《复数》知识点总结

1、复数知识点总结1 1 复数的概念形如a bi(a,b R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21,a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部. .(1)(1) 纯虚数：对于复数z a bi，当a 0 且 b 0时，叫做纯虚数. .(2)(2) 两个复数相等：a bi,c di(a、b c、d R)相等的充要条件是a c 且 b=d. .(3)(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点 为虚轴. .uuu复数的模：复数z a bi可以用复平面内的点Z(a,b)表示，向量OZ的模叫做复数z a bi的模，表示为：|z| |a bi | . a2b2(5 5)共轭

2、复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. .2 2、复数的四则运算(1 1) 加减运算：(abi)(cdi)(ac) (bd)i;(2 2) 乘法运算：(abi) (cdi)(ac bd) (adbc)i;(3 3) 除法运算：(abi)(cdi)(ac2bd)2(bc2芽心di 0)；cd2cd2i的幕运算:4ni4ri 1.4n24n3(4 4)1,i,i1,ii.(n Z)(5 5)ZZ |z|2|z|23 3、规律方法总结(1)对于复数z a bi(a,b R)必须强调a, b均为实数，方可得出实部为a，虚部为b(2) 复数z a bi(a,b R)是由它们

3、的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法对于一个复数z a bi(a,b R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识(3) 对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分， 但却有相等与不等之分 (4) 数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、 关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等又 3 3 为纯虚数，所以，3a3a 8 8= 0 0，且 6 6+ 4a4a 0 0。Z22 2、复数方程问题例 2 2.证明：在复数范围内，

4、方程|z|2(1i)z55i5i（i i 为虚数单位）无解2i证明： 原方程化简为|z| （1 i）z(1 i)z13i,设 z z = x x + yiyi（x x、y yR）,代入上述方程得x22x y22xi 2yi 1 3i.y21整理得8x212x502x2y 3160.方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3 3、综合类1例 3 3 设 z z 是虚数，z是实数，且11 22Z(1)(1)求|z|z|的值及 z z 的实部的取值范围；(2)(2)设M1 z求证：M M 为纯虚数;1 z(3)(3)求M2的最小值。解：(1 1 )设 z z = a a + bibi (a a,

5、b bR, b 0)1所以，z z 的实部的取值范围（一丄,1）21因为 a a （ 一,1）,b 0，所以 M M 为纯虚数2(2)(2)M1 a bi1 abi(1 a bi)(1 a bi) 1 a2b22bi(1 a bi)(1 a bi) (1 a)2b2bia 1（这1 1、基本概念计算类例 1 1 若Zia 2i, z23 4i,且勺为纯虚数，则实数 a a 的值为_Z2解：因为， 勺 =-_-_2i2iz23 4i(a 2i)(3 4i)(3 4i)(3 4i)3a 6i 4ia 8253a 8 (6 4a)i25a bi1a bi(a(b因为,a ba b22所以，a b1

6、1，即|z|z| = 1 1,因为 =2a2a,11 2010,所以M22 2X 2 2- 3 3= 1 1,212当 a a+ 1 1 = ，即 a a= 0 0 时上式取等号，所以，M2的最小值是 1 1。a 14 4、创新类例 4 4.对于任意两个复数 召x1y1i, z2x2y2i(x1, x2, y1, y2点，右1o2= 0 0，则在P-）OP2中，PQP2的大小为(3)(3)2ab2(a 1)22a1 a2(a 1)22a解法一：（解析法）设1a1a2b2i(a1, a20),P?(a2,b2)，且a1a2b1b2= 0 0,即b1b2a1a2从而有kOP11kOP22=21aa2故OROP2, ,也即POP2900解法二:（用复数的模）同法一的假设,IOP1|21|22a1b122|OP2|2I22a2|RP2|22I2|(a1a：)(b1b2)i |22+a2b b； - 2 2 (a1a2b1b2) =a；22+a22.2 2=ab+a2b；=|OP |2+2|OP2|由勾股定理的逆定理知P1OP2900解法三：（用向量数量积的知识）同法一的假设，知OP1(a1,b1