不同杆尖对硬度计的测试问题的研究

1、 不同杆尖对硬度计的测试问题的研究目录1 提出问题11.1 问题的介绍11.2 问题的分析12基本概念13区组设计24统计分析44.1 获取数据44.2 统计模型44.3 方差分析54.4 区组检验64.5 多重比较74.6 模型检验95 总结10参考文献11附 录12121 提出问题1.1 问题的介绍硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测试值。考察4种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。取4块金属试件，让每个杆尖在每块试件上各压入一次。这样安排是含有4个处理（杆尖）和4个区组（金属试件）的随机化完全区组设计。实验数据见附录.（1） 计算各类平方和，写出方差分析表，若

2、取显著性水平=0.05，你从中的到什么结论？（2） 若4种处理方法间有显著差异，做多重比较，你从中的出什么结果？1.2 问题的分析此问题的试验设计包含4种处理和4个区间，并且要求计算各类平方和，写出方差分析表，做多重比较，这可以看成一个完全区组设计，所以我们可以利用完全区组设计的模型来解决此类问题。2基本概念区组设计由于试验条件不均匀，比如：试验场地、人员、设备、试验材料等存在一些差异，可能会对试验结果造成不良影响。为解决这样的问题，把全部试验单元分为若干个区组，使得每个区组内各试验单元之间的差异尽可能的小，而区组间允许存在一些差异，这样的试验设计称为区组设计。随机化完全区组设计设有v个处理需

3、要比较，有n 个试验单元用于试验。 第一步：把n个试验单元均分为k个组（k= n/v），使每个组内的试验单元尽可能相似，这样的组称为区组。第二步：在每个区组内对各试验单元以随机方式实施不同处理这样的设计称为随机化区组设计。若区组容量处理个数v，这样的设计称为随机化完全区组设计。即一般所称的随机区组设计。随机区组设计使用区组方法减小误差变异，即用区组方法分离出由无关变量引起的变异，使他不出现在处理效应和误差变异中，设计简单，容易掌握。多重比较在多个水平场合，同时比较其中任意两个水平均值间有无显著差异的问题称为多重比较问题。例如：若有r（r2）个水平均值1，2，,r，则同时检验以下Cr2个假设：H

4、0ij: i=j iF1- (fA , fe)其方差分析表如下：表 3 随机化完全区组设计的方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理区组误差SA=1bi=1vTi2-T2vb fA=v-1 MSA=SA/fA F=MSAMSe SB=1vj=1bBj2-T2vb fB=b-1 MSB=SB/fB _Se=ST-SA-SB fe=(v-1)(b-1) MSe=Se/fe总和ST=i=1Vj=1byij2-T2vb fT=vb-1将试验数据代入所建立的模型并进行方差分析:ST=9.32+9.42+9.62+102+10.22-1542/16=1.29 ,fT=15 SA=(38.32+38.

5、42+37.82+39.52)/4-1542/16=0.385 ,fA=3SB=(37.62+37.72+38.92+39.82)/4-1542/16=0.825 ,fB=3Se=1.29-0.385-0.825=0.08 ,fe=9把这些平方和以及其自由度移至方差分析表上再进行F检验，见表4.表 4 方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理区组误差0.385 3 0.128 14.40.825 3 0.2750.08 9 0.0089 总和1.29 15若取显著性水平=0.05，则其临界值F0.95(3,9)=3.86,由于F3.86，从而拒绝H0，故4种杆尖对金属试件的硬度测量结果有

6、显著差异。另外，还可得到这个试验的误差方差2的估计：2=0.0089，其标准差的估计为=0.094。4.4 区组检验F=区组均方和误差均方和=0.2750.0089=30.90 仍给定显著性水平=0.05，其临界值为F0.05(3,9)=3.86 ,由于F3.86，从而认为区组效应显著，当初设立区组是很有必要的。若不设立区组，区组平方和将并入误差平方和，其方差如表5所示。表 5 不设立区组的方差分析表来源平方和 自由度 均方和 F比处理误差0.385 3 0.128 1.69720.905 12 0.0754 总和1.29 15若设显著性水平=0.05，那么该检验的临界值为F0.95(3,12

7、)=3.49，由于F3.49，故不能拒绝H0，即4种处理间没有显著差异。这一错误结论是没有重视区组作用而导致的。所以在试验中，凡是在试件中存在（或可能存在）明显差异时，都应运用区组概念去减少数据中的误差。4.5 多重比较在随机化区组设计中，若经方差分析处理因子是显著的，那对各处理间还需作多重比较，以便发现哪些处理值得重视。由于此次试验为随机化完全区组设计，区组数b就是重复数，且各处理的重复数都相等，这时误差自由度fe=（r-1）（b-1）所以采用T法对此4种处理进行多重比较。重复次数相等情况的T法 这是Tukey在1953年提出的多重比较方法，简称T法，适用于重复数相等的情况，这里设重复数皆为

8、m。直观考虑，当H0ij为真时，|-yi-yj|不应过大，过大就应该拒绝H0ij。因此在同时考虑Cr2个假设H0ij时，“诸H0ij中至少有一个不成立”就构成多重比较的拒绝域W，它应有如下形式：W=Uic这里-yi表示水平Ai下数据的平均值，i=1,2,r。如果给定显著性水平，就要确定这样的临界值c，使得上述Cr2个假设H0ij都成立时，而犯第一类错误的概率P(W)=。下面来确定临界值c。 PW=PUic=1-Pij-yi-yjc =1-Pmaxij-yi-yjc=Pmaxic =PmaxicMSem=PmaxicMSem =Pmaxi -yi-iMSem-mini -yi-iMSemcMSe

9、m 其中MSe为方差分析中的误差均方和，它是方差2的无偏估计，并且与诸-yi相互独立，从而 -yi-i MSemt(fe)于是tr=maxi -yi-iMSem t1=mini -yi-iMSem分别是来自t(fe)分布的容量为r的样本的最大与最小次序统计量，从而 q(r,fe)=tr-t(1)是t(fe)的容量为r的样本极差，它被称为t化极差统计量，它的分布不易导出，但知它的分布只与t分布的自由度fe（即误差平方和的自由度）和样本量r（即因子A的水平数有关，因此可以用随机模拟法获得q(r,fe)分布的分位数，为使PW=Pq(r,fe)cMSem=可取q(r,fe)的1-分位数，使 cMSem

10、=q1-(r,fe)，从而显著性水平为的临界值为： c=q1-(r,fe)MSem 综上可知，其显著性水平为的拒绝域为：-yi-yjq1-r,feMSem iq1-r,feMSeb i 4.410.0089 4 =0.208时，表示第i个处理与第j个处理间有显著差异。如今从表2可查得：-T1=9.575 -T2=9.6 -T3=9.875 -T4=9.45 它们两两之间差的绝对值分别为：-T1-T2=0.4250.208,-T1-T3=0.30.208, -T1-T4=0.125,-T2-T3=0.2750.208,-T2-T4=0.15, -T3-T4=0.4250.208,由此可见，除了第

11、1种与第4种、第2种与第4种杆尖之间无显著差异外，其他各对之间均有显著差异。特别是第2种和第3种杆尖之间有显著差异。4.6 模型检验对于模型的检验涉及正态性假定和方差齐性等两个问题，而我们的此次试验缺少重复的情况，对误差方差齐性的检验还缺少方法，我们只能从数据的产生过程对误差方差齐性做些定性的判断。譬如此次试验所得数据是在相同的或类似的试验环境下产生的，可以认为误差方差近似达到齐性。正态性诊断我们可以借助残差分析进行。在此次试验中，r-4，b=4，共进行16次试验，故有16个残差。考虑到区组效应显著，故残差计算公式为：eij=yij-Ti-Bj+-y可得16个残差，它们（按从小到大次序）是：-

12、0.1 -0.075-0.075-0.075-0.05-0.05-0.025-0.0250 0.025 0.025 0.025 0.05 0.1 0.1 0.15这时残差的正态概率图如图1所示。从该图可以看出，没有非正态性的严重标志，可认为该组残差近似为正态分布。图 1 残差的正态概率图5 总结硬度是指材料抵抗其它较硬物体压入其表面的能力，是衡量材料软硬的一个指标，对不同的应用材料有不同的含义。硬度值的大小是表征材料软硬程度的有条件的定量反映。它不是一个单纯而确定物理量，而是表征着材料的弹性、塑性、强度和韧性等一系列不同物理量组合的一种综合性能指标。硬度值的大小不仅取决于材料的本身，而且取决于测试条件和测定方法，即不同的硬度测量方法，对同一种材料测定的硬度值不尽相同。因此，要衡量材料之间的硬度大小，必须使用同一种测量方法测量的硬度值进行比较。通过方差分析我们得出4种杆尖对金属试件的硬度测量结果有显著差异，再经过对区组的检验，我们发现当初设立区组是很有必要的，凡是在试件中存在（或可能存在）明显差异时，都应运用区组概念去减少数据中的误差。最后对各处理作多重比较，发现第1种与第4种、第2种与第4种杆尖之间无显著差异外，其他各对之间均有显著差异，特别是第2种和第3种杆尖之间有显著差异。参考文献1 茆诗松 周纪芗 陈颖主编试验设计（第2版）中国统计出版社，20122 赵选民著.