高中数学(人教版)第三章函数的极限无穷大量与无穷小量课件

1、一、无穷小量一、无穷小量 由于由于 等等同于同于 因此函因此函数极限的性质与无穷小量的性数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是相同的质在本质上是相同的. . 所以有所以有人把人把 “数学分析数学分析” 也称为也称为 “无穷小分析无穷小分析”. . 5 无穷大量与无穷小量数学分析 第三章函数极限二、无穷小量阶的比较二、无穷小量阶的比较三、无穷大量三、无穷大量0lim( )xxf xA 0lim ( )0,xxf xA四、渐近线四、渐近线*点击以上标题可直接前往对应内容定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设)(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0时的无穷小量时的无穷小量为

2、为则称则称xxf为为类似地可以分别定义类似地可以分别定义f.时时的的无无穷穷小小量量和和有有界界量量.0时的有界量时的有界量xx 0fx若若在在点点的的某某个个空空心心邻邻域域内内有有界界，则称则称 f 为为,0 xx x,0 xx, x,x后退 前进 目录 退出无穷小量显然，无穷小量是有界量显然，无穷小量是有界量. .而有界量不一定是无穷而有界量不一定是无穷时时的的无无穷穷小小量量；为为11 xx例如例如:对于无穷小量与有界量，有如下关系：对于无穷小量与有界量，有如下关系：；时的无穷小量时的无穷小量为为 112xxsin;xxx 为时的无穷小量为时的无穷小量sin.xx 为为时时的的有有界界

3、量量小量小量. .无穷小量1. 两个两个(类型相同的类型相同的)无穷小量的和，差，积仍是无穷无穷小量的和，差，积仍是无穷2. 无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量.性质性质1 1可由极限的四则运算性质直接得到可由极限的四则运算性质直接得到. ,0lim, 00 xfxx因因为为的的 使得当使得当小量小量.下面对性质加以证明下面对性质加以证明.00|, |( )|,1xxf xM 时时从从而而).(,)(, 0)(lim00 xUxMxgxfxx 设设对于任意对于任意, 0 所所以以存存在在无穷小量|( ) ( )|.f x g x 0( ) ( ).f x g

4、xxx这这就就证证明明了了是是时时的的无无穷穷小小量量例如例如:时时的的无无穷穷小小量量，为为0 xx时时为为01sinxx的有界量，的有界量，.01sin时时的的无无穷穷小小量量为为那那么么xxx无穷小量xxy1sin 曲曲线线限密集的振动，限密集的振动，xy 所限制所限制. .y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 从几何上看，从几何上看，其振幅被两条直线其振幅被两条直线在在 近旁发生无近旁发生无0 x.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx应当注意应当注意, , 下面运算的写法是错误的：下面运算的写法是错误的：

5、两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、积仍积仍00( )1.lim0( )( )( )xxf xxxfxg xg x若若， 则则称称时时是是关关于于0( ),( ).xxf xg x设设当当时时，均均是是无无穷穷小小量量出如下定义出如下定义.两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们给这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确定的.为了便于考察为了便于考察无穷小量阶的比较的的高高阶阶无无穷穷小小量量，记记作作. )()()(0

6、 xxxgoxf .)()1()(0 xxoxf .)0, 0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0( )f xxx当当为为时时的的无无穷穷小小量量时时， 我我们们记记无穷小量阶的比较2. 若存在正数若存在正数 M 和和 L，使得在，使得在 x0 的某一空心邻域的某一空心邻域)(0 xU内，有内，有,)()(MxgxfL 根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当0)()(lim0 cxgxfxx时时,例如例如: ,0时时当当xxcos1 与与2x是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是0 xx 时的同阶无穷小量

7、时的同阶无穷小量.)(xf)(xg无穷小量阶的比较这两个无穷小量一定是同阶的这两个无穷小量一定是同阶的.当当0 x时，时，x 与与 xx1sin2是同阶无穷小量是同阶无穷小量.3. 若两个无穷小量在若两个无穷小量在)(0 xU内满足内满足:,)()(Lxgxf 则记则记).() )()(0 xxxgOxf ,)(0时的有界量时时的有界量时为为xxxf我们记我们记.)()1()(0 xxOxf 应当注意，若应当注意，若)(,)(xgxf为为0 xx 时的同阶无时的同阶无穷小量，穷小量，无穷小量阶的比较. )() )()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立, 例如例如. )0()(1

8、sin xxOxx但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.当然有当然有注意：注意：这里的这里的) )()() )()(xgOxfxgoxf 与与)(0 xx 和通常的等式是不同的和通常的等式是不同的,右边右边, 本质上只是表示一类函数本质上只是表示一类函数表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合)(xg)(0 xx ) )(xgo例如例如也就是说，这里的也就是说，这里的 “=” 类似于类似于.”“ 无穷小量阶的比较这两个式子的这两个式子的. )( )()( 0 xxxgxf , 1sinlim0 xxx因为因为 , 1arctanlim 0 xxx因为因为则

9、称则称若若 , 1)()(lim . 40 xgxfxx时时的的为为与与0 )( )( xxxgxf等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作);0(sinxxx所以所以);0(arctanxxx所以所以无穷小量阶的比较.0)(21cos12 xxx同同样样还还有有根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：),( )()( ),( )()( 00 xxxhxgxxxgxf若若00( )( ) limlim( )( )xxxxf xf xh xg x 前面讨论了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是值得注意的是, 并并.)( )()( 0 xx

10、xhxf那么那么这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如例如无穷小量阶的比较0( )lim1 .( )xxg xh x xxsin与与21x均为均为 x时的无穷小量时的无穷小量, 按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为这是因为)(sin1sin2 xxxxxx是一个无界量，并且是一个无界量，并且(2 )sin(2 )0 .nn下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：无穷小量阶的比较却不能却不能定理3.12设函数设函数 f, g, h 在在)(0 xU内有定义内有定义, 且且. )()()(0

11、xxxgxf;)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxfxxxx 则则若若.)()(lim,)()(lim)2(00AxgxhAxfxhxxxx 则则若若.)()()()(lim)()(lim00Axhxfxfxgxhxgxxxx 证证0(1)lim( ) ( ),xxf x h xA 因因为为所以所以(2) 可以类似地证明可以类似地证明.无穷小量阶的比较0( )lim1,( )xxf xg x 定理定理 3.12 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例1.2sinarctanlim0 xxx计算计算0arctanlimsin2xxx解解),

12、0(22sin,arctanxxxxx因因为为所以所以可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.无穷小量阶的比较01lim.22xxx例例2.sinsintanlim30 xxxx 计计算算解解30tansinlimsinxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21 无穷小量阶的比较30tansinlimxxxx 定义定义2 2|( )|,f xG.)(lim0 xfxx存在存在 0，则称函数则称函数 f (x) 当当 x x0 时为无穷大量时为无穷大量,记作记作有有无

13、穷大量|( )|( )( ),f xGf xGf xG 若若定定义义中中的的改改为为或或记作记作00lim( )lim( ).xxxxf xf x 或或若对于任给若对于任给G 0, 设函数设函数 f 在在有定义有定义, )(0 xU无穷大量)();(00 xUxUx 使得当使得当时时, ,请读者自行写出它们的定义请读者自行写出它们的定义.;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx.)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx0( )f xxx相相应应地地称称为为时时的的正正无穷大量和负无无穷大量和负无类似地可以定义

14、如下的无穷大量类似地可以定义如下的无穷大量: :穷大量穷大量. .无穷大量例例3.1lim20 xx证证明明,|0时时当当 x,12Gx .1lim20 xx所以所以例例4 当当 a 1 时，证明时，证明.lim xxa这就证明了这就证明了.lim xxaxalog函数函数的严格递增性，的严格递增性，,Gax 当当 x M 时，时，由对数由对数log,aMG 取取证证 G 0 ( 不妨设不妨设 G 1 ), 证证, 0 G,1G 取取无穷大量,0Gaann .lim nna即即例例6 6设设 递增，无上界递增，无上界. 证明证明.lim nnana证证 因为因为 无上界，所以任给无上界，所以任

15、给 G 0，存在，存在na,0n例例50lim ln.xx 证证明明ln.xG lne0.Gx 由由于于单单调调增增, ,只只要要取取即即可可0nn 又因又因 递增，递增，na故当故当 时，时，.0Gan 使使0,0,G 对对要要找找到到,0 x使得使得证证无穷大量有有有有从无穷大量的定义与例从无穷大量的定义与例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常极限无穷大量不是很大的一个数，而是具有非正常极限的变量的变量 .的任何一个邻域内无界的任何一个邻域内无界. 例如：例如：xxxfsin)( 在在 的任何邻域内无界，但的任何邻域内无界，但却不是却不是 x

16、时的无穷大量时的无穷大量. 事实上事实上, 对对界量界量) , 在在 x0 的任何邻域内无界的任何邻域内无界 (称称 f (x) 是是 x x0 时的无时的无那么那么 f (x) 在在 x0 很明显很明显, 若若,)(lim0 xfxx但值得注意的是但值得注意的是: : 若若 f (x)无穷大量并不能保证并不能保证 f (x) 是是 x x0 的无穷大量的无穷大量.2 ,2 ,1, 2 ,2nnxnynn 因而因而 f (x)不是不是 x 时的无穷大量时的无穷大量.有有.0)(,)( nnyfxf两个无穷大量也可以定义阶的比较两个无穷大量也可以定义阶的比较 .无穷大量的的高高阶阶是是关关于于则

17、则称称若若)()(,0)()(lim. 10 xfxgxgxfxx 无穷大量无穷大量.使使和和正正数数若若存存在在正正数数,. 2 KL,),(0时时 xUx ,)()(KxgxfL 则称则称 f (x) 与与 g (x) 是当是当 x x0 时的一个同阶无穷时的一个同阶无穷大量大量.00lim( )lim( ).xxxxf xg x 设设无穷大量定理3.13的等价无穷大量，的等价无穷大量，记为记为., )()(0 xxxgxf下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系下述定理反映了无穷小量与无穷大量之间的关系,直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系直观地说：无穷大量与无穷小量构成倒数关系.

18、(1) 若若 f 为为 xx0 时的无穷小量时的无穷小量, 且不等于零，且不等于零，为为f1.0时的无穷大量时的无穷大量xx 是是与与则则称称若若)()(,1)()(lim. 30 xgxfxgxfxx 当当 x x0 时时则则时时为为则则时时的的无无穷穷大大量量为为若若001,)2(xxgxxg的无穷小量的无穷小量.无穷大量证证 这里仅证明定理的这里仅证明定理的 (1) . 有有时时当当,|00 xx这就证明了这就证明了.)(1lim0 xfxxf 为为 x x0 时的无穷小量，时的无穷小量，所以存在所以存在,0 使得使得(1) 若若 f 为为 xx0 时的无穷小量时的无穷小量, 且不等且不

19、等于零，于零，为为f1.0时的无穷大量时的无穷大量xx 无穷大量则则对于任意正数对于任意正数G , 因为因为1( ) ( )Gf x即即.)()(lim0 xgxfxx.2| )(|bxf 又因为又因为,)(lim0 xgxx所以对于任意正数所以对于任意正数G，,|020时时当当 xx.|2| )(|Gbxg 由极限的保号性由极限的保号性,证证,0)(lim0 bxfxx因为因为存在存在有有时时当当,|010 xx,01 例例7,)(lim,0)(lim00 xgbxfxxxx设设证明证明存在存在, 02 无穷大量12min, 取取.)()(lim0 xgxfxx注注 对于函数对于函数有有时时

20、当当,0,1)(,)( xxxgxxf.1)()(lim0 xgxfx这就说明了当这就说明了当 b = 0 时结论不一定成立时结论不一定成立.即即无穷大量00|,xx 当当时时 就就有有|( ) ( )|f x g x|2=2|bG Gb例例8存在存在证明证明时的无界量时的无界量为为设设:.)(0 xxxf使使得得,00 xxxxnn ,x 存存在在00|xx ， 使使得得.| )(|Gxf 110, 0|1 ,xxx ;1| )(|1 xf.)(lim nnxf证证，为无界量为无界量时时因为因为)(0 xfxx 所以所以,0 G，对对111,1 G, 0 无穷大量2201, 0|,2xxx2

21、,1122G 对对，于是于是;2| )(|2 xf. . . . . . . . . . . .;| )(|nxfn .)(lim nxxf由此得到一列由此得到一列 ，满足，满足 且且,00 xxxxnn nx. . . . . . . . . . . .,1, nnGnN 对对无穷大量n01, 0|,nxxxn 注注 例例8的证明提供了选取符合要求的点列的一种的证明提供了选取符合要求的点列的一种益处的益处的.方法方法. 熟练地掌握这种方法熟练地掌握这种方法, 对提高解题能力是有对提高解题能力是有作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐作为函数极限的一个应用，我们来讨论曲线的渐在中学里我们已

22、经知道双曲线的在中学里我们已经知道双曲线的标准方程为标准方程为, 12222byax它的渐近线方程为它的渐近线方程为.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近线问题近线问题.渐近线定义4下面给出渐近线的一般定义下面给出渐近线的一般定义.设设 L 是一条直线是一条直线. 若曲线若曲线 C 上的动点上的动点 P 沿曲线沿曲线无限远离原点时无限远离原点时, 点点 P 与与 L 的距离趋于零，的距离趋于零，则则称直线称直线 L 为曲线为曲线 C 的一条渐近线的一条渐近线(如图如图).bkxy PNML L)(xfy C CxyO渐近线.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由渐近线的

23、定义，由渐近线的定义，或或时时 (x xx,01)(lim2 kbkxxfx即即时时）,0,PN首先首先, 我们来看如何求曲线我们来看如何求曲线 的斜渐近线的斜渐近线.)(xfy 如图所示如图所示, 设斜渐近线设斜渐近线 L 的方程为的方程为.bkxy 曲曲线上的动点线上的动点 至直线至直线 L 的距离为的距离为),(yxPbkxy PNML L)(xfy C CxyO渐近线,01)(lim2 kbkxxfx从而从而. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx bkxy PNML L)(xfy C CxyO渐近线这样就确定了斜渐近线的两个参数：这样就确定了斜渐近线的两个参数：,)(limxxfkx . )