第26讲平面向量的数量积及应用

1、第二十六讲一平面向量的数量积及应用一课标要求：1平面向量的数量积 通过物理中"功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 体会平面向量的数量积与向量投影的关系； 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过 程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二. 命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用重点体会向量为代数几何的结合

2、体，此类题难度不大，分值59分.平面向量的综合问题是“新热点"题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主预测2010年高考：(1) 一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档 题目。(2) 一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三. 要点精讲1 .向量的数量积(1)两个非零向量的夹角已知非零向量a与a,作0A = a , OB = b，则/ AOA(0三其力叫a与b的夹角； 说明：(1)当B=0时，a与b同向;当9= n时，a与b反向；(3) 当9= 一时，a与b垂直，记a丄b

3、;2(4) 注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围(2)数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则a b = I a i b i cos叫做a与b的数量积(或内积)规定o a o ；(3)数量积的几何意义:b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。向量的投影：|b I cos = R,称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值|a|称为射影;(4)向量数量积的性质向量的模与平方的关系a a2 |a |2。乘法公式成立a ba2 2a bb2b2a2a2b2；2a平面向量数量积的运算律交换律成立:a b b对实数的结合律成立:分配律成立：a b向量的夹角：cos=cos a

4、, ba?bX1X2 y y2。；22 / 2 2.Xi yi 、X2 y2当且仅当两个非零向量 a与b同方向时，0 =0°,当且仅当a与b反方向时B =180°，同时°与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。个人收集整理勿做商业用途(5) 两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 a (x1,y1),b (x2,y2)，贝U a 13=为乂2 y1y2。(6) 垂直：如果a与b的夹角为90°则称a与b垂直，记作a丄b 。平面向两个非零向量垂直的充要条件：a丄b a - b = Ox1 x2 y1 y2 0 ,量数量积的性质。(7) 平面内两点间的距离公式

5、设 a (x, y)，则 | a |2 x2 y2或 | a |. x2 y2。如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xi,yi)、gy2)，那么| a |(Xi X2)2 (yi 丫2)2 (平面内两点间的距离公式)2.向量的应用(1) 向量在几何中的应用；(2) 向量在物理中的应用.四. 典例解析题型1 :数量积的概念例1 判断下列各命题正确与否：(1) 0 a 0 ；(2) 0 a 0 ；(3) 若 a 0,a b a c，则 b c ；!*(4)若a b a C,则b c当且仅当a 0时成立；(5) (a b) ck1a (b c)对任意a,b,c向量都成立；(6)对任意向

6、量a ,有a2 |a 。解析：错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对.点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚 零向量，而0 a为零。成立例2. (1) (2002上海春，13)若a、b、C为任意向量，m R，则下列等式不 的是(A. (a b) c a (b c)B. (a b) c a c b cC. m ( a b) =ma+mbD. (a b) c a (b c)(2) (2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共 线，则(a b)c - ( c - a) b= 0 丨 a I - I b l I a b |

7、3( b - c) a - (c - a) b 不与c垂直(3a+2b)(3a -2b)=9|a I 2-4|b I 2 中，是真命题的有()A。B。C.D。解析:(1)答案：D；因为(a b) c | a | | b | cos c，而 a (b c) | b | | c| cos a ； 而c方向与a方向不一定同向。(2)答案:D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|a|、|b I、I a - b|恰为一个三角形的三条边长 ，由“两边之差小于第三边”，故真；因b¥¥bB-I-f»I-fI-¥f为(b- c)a - (c- a) b

8、 :- c=(b- c)a- c -(c- a) b - c=0,所以垂直故假;(3a+2 b ) (3a -2 b) =9 - a - a -4b - b=9|a I 2-4 I b |2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律.题型2 :向量的夹角例3. (1) (06全国1文，1)已知向量a、b满足|a | 1、|b| 4,且a b 2，则a与b的夹角为()A. 一B. 一 C . 一D . 一6432Hf(2) (06 北京文，12)已知向量a=(cos, sin ) , b =(cos,sin ),且 ab,那么a b与a b的夹角的大小是。I

9、-(3)已知两单位向量 a与b的夹角为120，若c 2a b,d 3b a,试求c与d的夹角。(4) (2005 北京 3)|a|=1, | b I =2, c= a+ b，且c丄a，则向量a与b的夹角为( )B. 60°C. 120°D . 150°解析：(1 ) C; (2)(3)由题意，a1，且a与b的夹角为1200 ,所以,ab cos120°(2a b)(2 ab)4a 4a bb27,同理可得而 c d (2a b) (3ba)7a2b 3b2 2a172设为c与d的夹角,则 cos 172J7T1317、91182。(4) C；设所求两向量

10、的夹角为c.a (ab). aa .b|a|2| a | b | cos即：cos|a|2|a|所以120o.|a|b|b|点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cosK=,要掌握向量坐标形式的运|a| |b|算.向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑对于a. b | a |b | cos这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。例4 （1 ）（06全国1理，9）设平面向量 印、a2、a3的和ai a2 a3 0。如果向量b、b2、b3，满足lb | 2 |ai |，且a顺时针旋转30o后与b同向，其中i 1,2,3 , 则（ ）3- 1- 1- b 1- *A

11、- a+b2+b3=0B bi - b2 +b3 =0W * -FF * 9- -fC b|+b2 b3 =0D bi +b2 +b3 =0（2）（06湖南理，5）已知|a| 2|b| 0,且关于x的方程x2 |a|x a b 0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（）2A. 0,B 一， C 一， D6333解析：（1 ） D; （2） B;点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。题型3 :向量的模例5. （1） （06福建文，9）已知向量a与b的夹角为120o, a 3,a b J13,则b等3),有 xa +y b(3x+4y, 4x+3y);于（）A 5B. 4C.

12、3D. 1(2)(06浙江文,5）设向量a, b, c满足ab c 0,F 1- , , a b,| a|1,币|2，则 |c|2 ()A. 1B. 2C.4D. 5解析：（1）B ； (2) D;点评:掌握向量数量积的逆运算| a|a b2，以及a|a|2。| b | cosQ例 6.已知 a =( 3, 4), b =(4, 3),求 x,y 的值使(xa +yb )丄 a，且 |xa +yb |=1.又( xa+y b )丄 a(xa +y b ) a = 03(3x+4y)+4(4x+3y) =0;即 25x+24y=0；又 |xa+yb 1 =1|xa +y b P =1;解析：由

13、a =( 3, 4) , b =( 4,(3 x+4y)+(4 x+3y) =1;777整理得 25x + 48xy+25y =1即卩 x ( 25x+24y)+24xy+25y =1;由有24xy+25y =1；将变形代入可得:y=± 7；再代回得:2424xx35和3555y- y77，注意体现方程组思想。点评：这里两个条件互相制约 题型4 :向量垂直、平行的判定例 7. (2005 广东 12)已知向量 a (2,3), b (x,6)，且 a/b，则 x 解析/ a/b，二 X°2X2W , 26 3x, /.x4。例8.已知a4,3 , b1,2,ma b, n2

14、ab,按下列条件求实数的值。(1)m n ；(2) m / n ；m,解析m ab4,3 2,n2a b7,8(1)mn473 28 052 .9 ；(2) m/n483 27 02m,nV 423 22x'72822548802 2 11。5点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。 题型5 :平面向量在代数中的应用例 9.已知 a2 b21, c2 d21,求证：|ac bd| 1。2 2 2 2分析：a b 1, cd 1,可以看作向量x (a, b),y (c, d)的模的平方,而ac bd则是x、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。证明：设x(a,

15、b),y(c, d)则x yacbd, | x|a2 b2 ,|；| .,c2 d21-t-|x y|x|y|,|ac bd |.a2 b2c2 d21点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如|a b| |a| |b|，|a b| |a| |b|； a b |a b| |a|b|等.例 10.已知 a cos , sin , b cos , sin ，其中 0(1) 求证:a + b与a b互相垂直；(2) 若ka b与ka b ( k 0)的长度相等，求2 2解析：(1)因为(a + b) (a b) a a b + b a b2 2 a b|a|2 |b|2

16、. cos2sin2, cos2sin21 1 0所以a + b与a b互相垂直(2) k a + b k cos cos , k sin sink a b k cos cos , k sin sin所以 |k a b| k2 2kcos1 ,|k a b| k22 k cos1 ,因为 |ka b| |k a b|,2所以k 2k cos21 k 2 k cos1,有 2 k cos2k cos因为k 0,故cos又因为0所以一。2点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三 角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三 角式的

17、结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度题型6:平面向量在几何图形中的应用例11. (2002年高考题)已知两点 M ( 1,0), N(1,0)，且点P(x, y)使得MP MN ,PM PN , NM NP成公差小于零的等差数列。(1)求证 x2 y23(x0)；(2)若点P的坐标为(x0, y0)，记PM与PN的夹角为 ，求tan解析：(1)略解：PM PNx2 y21，由直接法得x2y23(x 0)(2)当P不在x轴上时,1S pmn |PM|PN|sin1-PM PN tan21?|MN |y°|而 PN PM(1x°,y°

18、;) (1x°, y°)x：y012,| MN | 2所以tan | y° |,当p在x轴上时，y° 0,tan0，上式仍成立。证明:联结0P,设向量 OA a, OPb，贝U OBa 且 PA OA OP a b ,PBOBOPa bPAPB2 2 2 b a |b|a|20PAPB，即/ APB = 90°个人收集整理勿做商业用途图111点评：由正弦面积公式 S |a|b|sin|a|b|cos tan22到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系例12.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角1a b tan 得2已知：如图，

19、AB是O O的直径，点 P是O O上任一点（不与A、B重合），求证：/APB = 90°。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何 意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7 :平面向量在物理中的应用 例13.如图所示，正六边形PABCDE的边长为b,有五个力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一点P,求五个力的合力.解析:所求五个力的合力为 PA PB PC PD PE，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE,则PO PA PE ,由正六边形的性质可知|PO|PA| b,且O点在 PC上，以PB、PD为边作平行四边形 PBFD

20、，则PF PB PD，由正六边形的性质可知| PF| 3b，且F点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得 |PC | 2b故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 2b 3b 6b ,方向与PC的方向相同。五. 思维总结1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定(2)两个向量的数量积称为内积， 写成a b ；今后要学到两个向量的外积 a X b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“X”代替 ；(3) 在实数中，若 a 0,且a b=0,则b=0；但是在数量

21、积中，若a 0,且a b =0,不能推 出b= 0。因为其中cos有可能为0；« «-* T(4) 已知实数 a、b、c (b 0),则 ab=bca=c.但是 ab=bc二 a c ；在实数中，有 ( a b) c = a(be)，但是(a b) ca ( b c),显然，这是因如右图：a b =| a |b 1 cos =1 b| 1 OA|,b c =1 b 1 c | cos =1 b | |OA|a b =bc,但 ac ；为左端是与c共线的向量，而右端是与 a共线的向量，而一般a与c不共线.2平面向量数量积的运算律 特别注意：(1)结合律不成立：a b c a b c;(2)消去律不成立a b a c不能得到b c ；a b=0不能得到a = 0或b = 0。3.向量知识，向量观点在数学