第18讲直线与二次曲线

1、数学高考综合能力题选讲18直线与二次曲线题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重主要涉及弦长、弦中点、对称、 参量的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.范例选讲例1 .已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆 x2 y2 10x 20 0相1切过点P 4,0作斜率为-的直线I，使得l和G交于代B两点，和y轴交于点42C,并且点P在线段AB上，又满足PA PB |PC (I)求双曲线G的渐近线的方程；(U)求双曲线G的方程；(川)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G

2、的实轴如果S中垂直于I的平行弦 的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.讲解：(I)设双曲线 G的渐近线的方程为：y kx，则由渐近线与圆x2 y2 10x5k20 0相切可得： x/5 所以，k12 双曲线G的渐近线的方程为：y 1x (U)由(I)可设双曲线G的方程为：x2 4y2 m 把直线1的方程y 4 x则 xA xBXaXb4代入双曲线方程，整理得3x216 4m 、8x 16 4m 0 2PA| |PB|PC| ,P, A,B,C 共线且 P 在线段 AB 上,2Xp Xa Xb XpXp Xc ,即：xB 4 4 xA 16,整理得：4 xA xB xAxB

3、 32 0 将（*）代入上式可解得：m 28 .2 2所以，双曲线的方程为I 1.2872 2（川）由题可设椭圆S的方程为： 爲1 a 2,7 .下面我们来求出S28 a2中垂直于丨的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为 M ,yi ,N X2,y2 ,MN的中点为P Xo,yo，贝U两式作差得:x1X2x-ix2282Xi282X2282 yi2 a2y2y y?由于4,x1 X2 2xo, y1 y2 2y°X X2所以，盏4yo2a0,所以，垂直于I的平行弦中点的轨迹为直线x284y2 a0截在椭圆S内的部分.又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以,2a1121

4、2 .所以,2 2a2 56，椭圆S的方程为：28倉1.点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的 关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段 ；有关弦中点的 问题，常常用到“设而不求"的方法;判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问 题的常用工具）.例2 设抛物线过定点A 1,0，且以直线x 1为准线.(I )求抛物线顶点的轨迹C的方程；(H)若直线l与轨迹C交于不同的两点M ,N ,且线段MN恰被直线x - 2平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y kx m ,试求m的取值范围.讲解：(I)设抛物线的顶点为 G x,y，则其焦点为F 2x 1

5、, y 由抛物线的定义可知：AF 点A到直线x 1的距离=2 .所以，4x2 y2 2 .2所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为:x2 I 1 x 14(n )因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确 定所以，要求m的取值范围，还应该从直线I与轨迹C相交入手.显然，直线I与坐标轴不可能平行，所以，设直线I的方程为丨：y -x b，k代入椭圆方程得：4k21x22bx b2 4 0I与轨迹C交的两点 M,N4b24k b24k24k2k2b20 (* )又线段MN恰被直线11平分，所以,xMXn2bk4k21代入(*)可解得:kx m为弦F面,只需找到m与k的关系，即可求出m的

6、取值范围由于1MN的垂直平分线，故可考虑弦 MN的中点P,y。221 1,1 4k1在l : y x b中，令xk，可解得：yob2k.2 2k 2k 2k3k21将点P, 2k代入y kx m，可得：m2从以上解题过程来看，求m的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与 其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式. 从这两点出发，我们可 以得到下面的另一种解法：解法二.设弦MN的中点为P1尹，则由点M，N为椭圆上的点，可知:也即： 3 yo 3.4xmyM44x 2N2yN4 0两式相减得：4XMXNXMXNyMYnYmYn又由于XmXn211,yMYn2Yo,YmYn 丄，代入上式

7、2XMXnk所以,点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时， 对于消元后的一元二次方程, 必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直 线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线I的方程与椭圆方程联立所得判别式大 于0”与“弦MN的中点P 1,y0在椭圆内”是等价的.2高考真题1. （ 1991年全国高考）双曲线的中心在坐标原点 O,焦点在x轴上，过双曲 线右焦点且斜率为,3的直线交双曲线于P、Q两点.若OP OQ，且PQ 4， 求双曲线的方程.2. （ 1994年全国高考）已知直线I过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点 在x轴正半轴上。若点A（1,0）和点B（0，8）关于I的对称点都在C上，求直 线I和抛物线C的方程.3. （ 1996年全国高考）已知Ii,I2是过点P （20）的两条互相垂直的直线,且Ii，I2与双曲线y2 x2=1各有两个交点，分别为A1 ,B1和A2,B2。（I）求I1的斜率k1的取值范围；(II)若| A1B1