利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题-北京理工大学-机械优化设计

1、机械优化设计报告(3)利用MATLAB实现黄金分割法求极值问题姓名：XXX学号：XXX(北京理工大学机械与车辆学院车辆工程，北京100081)1. 黄金分割法的基本思想黄金分割法(golden section method是优化方法中的经典算法，以算法简单、 效果显著而著称，是许多优化算法的基础。但它只适用于一维区间a,b上的凸函数。其基本思想是：依照“去坏留好”原则、对称原则以及等比收缩原则，禾 用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分无用区 间，使搜索区间不断缩小，来逐步缩小搜索范围，从而不断逼近目标函数极小点 的一种优化方法。该方法对函数没有特殊要求，函数甚至可以

2、是不连续的。在搜索区间a b内必须按下述规则对称地取al和a2两点： 印=b叫 b- aa2二a ,a1和a2将区间分成三段，其中入称为区间收缩 率，黄金分割法中 入&618,然后计算插入点的函数值。应用函数的单峰性质， 通过函数值大小的比较，删去其中一段，使搜索区间得以缩小。然后再在保留下 来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小 点的数值近似解。黄金分割法程序结构简单，容易理解，但计算效率偏低，较适用于设计变量 少的优化问题中的一维搜索。2. 迭代过程和算法流程图2.1迭代过程(1) 给定区间la,b 1,并输入；7;(2) 计算 a1 二b-0.61

3、8(b-a),a2 二 a 0.618(b-a)；(3) 判断b_a<s若成立，则迭代终止，到最后一步(7);否则，继续;(4) 若 f(a1)兰 f(a2)，转(5)，否则转(6)；(5) 令 b=a2，a2=a1，a1=b-0.618(b-a)，转(3)；(6) 令a=a1，a仁a2，a2=a+0.618(b-a)，转(3)；(7) 得出最优解：x (a b) /2， y* = f(x*)。2.2算法流程图3. 利用MATLAB求解实例3.1实例本文以本章课后习题(3.1)为例来练习黄金分割法算法在 MATLAB里的实 现。用黄金分割法求解f(x) = x(x2)的近似极小点x及f(

4、x*)，a=-3，b = 5， ；=0.01。程序如下：(1)首先建立函数。建立.m文件，命名为fun_gs.m，文件内容如下：function y=fun_gs(x)y=xA2+2*x;(2)编写迭代程序主体。建立gs.m文件，内容如下:a=-3;b=5;eps=0.01;n=0;i=100;a1= b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);y2=fun_gs(a2);for k=1:iif (abs(b-a)v=eps)y=fun_gs(b+a)/2);break;elseif (y1<=y2)y2=fun_gs(a1);b=a2;a2

5、=a1;a1= b-0.618*(b-a);y1=fun_gs(a1);elsey仁 fun_gs(a2); a=a1;a仁 a2;a2=a+0.618*(b-a);y2=fun_gs(a2);endn=n+1;endendn;x=(a+b)/2;y;运行程序，结果为:n=14迭代次数x* =1.0013极小值点y* 1.0000极小值点的函数值计算结果如图：NameansbepsValueMinMax-1.0061-1.00”.-1,00.-1.0025-liOOub-l.DO.b.-1,0002-1-OOmr*1,00.-1.0000-1.00.-1.00.-0.9966-0.99,-0,

6、99.0.01000.01000.0100100100100151515141414-1.0013-I,OOr.-1.00.,-1.0000-l.OOubJ,00 -1.0000-L00f-1,00.,.-1.0000-l.DO.j.-l.OO.b.图3-2计算结果(：-0.01)3.2实例结果分析f (x)二x(x 2) =x2 2x的最小值为x b = -2 = T时取得，此时有2a 25机械优化设计报告（3）从上述计算结果可以看出，利用 MATLAB实现的黄金分割法，通过14次 迭代可以满足收敛精度要求，并且计算结果和理论结果基本一致，误差为.：=（-1.0013）-（-1） =0.00

7、13，即求得了函数的全局最优解。当；=0.001时，即收敛精度缩小为原来1/10，此时再进行一次迭代求解，计算结果如图3-3：Workspace田| 严虽| 裁鬲 Stack；国* No valid plots for n寸Name ValueMinMaxa-1.0006'lnDObidal-1,0002-lrOO+.h1.0000-1.00.-1.00.a ns-1.0000-l-00+ih-IhQOrub0.9997-0.99.-0.99.eps1,00006-031.000.1000.i100100100k202020壬！1191919X-1.0001-1.00 uh-L00.y1,0000*LQ0.yi1.0000-1.00 bib”1*00.“疋1,0000-LOOu-LOO.,.图3-3计算结果（.；：=0.001）迭代次数增加到 19 次，最优点 x二-1.0001，-二（-1.0001）-（-1） =0.0001 可见计算精度进一步提高，更加接近理论值。所以，在计算机性能允许的前提下， 解决