第43讲空间角

1、考占执占V八、八、八、第43讲空间角一求面面夹角（第3课时）定掌握!3。 求面面夹角定义.这条直线叫做二面角的二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角棱，这两个半平面叫二面角的两个面这两条二面角的平面角：从二面角的棱上任一点在它的两个面内各引一条垂直于棱的射线， 射线所成的角，叫做这个二面角的平面角 求面面夹角的步骤如下：找出或作出二面角的平面角；证明其确实是所求的面面夹 角；计算平面角的值，一般均在三角形中进行。也可以在棱上取 作二面角的平面角的方法有三种： i根据定义：过棱上一点分别在两个平面内作垂直于棱的射线所成的角。两点，过每一点在不同的面内作棱的一条垂线，这两垂线所

2、成的角。两垂足的连线与ii作垂面：过棱上一点作垂直于棱的平面与两个面的交线所成的角 iii根据三垂线定理：过一个面内一点分别作另一个面的垂线和棱的垂线， 棱的垂线所成的角 求面面夹角常用的方法如下：平面角法（这是常规解法，但有时较繁。）要求面面夹角，只要求出二面角的平面角即可。利用异面直线上两点的距离公式的变形COS2mn匡来求。1、Sn COS n。如果所有侧面与底面夹角都相等（），则利用面积射影公式来求设棱锥底面积为 S,各侧面积分别为 S-）、S2、Sn ,侧面与底面夹角分别为n，贝U S Si cos iS2 cos 2S S侧? cos例.如图，一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面

3、之间，AB与成450角，与成300角，过AB分别作两平面交线的垂线 AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的角。解法一：如图， AC CD , AC , ABC 30，同理， BAD 45 , AC 1, BC 3 , AD = BD = . 2 ,DC BC2 BD21,过D作DFAB于F，过F作FHAB交BC于H ,连接HD ,DFH为所求的二面角的平面角。ADB是等腰直角三角形，f DF = AF =BF =1,FH =BF ?tg302-33 ,BF2.3BD26BH，又 cos CBDcos303BC33DHBD2BH 22BD? BH ?cosCBD-63cos DFHDF2HF

4、2DH22DF ?HF，故所求的二面角为arcco.解法二.：如图，作 CEAB 于 E , DFAB 于 F ,在RtABC 中，CE爲AC sin601 -3AC 1 d,AE122 2 2在RtDAB 中，DFAB1 , AF =BF21EF = AF - AE点评：解法一使用方法（二面角的第1种作法）。1222又在 Rt BCD 中，CD , ( 3)2( 2)2由异面直线上两点的距离公式可得cos1EF2 CE2 DF2 CD22CE?DFV3arccos343故所求的二面角为arccos3点评：解法使用方法。2?空？121 2 - 2 2 2(?)中 1/ BD DC ,BD, 平

5、'面ABD 平面ADC ,1AD ? BDCD ?BD ?DC1AC ? BC ?cos ,22AD2V3二 cos,arccos。33点评：解法使用方法。解法三：对于三棱锥 C ABD，选取ABD作底面，则SABDS cbd ?cos ADCSadcS ABC ?cos例.如图，已知 ABC是斜边为10的等腰直角三角形，ABC所在的平面 外有一点S ,SA=SB = SC 13。求二面角 A SB - B。 解：过AC作平面AEC SB于E , 贝U AEC是二面角A SB C的平面角AB10SA=SB,S到AB的距离dSA2(AB)22:2而】SB?AE 1 AB ?d ,2 2.

6、ae 沖10313.2 - 25. 313SB SAB也 SCB13CE = AE13cos AEC 坐CE2 AC22 28 313 100故所求的二面角等于2AE?CE1692 28 31325313点评：本题如果作16925arccos 313AE SB于E ,连接CE,则要证CE SB，多一事。从 SAB也22all AEa ctg AFE2EFa2故所求的二面角为arctg 2(63 26 )。AE =BE = a , EF =BE 旦,点评：本题使用方法（二面角的第3种作法）BC , DBC 30 .求二面角 A - BD C .SCB 可证 CE SB。 本题使用方法（二面角的第

7、 2种作法）。例.如图，直二面角 一BC - , A , ABC是等腰直角三角形，A为直角,BC 2a, D , BCD为直角三角形，CD 解：作AE BC于E，贝U AE ,作AF BD于F，连接EF ,则EF BD AFE就是二面角 A BD C的平面角能力测试认真完成！于0，且PO 4, AB是圆01 如图，已知圆O的半径为3, PO垂直圆O所在的平面 的切线，A为切点，AB J1，求二面角A PB O。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）2如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为a，E、F分别是BC、CD的中点，求截面B.EFD,与侧面B1C1CB所成的二面角（分析

8、题目时使用左图，写解答过程时请使用右图.）解法一的图解法二的图PB丄面ABCD ,证明无论四棱锥的高怎样3四棱锥PABCD的底面是边长为 a的正方形, 变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90° .参考答案LJ 0134仔细核对！求面面夹角的方法1求面面夹角 2 的方法 3 证二面角相等 证二面角不等12345678VVVVVV1.如图，已知圆0的半径为3, PO垂直圆0所在的平面于0，且P0 4 , AB是圆0的切线，A为切点，AB .11，求二面角A-PB-0。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。） 解法一：如图，作 AE PB于E , 0F PB于F , 则A

9、E与0F所成角即为二面角 A - PB- 0的平面角，设为0AP0AB , 0B . 0A2 AB29 112.5 , P0 0B ,PBPO2 0B2.16206 ,P0,0AABABPA（三垂线定理）由AB2BE ?PB得BE116，由P02PF ? PB得PF8EFPB PF BE3831180 CLCCL11(-),AEBE ? PE 32696620F PF ?BFc 275 809c 275 8092 3694丫 369由 A02 AE2 0F2 EF2 2AE ?0F cos 得c22?cos , cos:5J5522/55故所求的二面角为arccos( 53 37 ).2758

10、3362，3 8275( )2 33622、55点评：解法一使用方法。解法二提示:作AD0B于D ,证AD面POB，则PDB为 PAB在面POB内的射影.2.如图，正方体ABCDA B1C1D1的棱长为a , E、F分别是BC、CD的中点，求截,写解答过程时请使用右图。）面BEFD1与侧面B1C1CB所成的二面角。（分析题目时使用左图 （87年预考题）解法一（作出平面角后解三角方程）： 如图，作D1H B1E，连接C1H。 C1H是D1H在侧面B1C1CB内的射影，- C1HB1E （三垂线定理逆定理），-D1HC1是所求二面角的平面角。在 B1C1E 中，GH?B1E B1CMBB1 2S

11、B1C1E ,C hB1C1 ? BB1B1E在 Rt CQiH 中，tg C1HD1C1D1CH故所求的二面角为arctg -扌。点评：解法一使用方法.(48 11解法二（利用S投影 S?cos ）:如图,在梯形B1EFD1中，Bi Di2a , EFOG 2a , OO1 a, O1G4OO12 OG2梯形B1EFD1的面积S梯形B1C1CE的面积S1(BQ11(ECEF)OiGB1C1 )CC12a21八(a2 2a)aa)2、23 2设所求的二面角的平面角为，9 2 贝U S ? cosS，即 a ? cos82 故所求的二面角为 arccos 。（ 483点评：解法二使用方法。 3。

12、四棱锥PABCD的底面是边长为 变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 作AE丄DP，垂足为 E,连结EC,贝U ADE CDE ,AE CE, CED 90，故 CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的 平面角，设AC与DB相交于点2 a OA AE2 在 AEC中，AE2 EC2cos AEC2AE EC 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于 点评：本题使用方法。本题具有一定的探索性。 4 .如图，已知空间四边形ABCDC AB D=C AD B。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图A11O,连结AD a2(2 OA)2CEO,(AE

13、3 a2，即4cos证明无论四棱锥的高怎样C的正方形90°。,PB丄面ABCD ,PAD与PCD恒为全等三角形，则EO丄AC ,.2OA)(AE . 2OA) QAE290°。中， BACCAD,求证：二面角证明：如图，作 CO 面ABD , CE AD于E , CF AB于F，连接OE、OF , / AB CF，CO 面 ABD ,二 AB OF （三垂线定理），同理 AD OE , OFC与 OEC分别是二面角C AB D与二面角C AD B的平面角。又BAC又CO公共，二面角C如图，CAD , O点在 BAD的平分线上， OF OFC 也 OEC ,AB D=C AD B。已知锐角 ABC在平面OE。OFCOEC ,内，且P ACPA = PB = PC，求证：二面角 P AB C（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）ABB。AC为平面外一点，且AAOE就无法C 90或O在ABC内。90时，下面说的作PEAB于 E , PFAC于F ,连接OE、OF ,则PEO1、PFO分别是二面角P AB C 与二面角PACB的平面角。PBPA , BEAE ,PCPA, CFAF ,而ABAC, AEAF ,又PE.PA2 AE2,PF.PA2 AF2 , PEPF ,POPO又sin 1PEO,sin