射、全反射、光电效应、物质波、核反应等等许多类型的经典问题解决的经验

3、或操作程序。或者，按时下流行说法，也可称作物理模型。因此， 建立物理模型是熟练运用比较法解题的基础。 熟悉物理模型、 思维方法及其解题步骤，在处理 “当前问题 ”时方可相互对比、参照、灵活运用。应该指出， 本书里所谓比较主要是指两个研究对象之间的比较。既有类同（似）性比较类比，也有差异性比较对比。解题实践表明， 巧妙地运用比较法能迅速形成解题思路， 降低思维难度， 从而找到解题的捷径。因此，如何运用比较法选择合适的 “参考模型 ” ，成为解决有关问题的关键下面，对比较方法在高中物理解题中的应用，逐步展开讨论。【例题解析】实际上，在习题与习题之间、当前习题与解题经验之间，无不具有各种外部特征、内

4、部特征及其联系。 因此，为适应物理习题解决的需要，在的思维过程中， 就必须在物理习题解决时对 “形 ”与 “质 ”两方面的多种因素进行比较。前已提及，比较主要是指两个研究对象之间的比较。既有类同（似）性比较类比，也有差异性比较对比。尤其是“类比”的结果，能使我们对本质相同的对象加以归类，不但加深对其理解，且能在此基础上，进行同类对象的抽象-概括思维活动。从而，可以实现应用于已经把握的知识向比较陌生的新知识的迁移。一、形象类比“形象比较 ” ，则指研究对象的外部形态 外部特征及其联系的比较，亦即 “形 ” 的比较。由此， 从研究对象的外在特征及其联系的角度看， 我们可以把形象比较分为： 形象类比

5、和形象对比等两种。我们先来讨论形象类比的问题。（一）形同”质同类【例题1】如图411所示，A、B两球体积相同，分别浸没在水和水银的同一深度, A、B用同一种特殊材料制作.当温度稍微升高，球的体积就明显增大，如果水和水银的初温 及缓慢升高后的末温都相同，且两球热膨胀后体积也相等，两球也不上升，则A.A球吸收的热量多B.B球吸收的热量多C.A、B球吸收的热量一样多D.不能确定吸收热量的多少材料（反映密度、比热）图 4 1 1【解析】首先依题意，比较”可知A、B两球体积、浸没深度、相同，而的液体（水和水银）则明显存在密度、比热等性质上的不同。然后，由于水银密度大于水的密度，对 A、B两球浸没深度相同

6、；依据 压力微元” F gh S ,整体上，可以判断 B球比A球所受外界的压力大。因而要使B球膨胀到等于 A球体积（V相同），必使B球克服压力做的功较多。T相同，对于材料、质量、E决定于体积、温度等的改E必定相同；接下来，又有初、末温度升高 形状等相同的两球而言，内能改变 变V和T ,可知两球内能改变最后，由热一律 W Q E可知，B球吸收热量也较多。因此正确答案为：B。【点拨】此例属于自身初始条件完全相同（形同），而浸没液体（质异）不同的两个球体吸收热量的对比。【例题2】如图412所示，竖直固定在地面上的弹簧原长为AO, 一个小球从空中BO,在小球下落到弹簧被图 4一 1 一2A、B两点，或

7、其中一某高处自由下落压缩该竖直弹簧，弹簧被压缩到最低点时长度为 压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是：A.小球在A处速度最大；B.小球在A、B中间某处速度最大；C.在整个运动过程中，小球在空中下落时加速度最大；D.在整个运动过程中，小球在 B点处加速度最大。【解析】首先，分析易知小球合力为零时速度最大，即 B 选项正确。但判断加速度何处最大比较困难。然后，对小球下落运动过程分析，可知加速度最大点，只可能为个。若把小球的初始位置略作调整，使小球由A'点静止释放（如图 41 2所示），根据竖直方向的弹簧振子模型可判断出A'、B'两点加速度大小相等。接下来，比较小球在最低点

8、B、B'的位置的高低（实则比较压缩量），不难得出B点的加速度大于B'点，而B'点的加速度和 A'、A点大小相等，故 D选项也正确。因此，正确答案为：B、D.【点拨】此例实现竖直的弹簧振子的知识到具体习题的应用迁移”，由于相应变换弹簧振子初始条件，导致物理情景发生一些变化，从而产生不同结果， 由此演化为一个新的物理 问题。2.形同”质异类【例题3】如图413所示，甲、乙 分别表示两个物体 直线运动图线，规定向右为正方向，则两物体在前 5s内的位移、平均速度的大小和方向分别为A.甲物体的位移为1m,向左；乙物体位移为2m,向右。B.甲物体的速度为1m/s,向右；乙物

9、体速度为 1m/s,向右。C.甲物体速度为 0.2m/s,向右；乙物体速度为 0.4m/s,向左。D.甲物体位移为2m ,向右；乙物体位移为 1m,向左。vAm s 1图 4 1 3【解析】乍一看，两条图线直观形象几乎相同。但两相对比发现，其纵坐标轴表示的物 理意义完全不同，甲为速度 -时间图线，描述对应于某时刻的速度的大小和方向；乙为位移 时间图线，描述对应于某一时刻的位移的大小和方向。然后，我们分别讨论 5s内的位移和方向。应用面积法”计算甲物体的位移X1(2 3)/2m 2 (5 3/2m 1m,向右;显见x2 ( 2) 0m 2m,向左。接下来，分别讨论 5s内的平均速度的大小和方向。

10、v1 (1/5)m/s 0.2m/s,向右;v2( 2/5)m/s0.4m/s,向左。因此，正确选项为 Co【点拨】此例属于位移图线与速度图线的对比。通过速度图线与位移图线的对比，可知两者直观形象几乎相同，也有纵坐标的不同；前者可用面积法(或位移公式)计算位移，后 者则不需要计算；平均速度的计算 须严格按其定义去操作。【例题4】从地面以速率V1竖直 向上抛出一质量为 m的小球，小球 落地时的速率为 V2,若小球在运动 过程中所受空气阻力的大小与其速 率成正比，试求小球在空中运动的 时间？【解析】(取竖直向上的方向为正方向)作出小球的速度一时间图线和空气阻力随时间变化的关系图象(如图4-1-4所

11、示)。由于小球所受空气阻力的大小与其运动速率成正比，即f=kv由此推之，可知S/1=k S1,S/2=k S2.0又由于S1=S2,因而S/1=S/2,即小球上升过程中和下落过程中空气阻力对小球冲量的大小相等。显然，其方向是相反的。故在小球运动的整个过程中，空气阻力对小球冲量的矢量和为零。取竖直向上的方向为正方向，对小球运动的全过程，由动量定理可得 mg t= mv2 mvi不难求出，小球在空中运动的时间t (vi V2)/g。【例题5】把A、B两个完全相同的小球， 分别系于长度也相同的刚性绳、橡皮筋一端，另一端分别悬挂于 Oi、O2,现把A、B球拉至水平位置， 然后由静止释放。已知 OA=O

12、B=L ,橡皮筋的劲度 k 求两球到达最低点时的速度的大小之比？。【解析】首先，依据题意，作出两球运动如右下示 意图41 5。先比较它们外部特征，由于 AB两球 全相同”，刚性绳、橡皮筋的长度也相同，因而两系统 的初始情况大致相同。然而，绳、筋具有根本不同的性 质，就是前者不可伸长，故球 A做变速圆周运动；后者 则可以逐渐伸长，故球 B的运动比较复杂。由此，对球A应用机械能守恒得2mgL my /2对王B,设橡皮筋到达最低点伸长为L ,同理，可得2mg(L L) mv2 /2再由胡克定律、向心力公式写出下式2k L mg mv2 / L联立三式，不难求出两球到达最低点时的速度的大小之比vi /

13、V2. 2gL , 2g (kL mg) (k 2mgL)【点拨】此例属于刚性绳系小球与橡皮筋系小球的变速圆运动的对比。由此推知刚性绳、和弹簧类物体(如橡皮筋、弹性绳)的力学性质的确有显著的不同。二、逻辑类比所谓逻辑比较”，则指研究对象的内部性质 一一内部特征及其联系的比较，亦即 质”的 比较。由此，从研究对象的内在特征及其联系的角度看，我们可以把逻辑比较分为：逻辑类比和逻辑对比等两种。我们先来讨论逻辑类比的问题。(一)逻辑类比1.质同”形同类【例题6】如图4 16所示，竖立在地面上的两杆相距 4m、长为5m的细绳两端分别固定与两杆的 顶端A和B,在绳上一轻质光滑的小挂钩 O的下面挂一重量为

14、G的物体。当物体静止时，下列判断正确的 是A.细绳AO段、BO段分别跟水平方向的夹角肯定相等;B.细绳AO段、BO段的张力相等；C.两杆顶端所受的绳的拉力 均为5G/6;D.只有两杆等高时，选项 A 才正确。点受力情况如图 据物体的平衡条件,419所不依得T1 cos 1T2 cos图 4 1 6【解析】由题意可知，挂于轻绳 。点上的小挂钩是 光滑”的，因而必 能使轻绳OA、OB对。点的拉力大 小相等，即Ti=T2,（常用二级结论）。不难求出从而又有以下结果TiT25G2,52426G52422 arcsin 375由此可知，作用于滑钩类物体上的两段轻绳的张力，关于过过滑钩的竖直直线平分两绳张

15、力的夹角'程序经验”比较O点的竖直线对称。亦即类化。并且由牛三定律可知，在静止状态下，两杆顶端所受绳的拉力等于两段细绳中的张力。由命题所得结果看，无论两杆是否等高，选项 AB都正确。因此，本题正确选项为A、B、Co再来看下面的例题。如图417所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的A点，另一端固定在竖直墙上的B点，A和B到。点的距离相等，绳长为 OA的两倍.滑轮的大小与质量均可 忽略，滑轮下悬一质量为 m的重物.设摩擦力可忽略，求平衡时绳所受的拉力为多大？把此题与上面的例题相互比较。发现它们之间存在外在形态（滑钩与滑轮）、内在性质（轻绳的张力）和张力的相等、对称的规律性等许多的相

16、似性。因此,我们可把上面的结论在此例中加以推广。设 A和B至ij O点 的距离为1,则细绳长度为 21。滑轮受 力分析情况如？图所示。由平衡条件得2Tsin ymg设左、右两侧绳长分别为11、12,AO = 1,则由几何关系得licos (+12COS 0=图 41 711 + 12=218由以上几式解得9=603T=mg3【点拨】此例属于滑轮问题与滑钩原型的对比。综上所述，作用于滑钩、滑轮等物体的 两段轻绳上的张力大小相等，并且它们关于重力作用线对称。【例题71如图418所不，质量为 m的飞机以水平速度 vo飞离跑道后逐渐上升， 若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定

17、升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h。求:飞机受到的升力大小？【解析】已知飞机受重力 mg和竖直向上的升力N等恒力作用，合外力 F合必为恒力。由牛二定律， 可得N mg ma可见，飞机在竖直方向做初速度为零的匀加速运 动；由题意，飞机的水平速度保持不变。由此联想到只在重力作用下物体的平抛运动图 4 1 8'程序经验”比较一一类化。比较”平抛运动和飞机的斜向上升运动，我们发现以下三 点相同（或相似）：其一，若把上图垂直翻转90。该图线即平抛曲线；其二，水平方向皆为匀速运动；其三，竖直方向皆为初速度为零的匀加速运动。亦即两者具有共

18、同或相似的外在特征、内在性质及其运动规律。因此，我们判定飞机做 类平抛”运动。显然，合外力方向是竖直向上的。 由平抛运动规律，可得h at2/2lVot联立以上三式，即可求出mg22mhv0l2【点拨】此例属于飞机的类平抛”与平抛运动的对比。根据题中式可得曲线方程22 2Vol h,再由数学知识（ a依据”）可知，飞机的运动轨迹为抛物线。【例题8（经典试题） 在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一带电小球绕竖直方向的轴。做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场方向竖直向下， 其俯视图如图4-1-9所示。若小球运动到A点时，绳子突然断开，以下说法错误的是（）A.小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不 变B.小

19、球仍做逆时针匀速圆周运动，但半径减小C.小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变图 41 10D.小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小【解析】首先，我们可依据对存储知识的回忆，作出有心 运动与其受力情况的示意图（题图右）。把当前解决的 习题负载”与储存记忆的 程序经验”一一离心运动的示图、概念、 规律和解题经验等等两两、 相互对比，即可明确小球做匀速圆周运动的向心力，就是小球所受的合外力的基本规律。然后，易知小球逆时针转动时，绳的拉力 T和洛仑兹力qvB的合力为向心力。选沿半 径指向圆心为坐标正方向，从而由向心力公式，可得2v T qvB m r其中，午“、号表示小球带正、负电荷时，所受洛仑兹力分别为

20、向心”、或 离心”的。这里，明显应用了拉力与洛伦兹力、提供”向心力与 需要”向心力等之间的大小、方向的比较方法。再后，对上式进行讨论：2若原来T 0,则有 qvB m,在小球运动到 A点时，虽然 绳子突然断开 r但向心力没有消失。比较”提供的向心力与需要的向心力仍旧相等，则小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变，故选项 A正确。2若原来T 0,同样地，在T qvB mv-时，比较”可知提供的向心力小于需要r的向心力，而方向仍 同心”不变，故达到稳定状态后，其做逆时针匀速圆周运动， 半径增大， 故选项B错误。2若原来T 0,在T qvB mL时，比较”可知向心力 离心”向外，小球从 A点 r开始做

21、顺时针匀速圆周运动。若恰好有T 2qvB ,则半径大小不变；而若 T< 2qvB ,则向心力 离心”向外且增大，小球从 A点开始做顺时针匀速圆周运动，半径减小。故选项 C、 D均为正确。最后，考虑到本题选 说法错误”的选项，故答案为：Bo【点拨】此例解答，首先应用当前习题与物理模型之间的比较，然后对拉力跟洛伦兹力、提供”的向心力跟所 需要”的向心力等进行大小、方向的比较，从而选取和应用牛二定律予以解决。此可称作匀速圆周运动与粒子的磁偏转运动的对比。特别强调，由于电荷性质、拉力大小的变化，必将影响到洛仑兹力、 进而将使小球的转动方向、轨道半径等发生显著的变化，导致问题的多解。【例题9】磁谱

22、仪是测量能谱的重要仪器。磁谱仪的工作原理如图合力的大小和方向,放射源S发出质量为m、电量为q的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为4 1 10 所本,B的匀强磁场,被限束光栏Q限制在2的小角度内,后打到与束光栏平行的感光片P上。粒子经磁场偏转（重力影响不计）若能量在Ese+ AE （ AE >0,且 AE<<E）范 围内的 粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场。 试求这 些粒子打在胶片上的范围 Ax1.o实际上，限束光栏有一定的宽度，粒子将在2角内进入磁场。试求能量均为E的粒子打到感光胶片上的范围A及【解析】 首先，若a粒子以速度v进入磁场，沿半圆轨道打在胶片上的P点。设P点到S

23、点的距离为x,依据即确定圆心原则、半径公式、动能公式和线段的几何关系，可得2vqvBm R1 2一 mv22R其次，则联立式，可得这些 粒子打在胶片上 的范围为2.2mEqB显然， 比较”可知（E+ AE）大于E,因而能量较大的 粒子到S点的距离（半圆的 直径）也必定较大。显示出两者运动情况和遵守的物理规律等都相同，但形同质同”之余,2 2m(EE)qB常（E E）2.2mEqBE)所求得物理量）（如长度）的大小不同，如示意图 41 12示。从而，应用平方差公式化简，可得Xi2mE qBE图 41 12然后，因动能均为 E的a粒子沿角入射，轨道半径相同，可设为Ro分析、 比较”可知，由于 速弦

24、角等于回旋角的一半 ，因而回旋角大小不同；但由于回旋角增加或减小 相同的 ，导致粒子初、末两点间的线位移亦缩短相 同的长度 x2,如图41 12所示。同理，可得x2 SP SP2R（1 cos ）最后，联立式，可以求出2.2mE x2 (1 cos )qB4.2mE . 2 sin qB 2【点拨】此例属于同一个问题中，仅仅由于初始条件的数量的不同造成不同结果的比较。还应该指出，这里所谓 形”对应于直观形象、外部特征，质”对应于物理概念和规律, 而 量”的不同则对应于数学规律及其运算。2.质同”形异类【例题10】（10安徽）伽利略曾设计如图 41 13所示的一个实验， 将摆球拉至 M点 放开，

25、摆球会达到同一水平高度上的N点。如果在E或F处钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点； 反过来，如果让摆球从这些点下落， 它同样会达到原水平高度上的 M 点。这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑时，其末速 度的大小A.只与斜面的倾角有关b.只与斜面的长度有关*/Gc.只与下滑的高度有关D.只与物体的质量有关/比1 Vx【解析】首先,画出高度相”/一士加上:X同、倾角不同的几个光滑斜面，、* 如图4-1-13所示。图 41 13然后，之所以发生如果在E 或F处钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点； 反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度

26、上的M点”的实验事实，是由于此系列过程满足只有重力做功而机械能守恒定律。导致小球在M、N等位置的重力势能相等，从而对地面的高度相等，必定位于同一水平面上。反过来，若小球从 M、N等位置由静止开始运动，由于机械能守恒则至最低点的动 能必定相等，从而使得小球具有相等的速度。比较物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面（或弧线）下滑的情况，类似地，如果斜面 高度相同，也必有末速度的大小相等的规律，即其末速度的大小只与谢苗苗的高度有关。因此，正确答案为：Co【点拨】两相比较，虽然从外部特征看差别很大，而两个运动过程中所包含的的功能关 系或机械能守恒等几乎完全相同。【例题11如图4-1 14左所示，带正电的点

27、电荷固定于 Q点，电子在库仑力作用下， 做以Q点为焦点的椭圆运动。 M、P、N为椭圆上的三点，P点是轨道上离 Q最近的点。电 子在从M经P到达N点的过程中（）A .速率先增大后减小B.速率先减小后增大/!匚 C.电势能先减小后增大/ / o： ,d.电势能先增大后减小P 1Q ） 二才T解析首先，我们已经知道X,VV/* J 仃绳系小球在竖直平面内的变速圆周运动的受力情况，如图 4-1-N心 I.14右所示。并且知道，法向力（向图41-14心力）改变线速度的方向，切向力改变线速度的大小， 形成小球的变加速度的圆周运动。若切向力与速度成方向相同， 则速度增大；反之，则减小。并且，这一动力学规律可

28、以推广到一切曲线运动当中。然后，把电子在库仑力作用下的椭圆运动与绳系小球的变加速度的圆周运动两相比较。为简单起见，只分析电子在 M、N两点的情况。从图41 14左可见，在M、N两点速度与 库仑力分别成锐角、 钝角，亦即其速度分别与切向力方向相同、相反。依据上述物体做曲线运动的动力学规律，可知，电子从 M点到P点做 加速”曲线运动，从P点到N点则做 减速”曲线运动，速率先增大后减小。故选项 A对B错。由动能定理可知，在 加速”段电子的动能增加，电场力做正功；在减速”段电子的动能减少，电场力做负功。再根据电场力做功与电势能的关系可知，加速”段系统的电势能减少，减速”段系统的电势能增加，即电势能先减

29、小后增大。故选项 C对D错。虽然外在特征不同，而综上所述，本题正确选项为 A、Co 【点拨】此例属于电子的椭圆运动与： 尊循的动力学规律、功能关系等是相同的。类似地，在同步卫星的变轨发射问 题中，卫星的线速度的变化， 应根据向 心力（合外力）与线速度的夹角来判断。 而比较地球提供的向心力F供 GMm/r2 （万有引力）与卫星所需要的向心力F需 mv2 / r的大图 4 1 15小，则可确定卫星做离心、近心或者圆周运动。【例题12如图4115所示，左图为在匀强电场中的带有 +q电荷的小球，可以以。/为平衡位置在AB之间做简谐运动；右图则为质子+H从正点电荷+Q旁边掠过的情形。 试 各自分析运动过

30、程中合外力做功以及动能变化的情况；电场力做功以及电势能变化情 况。【解析】对摆动的小球而言，自 A到O'阶段，小球速度、动能都增大，由动能定理 可知电场力、重力的合力做正功。自 。/到B阶段，则动能逐渐减少为零，考虑到两阶段的 对称性，可知电场力、重力的合力做与上等量的负功。然后，对曲线运动的质子而言，自 a到b阶段，由于质子不断克服库仑斥力做功，依据 动能定理，可知动能不断减小。而自 b到c阶段，情况则与此相反，同理，可知动能不断增 大。依据等势面、对称性等，可知 a、c两点动能相等、速度大小也相等。再后，对摆动的小球而言，自 A到。/阶段，小球克服电场力做功，由电场力做功与电势能的

31、关系，可知电势能不断增加；自。/到B阶段，类似地，可知小球的电势能不断增加。对曲线运动的质子（可不计质量）而言，自 a到b阶段，质子质子不断克服库仑斥力做 功，同理，可知电势能不断增加；而自 b到c阶段，电场力对质子做正功，类似地，可知电 势能不断减小。【点拨】此例属于带电小球摆动与质子掠过原子核运动的对比，合外力做功引起动能变化的本质相同，因而第一小题应用动能定理解决。由于电势能的变化都是电场力做功所引起的，因而解决第二小题应用了电场力做功与电势能的关系。数理比较，是指习题解决中具有明显的涉及数学工具应用而极富数学特征的差异性和类 同性比较，内涵十分丰富，应用也很广泛。归纳起来，大致有物理状

32、态（图形、图表、图象）、 运动过程、解题方法、思维方法等各种比较。三.数理类比这里，先就物理状态、运动过程的对称、相似性等方面的比较，做一简单、初步讨论。（详情请参考后面的章节）。【例题13（05辽宁卷）两光滑平板 MO、NO构成一具有固定夹角8=75。的V形槽，一球置于槽内，用 。表示NO板与水平面之间的夹角，如图所 。若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列A. 15C. 45【解析】两个弹力Fn1。值中哪个是正确的？（B. 30°D. 60°首先对球做受力分析，球受重力、FN2的作用，如图所示。依据应边分别两两垂直，则两角相等或相补 判断Fn1OFn21

33、80018075105再由平行四边形的性质可知OFn1F 合 180图G、若对”的规律，可10575由题设条件，已知球对板NO压力等于球所受重力，亦即FN1 mg ,因而OF合FN1是等腰三角形。从而of 合 Fn1OFniF 合75最后，从下面的平角看，很明显看出等显然组成一个平角。从而18030【例题14如图4117所本,A、B是带有等量同种电荷的两小球，它们的质量都是m,它们的绝缘悬线长度都是L,悬线上端都固定在同一点。上，B球悬线竖直且被固定， A球因受库仑力 而偏离B球x距离处静止平衡，此时A球受到线的拉力 为Ft.现保持其他条件不变，用改变A球质量的方法，使A球在距B为x/2处平衡

34、，则A球受到线的拉力为多 大？【解析】首先，对A球进行受力分析，A球所受 重力G、B对A的库仑力Fe、线的拉力Ft,三力平衡，构成一个封闭的矢量三角形，如图所示。Fe图1 23F合G图 4117然后，从数学角度考察、对比力的三角形与几何三角形，由于满足对应边平行或 边边边”成比例的条件,亦即 AF合G s OAB ,因而为两个等腰相似三角形。从而，由等腰三角形性质、物体的平衡条件，可得Fe类似地，保持其他条件不变”而改变A球质量”时,也可写出G/F，LL依据库仑定律,fE (x 2)2FEx2最后联立式，即可求出A球在距B为x/2处平衡时受到线的拉力FT/ 8 Ft【点拨】此例的解决，显然是平

35、行线性质（能截取比例线段）、相似三角形的几何知识,在物理习题解决中的有效应用。但是，离开几何直线（或线段）的平行判断，和三角形直观形 象的、相似性比较，则无法得以实现。【例题15如图41 18所示，质量为 m的物体放在质量 为M的平台上，随平台在竖直方向做往复运动。运动到最高点时，物体m对平台的压力恰好为零，求：当m运动到最低点时，m的加速度多大.【解析】可以证明，物体m在竖直平面内做简谐运动 。由小 球运动到最高点时对 M的压力为零，即知道物体m在最高点的加 速度为g,由简谐运动的对称性知道，物体m在最低点、最高点图 41 18的加速度 大小相等，方向相反”，故小球运动到最低点时的加速 度大

36、小为g,方向竖直向上【点拨】此例巧用简谐运动的加速度的对称性。不但如此，简谐运动的位移、速度、回 复力、动能、动量等等也都具有对称性，在我们以后解题时应该给以充分关注。【例题16】沿水平方向向一堵竖直光滑墙壁抛出一弹性小球，抛出点离水平地面的高度为h,距离墙壁的水平距离为 s,小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点离墙壁 的水平距离为2s,如图41 19所示，求小球抛出时的初速度【解析】首先，因小球与墙壁发生弹性碰撞在垂直于墙壁的方向上以速率 Vo弹回，故碰撞前后，小球在垂直于墙壁方向上的速率为v V/ V0。然后，在平行墙壁的方向上，因墙壁光滑无摩擦，弹性小 球与墙壁碰撞无能量损失

37、，故碰撞前、后的速率不变，即V V/从而，在墙壁碰撞前、后，小球的的速率对墙壁对称，即/户/ %进而推断出小球碰撞后的运动轨迹与无墙阻挡时自碰撞点下落的轨迹 完全对称 如图4120所示。 接下来，小球的运动可以等效转换为平抛运动。由此根据运动学公式，可得图 4 1 20h gt2/2显然，抛点A到B的水平距离应取3 s,于是又得V0t 3s最后，联立式，不难求出小球抛出时的初速度3sV0= t2gh,g 3s=3s '=,2h 2h【点拨】显然，在有墙、无墙两种情况下，小球在碰点的速度 v、v和运动轨迹OB、OB 都完全对称，毫无疑问此是我们实施类同性比较一一类比思维活动的结果。我们看

38、到，“类比”给物理解题带来极大的方便。除此而外，我们还可以应用数理的类同性比较，归纳出数理概念、判断和规律，宜另作别论。四、系统类比所谓系统比较，是指对研究对象之间的各种外部特征、 内部特性及其联系等类同性、 差 异性的综合性比较。 通过这种比较，我们可以把所研究的物理习题进行大致的归类，亦即解决一般思维方法的分类或称作鉴别的问题。（一）综合类比【例题17】比较地球重力与电场力的类同性。表：地球重力与电场力的类比场 选曲、地球重力电场力备注力的大小*F = 日幽 fr2 = mg (口便)H* 算二第二kQj Jr2 /T变）恒量数量(7= (5. S7xl斤=9 0 乂 10'W 战

39、口 e方晴判定竖直向下F受力方向与电场弱度的方向相同； 一q受力方向与电场强度方向相反立做功恃点重力微功写路径无知只与物体 的粉末位置的高度差从有关工电场力对电荷檄功与路径无关，n 与初末位置的电势差上炉有关©动的计算%=m幽-m次=审峭内凸以=呐-0M变）叫=烟=守行一年内=四# = qU*叫. q总争=q - kQ-）（可变）功育跳系重的僻干重力势能的变化 郎% . A5P = £ - £n电场力的功等于电势能的变化 乙=俎.二理一名能量守恒只有重力儆功时机械百资恒只有重力和电场力等儆功机械能、电 络育鸥的总和守恒冲量计算小阳目h =q及r匀强电场）冲动关系i

40、G = hp= p!-p=战£ -赧廿p' 一 p-mV -酒 V【例题18】比较平抛运动和类平抛运动的类同性。表：平抛与 类平抛”的类比7动 选成、碎出类平抛运动备注力的大小f=%（恒定）9=2/*恒定方向判定竖直向下国受力方网与电场强度的方向相同-q受力方网与电场强度方向相反。已攵隙件匕0 - 巧。 °七。二为，y网二°加速度% 二口, 二 g% - 0,% - qUf总运动分解工方向匀速直线运动，/方向 初速度为零的匀加i衷直线运动反方降速直线运动,J方向初速度为 零龄1加T1级运动物体或粒 子的轨迹当物体垂直K人与强重力场 B寸，所受的重力的大小和

41、方向 甯环改变，所以*立子儆“平抛” 好小速度的大小，方向都发 生改变。当电荷垂直射入匀强电场时，所受的 电场内的大际0方向考环改变，所以 粒子做“类平抛”运动，速度的大小 方向都发生改变口分骨y =便/ =就"2 = qUl "2 加：d t = 口/位移5 = W 十 F '二+ g/4tan 中小 %=tan & f 2(g卬 1 /2mv - £j)'tan 中=J /I=qUl /2mv2 ef = tan / 2分速度廿=gt七三%，=夕S t90速度R =也；+ Q产匕=和+。加沙0d产偏角关系tang = g/v0y= xu

42、nB/2tan = p /v0 = qUi/mv d y - I tan 8 / 2功能关系% =短虱才"2) =ffjgrtan/2W 三物(疝 J2) =g5lanE门d冲动关系1 =喀留=喀岑兀/ v0=砥弓-0）1 = qSt = qUi 1%壮=m(p -0)（二）思维方法的类比这里的比较，是指同一道题目的几种不同思维方法和解题思路等的比较。事实上，应该联想到一题多解的问题，通过系统类同性比较，我们即可获得成熟的思维方法或解题思路。 下面，先看初中物理的一个比较简单的问题。有时，我们可进行通过一题多变的尝试， 从不同题目的类似或相同的思维方法中， 进行 系统思维的类同性比较

43、，进而依据思维方法本质的类似性加以鉴别， 归一成某种类型。为下 一环节抽象-概括出某一物理模型做准备。从另一角度看，一题多变，应属于求同发散思维。一题多变应强调方法与思路的迁移， 通过引导考生对题目进行引伸、 类比和重新组合等 变化，并力求在不同的情景中或从不同的角度去思考和解决问题。它能培养学生思维的开放性与变通性。【例题19】（96全国）在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体， 作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体。当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32焦耳。在整个过程中，恒力甲做的功等于 焦耳，恒力乙做的功等于 焦耳。

44、本例解析参见第二节比较法（二）。下面是上述高考题的两个正向迁移 类同性发散的变式题及其解答过程。【变式一】 在竖直方向场强为 Ei的匀强电场中，一带电液滴恰好静止在A点。现仅仅使场强突然增大到 E2,经历了一段时间后，保持 E2的大小不变，而突然使电场方向反向， 又经历了同样长的一段时间，带电液滴恰好返回A点。试求Ei与E2之比。【解析】这个迁移题将原题的水平运动更换为竖直运动，将单个力转换为更趋复杂的复合场中的受力，在运动模型完全相同的情况下，求解的目标已由原来的能量问题转换为力或加速度类问题。因此应首选前述解法一的思路：由液滴静止可知：mg Eiq液滴的前一运动为初速度为零的匀加速，由位移关系有:1 E2q mg 2一 t而此时有速度Eq mg tm液滴的