2015届高考数学二轮专题检测：17导数的综合应用

1、17导数的综合应用1已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0，现给出如下结论：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0；f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是_答案解析f(x)x36x29xabc，a<b<c，f(x)3x212x93(x24x3)3(x1)(x3)，函数f(x)和导函数f(x)的大致图象如图所示：由图得f(1)169abc4abc>0，f(3)275427abcabc<0，且f(0)abcf(3)<0，所以f(0)f(1)<0，f(0)f(3)

2、>0.2.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_答案解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除；从适合f(x)0的点可以排除.3已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为_答案0解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)<0，故函数f(x)在，1)上单调递减；当x(1,2时，f(x)>0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.4函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)>1，则不等式ex·f(x)>

3、;ex1的解集为_答案(0，)解析构造函数g(x)ex·f(x)ex，因为g(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)ex>exex0，所以g(x)ex·f(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0·f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.5关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x<0或x>2

4、时，f(x)>0；当0<x<2时，f(x)<0.所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(0)a，当x2时，f(x)取得极小值，即f(2)4a.所以解得4<a<0.6已知函数f(x)的定义域为1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x1045f(x)1221函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1<a<2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数是_答案1解析首先排除，不能确定周期性；f(x)在0,2上时，f

5、(x)<0，故正确；当x1，t时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0t5，所以排除；不能确定在x2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故错误7已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可8某名牌电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(

6、x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，解得x40或x1(舍)当x>40时，y>0，当0<x<40时，y<0，所以当x40时，y最小9把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0<x<6)，V(x2)(x6)当x2时，V最大此时底面周长为6x4,4221.10(2013·重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米

7、，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r>0，又由h>0可得r<5，故函数

8、V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)，令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大11(2013·江苏)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满

9、足：存在x01，)，使得f(x0)<a(x3x0)成立试比较ea1与ae1的大小，并证明你的结论(1)证明因为对任意xR，都有f(x)exe(x)exexf(x)，所以f(x)是R上的偶函数(2)解由条件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立令tex(x>0)，则t>1，所以m对任意t>1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)解令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex>0，x210，又a>0，故g(x)>0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在

10、1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)<0成立，当且仅当最小值g(1)<0.故ee12a<0，即a>.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)<0，故h(x)是(0，e1)上的单调减函数；当x(e1，)时，h(x)>0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数，所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)<h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)<h(e

11、)0.所以h(x)<0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)<0，即a1>(e1)ln a，从而ea1<ae1；当ae时，ea1ae1；当a(e，)(e1，)时，h(a)>h(e)0，即a1>(e1)ln a，故ea1>ae1.综上所述，当a时，ea1<ae1；当ae时，ea1ae1；当a(e，)时，ea1>ae1.12(2013·陕西)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设a<b，比较f与的大小，并说

12、明理由(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1.于是在点(1,0)处的切线方程为yx1.(2)证明方法一曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x<0时，h(x)<0，(x)在(，0)上单调递减；当x>0时，h(x)>0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点方法二ex>0，x2x1>0，曲线yex与yx2x1公共点的个数等于曲线y与y1公共点的个数，设(x)，则(0)1，即x0时，两曲线有公共点又(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲