2015届高三数学复习综合题选（4）数列

1、2015届高三数学复习综合题选（4）数列1（2015汕尾模拟）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足4Sn=a+2an（1）求a1的值；（2）求an的通项公式；（3）求证：+2，nN2（2015洛阳一模）已知数列an的前n项和公式为Sn=×3n+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log3，求数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）3（2015兴国县一模）数列an的前n项和为Sn，且Sn=2（an1）（nN+）（1）求数an的前n项和为Sn；（2）若bn=log2an+1（n1，nN），设Tn为数列的前n项和，求Tn4（2015南充一模）已知递增等差数列an中的a2

2、，a5是函数f（x）= +10x+5的两个极值点数列bn满足，点（bn，Sn）在直线y=x+1上，其中Sn是数列bn的前n项和（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn5（2015四川模拟）已知数列an是公差d不为零的等差数列，bn是等比数列，函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6（）求a6的值；（）若f（a2+a8）=f（a3+a11），求数列bn的通项公式；（）若a2=，设Tn为数列的前n项和，若Tn=，求正整数n的值6（2015四川模拟）已知数列an是公差为d的等差数列，bn是等比数列，函数f（x）=b1x2+

3、b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6（）求a6的值；（）若d0且f（a2+a8）=f（a3+a11），求数列bn的通项公式bn；（）设Tn=+（n6），若Tn的最小值为2，求d的值7（2015河南二模）数列an满足a1=，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）（）证明数列tan2an是等差数列，并求数列tan2an的前n项和；（）求正整数m，使得11sina1sina2sinam=18（2014山东）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn9（2014上海）已

4、知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若an是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差数列，求数列a1，a2，a100的公差的取值范围10（2014重庆三模）已知数列an的前n项和Sn=an（）n1+2（n为正整数）（1）令bn=2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）令cn=an，若Tn=c1+c2+cn，求Tn11（2014江西三模）已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足a2+a3=a4，a1

5、1=a3+a4，记bn=a2n1（nN*）（1）求数列bn的通项公式；（2）设数列的前2014项和为T2014，求不超过T2014的最大整数12（2014淮南一模）已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn；数列bn是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20（1）求an和bn的通项公式；（2）令cn=Sncos（）（nN+），求cn的前20项和T2013（2014香洲区模拟）在数列an中，已知a1=，bn+2=3an（nN*）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Sn14（2014天津模拟）已知数列an，bn，a

6、1=b1=1，且当n2时，annan1=0，bn=2bn12n1记n的阶乘n（n1）（n2）321=n!（）求数列an的通项公式；（）求证：数列为等差数列；（）若cn=+bn2n，求cn的前n项和15（2014洛阳一模）已知数列an的前n项和Sn=2an2n+1+2（n为正整数）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2a1+，求数列的前n项和Tn16（2014南昌模拟）已知数列an中，a1=，当n2时，2an=an11（1）求数列an的通项公式（2）设bn=，数列bn前n项的和为Sn，求证：Sn217（2014河南）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1

7、，其中为常数（）证明：an+2an=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由18（2014和平区三模）已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立19（2014萧山区模拟）在数列an中，任意相邻两项为坐标的点P（an，an+1）均在直线y=2x+k上，数列bn满足条件：b1=2，bn=an+1an（nN）（）求数列bn的通项公式；（）若cn=bnlog2，Sn=c1+c2+cn，求2n+1Sn60n+2成立的正整数n的最小值

8、20（2014陕西一模）已知数列an中，a1=5且an=2an1+2n1（n2且nN*）（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn21（2014南昌模拟）数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足Sn2=an（Sn1）（1）求证：数列是等差数列；（2）设bn=log2，数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn6的最小正整数n22（2014江西模拟）已知数列an为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2a5=a1a14令，数列bn的前n项和为Tn（1）求an及Tn；（2）是否存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求

9、出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由23（2014九江模拟）已知数列an中，a1=1，（）求数列an的通项公式；（）求数列n2an的前n项和Tn24（2014潍坊模拟）已知正项数列an的前n项和为Sn，a1=，且满足2Sn+1=4Sn+1（nN*）（）求数列an的通项公式；（）当1in，1jn（i，j，n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和25（2014太原二模）已知各项均为正数的数列an满足，且a2+a4=2a3+4，其中nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足是否存在正整数m、n（1mn），使得b1，bm，bn成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不

10、存在，请说明理由26（2014广州模拟）数列an，bn满足：a1=2，2an+1=an+n，bn=ann+2（nN*）（1）求数列bn的通项公式；（2）设数列an，bn的前n项和分别为An、Bn，问是否存在实数，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由27（2014重庆模拟）已知数列an的首项a1=，其中nN+（）求证：数列为等比数列；（）记Sn=，若Sn100，求最大的正整数n28（2014荆门模拟）已知数列an满足：a1=1且（1）若数列bn满足：，试证明数列bn1是等比数列；（2）求数列anbn的前n项和Sn；（3）数列anbn是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由2

11、9（2014南阳三模）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，（）求数列an的通项公式；（）若，数列bn的前项和为Tn，nN*证明：Tn230（2014宝山区二模）已知数列an满足（c为常数，nN*）（1）当c=2时，求an；（2）当c=1时，求a2014的值；（3）问：使an+3=an恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论参考答案与试题解析1（2015汕尾模拟）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn满足4Sn=a+2an（1）求a1的值；（2）求an的通项公式；（3）求证：+2，nN考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）4Sn=a+2an令n=1

12、，可得+2a1，解出即可（2）当n2时，4an=4Sn4Sn1，化为（an+an1）（anan12）=0，可得anan1=2，利用等差数列的通项公式即可得出（3）当n=1时，=12成立当n2时，=利用“裂项求和”即可得出解答：（1）解：4Sn=a+2an令n=1，可得+2a1，a10，解得a1=2（2）解：当n2时，4an=4Sn4Sn1=，化为（an+an1）（anan12）=0，an0，an10，anan1=2，数列an是等差数列，an=2+2（n1）=2n（3）证明：当n=1时，=12成立当n2时，=+=+1+=22点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查

13、了推理能力与计算能力，属于中档题2（2015洛阳一模）已知数列an的前n项和公式为Sn=×3n+1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log3，求数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）考点：数列的求和；数列的函数特性菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（1）利用an=求解（2）bn=log3=n4，由此能求出数列 |bn|的前n项和Tn（其中，n5）解答：解：（1）Sn=×3n+1，当n=1时，a1=S1=×32=3，当n2时，an=SnSn1=（×3n+1）（×3n+2）=3n，当n=1时，上式成立，an=

14、3n（2）bn=log3=n4，令bn0，即n40，得n4，即第四项开始各项均非负，当n5时，Tn=3+2+1+0+=点评：本题考查数列的通项公式和前n项绝对值的和的求法，解题时要注意对数性质的合理运用3（2015兴国县一模）数列an的前n项和为Sn，且Sn=2（an1）（nN+）（1）求数an的前n项和为Sn；（2）若bn=log2an+1（n1，nN），设Tn为数列的前n项和，求Tn考点：数列的求和菁优网版权所有专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）先由数列递推式求出首项，再由数列递推式得到数列Sn+2是以4为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得数an的前n项和为Sn

15、；（2）求出等比数列的通项，代入bn=log2an+1求得bn，进一步代入数列后由裂项相消法求其前n项和解答：解：（1）当n=1时，S1=a1=2（a11），a1=2；当n2时，Sn=2Sn2Sn12，即Sn+2=2（Sn1+2），而S1+2=40，Sn+2是以4为首项，以2为公比的等比数列Sn=42n12=2n+12当n=1时，上式成立，Sn=2n+12；（2）由（1）知an=2n，bn=log2an+1=n+1，而，Tn=1+=点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题4（2015南充一模）已知递增等差数列an中的a2，a5是函数f（x）=+10x+5的两个极值点

16、数列bn满足，点（bn，Sn）在直线y=x+1上，其中Sn是数列bn的前n项和（1）求数列an和bn的通项公式；（2）令cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）先对原函数求导得到极值点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；（2）直接使用错位相减法求之即可解答：解：（1），则f'（x）=x27x+10因为a2，a5是函数的两个极值点，则，解得：或又等差数列an递增，则，所以3分因为点（bn，Sn）在直线y=x+1上，则Sn=bn+1当n=1时，b1=S1=b1+1，即当n2时，bn=SnSn1=（bn+1）（bn1+1），

17、即所以数列bn为首项为，公比为的等比数列，即6分（2）由（1）知：且，则所以1得：所以12分点评：本题考查的知识点利用导数求函数的极值；等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和是中档题5（2015四川模拟）已知数列an是公差d不为零的等差数列，bn是等比数列，函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6（）求a6的值；（）若f（a2+a8）=f（a3+a11），求数列bn的通项公式；（）若a2=，设Tn为数列的前n项和，若Tn=，求正整数n的值考点：数列的求和；数列与函数的综合菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（I）由于函数f（x）=b1x2+b

18、2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6可得b3=4，且当x=时，函数f（x）取得最大值=b3=，解得a6（II）由f（a2+a8）=f（a3+a11），可得=化为=，即可解得（）由于a2=，a6=，可得公差d=1，即可得出an=可得=利用“裂项求和”可得数列的前n项和Tn=由于Tn=，令=，解得n即可解答：解：（I）函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6b3=4，当x=时，函数f（x）取得最大值=b3=4+1=3=，解得a6=（II）f（a2+a8）=f（a3+a11），=2a6=1，公比q=2数列bn的通项公式bn=4×（2）n3=

19、（2）n1（）a2=，a6=，公差d=1，an=a2+（n2）d=+n2=n=数列的前n项和Tn=+=Tn=，=，解得n=6点评：本题综合考查了二次函数的性质、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题6（2015四川模拟）已知数列an是公差为d的等差数列，bn是等比数列，函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6（）求a6的值；（）若d0且f（a2+a8）=f（a3+a11），求数列bn的通项公式bn；（）设Tn=+（n6），若Tn的最小值为2，求d的值考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（I）由于

20、函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6可得b3=4，且当x=时，函数f（x）取得最大值=b3=，解得a6（II）由f（a2+a8）=f（a3+a11），可得=化为=，即可解得（III）Tn=+=+=，可知：当n=6时，Tn取得最小值=2，解得d即可解答：解：（I）函数f（x）=b1x2+b2x+b3的图象在y轴上的截距为4，其最大值为a6b3=4，当x=时，函数f（x）取得最大值=b3=4+1=3=，解得a6=（II）f（a2+a8）=f（a3+a11），=2a6=1，公比q=2数列bn的通项公式bn=4×（2）n3=（2）n1（III）Tn=+

21、=+=，当n=6时，Tn取得最小值=2，解得d=点评：本题综合考查了二次函数的性质、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于难题7（2015河南二模）数列an满足a1=，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）（）证明数列tan2an是等差数列，并求数列tan2an的前n项和；（）求正整数m，使得11sina1sina2sinam=1考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）由于对任意正整数n，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）可得tan2an+1=1+tan2an，即可证明数列tan2an是等差数列，再利用

22、通项公式及其前n项和公式即可得出（II）由cosan0，tanan+10，可得tanan，cosan，利用同角三角函数基本关系式可得sina1sina2sinam=（tana2cosa1）（tana3cosa2）（tanamcosam1）（tana1cosam）=（tana1cosam），即可得出解答：（）证明：对任意正整数n，an（，），且tanan+1cosan=1（nN*）故tan2an+1=1+tan2an，数列tan2an是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差=数列tan2an的前n项和=+=（）解：cosan0，tanan+10，tanan=，sina1sina2sinam=（

23、tana1cosa1）（tana2cosa2）（tanamcosam）=（tana2cosa1）（tana3cosa2）（tanamcosam1）（tana1cosam）=（tana1cosam）=，由，得m=40点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题8（2014山东）已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）令bn=（1）n1，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）利用等差数列与等比数

24、列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（）由（）可得bn=对n分类讨论“裂项求和”即可得出解答：解：（）等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，Sn=n2n+na1，S1，S2，S4成等比数列，化为，解得a1=1an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）由（）可得bn=（1）n1=Tn=+当n为偶数时，Tn=+=1=当n为奇数时，Tn=+=1+=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题9（2014上海）已知数列an满足anan+13an，nN*，a1=1（1）若a2=2，a3

25、=x，a4=9，求x的取值范围；（2）若an是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1，a2，a100成等差数列，求数列a1，a2，a100的公差的取值范围考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意可得：，代入解出即可；（2）设公比为q，由已知可得，由于，可得而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出（3）设公差为d，由已知可得31+（n2）d，其中2n100，即，解出即可解答：解；（1）由题意可得：，；又，3x27综上可得：3x6（2）设公比为q，由已知可得，又，因此，m=1logq1000=1=7.28

26、m的最小值是8，因此q7=，=（3）设公差为d，由已知可得1+nd31+（n1）d即，令n=1，得当2n99时，不等式即，综上可得：公差d的取值范围是点评：本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题10（2014重庆三模）已知数列an的前n项和Sn=an（）n1+2（n为正整数）（1）令bn=2nan，求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；（2）令cn=an，若Tn=c1+c2+cn，求Tn考点：数列的求和；等差关系的确定菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据数列an的前n项和Sn=an（）

27、n1+2（n为正整数）利用得出再利用bn=2nan，可得当n2时bnbn1=1即得出数列bn是等差数列，进而可求出bn然后求出an（2）由（1）可求出再结合其表达式的特征知可用错位相减法求Tn解答：解：（1）在Sn=an（）n1+2中令n=1可得s1=a11+2=a1即a1=当n2时an=SnSn1=an+an1+2an=an1+（即bn=2nan，bnbn1=1即当n2时bnbn1=1又b1=2a1=1数列bn是首项和公差均为1的等差数列（2）由（1）得，+（n+1） =2×+3×+4×+（n+1） 由得=1+（n+1）=（n+3）（）n+1Tn=3（n+3）（

28、）n点评：本题主要考查了数列通项公式的求解和数列的求和，属常考题，较难解题的关键是公式以及错位相减法求和的应用!11（2014江西三模）已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足a2+a3=a4，a11=a3+a4，记bn=a2n1（nN*）（1）求数列bn的通项公式；（2）设数列的前2014项和为T2014，求不超过T2014的最大整数考点：数列的求和；数列递推式菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，求出首项和公比，公差，即可求出相应的通项公式（2）求出数列的通项公式，利用裂项法即可求前2014项和为T2014，

29、即得到得到结论解答：解：（1）设奇数项构成等差数列的公差为d，偶数项构成的等比数列的公比为q，由a2+a3=a4，a11=a3+a4，得，解得d=1，q=2，则a2n1=1+（n1）×1=n，bn=a2n1=n（2）=1+=1+，则数列的前2014项和为T2014=（1+1）+（1）+（1+）=2015，则不超过T2014的最大整数为2014点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用裂项法法是解决本题的关键，考查学生的计算能力12（2014淮南一模）已知an是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn；数列bn是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=2

30、0（1）求an和bn的通项公式；（2）令cn=Sncos（）（nN+），求cn的前20项和T20考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据题意，设an的公差为d，bn的公比为q，由已知条件a2b2=12，S3+b2=20，可得关于d、q的方程组，求解可得d、q的值，结合等比等差数列的通项公式，可得答案；（2）将an的通项公式代入，讨论n的奇偶，再根据等差数列的求和公式解之即可解答：解：（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则a2b2=（3+d）q=12，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，3d+q=11，变形可得q=113d，代入可得：

31、（3+d）（11d）=33+2d3d2=12，即3d22d21=0，则（3d+7）（d3）=0，又由an是单调递增的等差数列，有d0，则d=3，q=113d=2，an=3+（n1）×3=3n，bn=2n1，（2），点评：本题综合考查等比、等差数列，涉及数列的求和，解题的关键在于分析发现Sn与cn的关系，转化来求出答案，注意要分n为奇数与偶数2种情况进行讨论属于中档题13（2014香洲区模拟）在数列an中，已知a1=，bn+2=3an（nN*）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和Sn考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列

32、分析：（1）由条件建立方程组即可求出数列an、bn的通项公式；（2）根据错位相减法即可求cn的前n项和Sn解答：解：（1）a1=，数列an是公比为的等比数列，又，故 bn=3n2（nN*）（2）由（1）知，于是两式相减，得=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力14（2014天津模拟）已知数列an，bn，a1=b1=1，且当n2时，annan1=0，bn=2bn12n1记n的阶乘n（n1）（n2）321=n!（）求数列an的通项公式；（）求证：数列为等差数列；（）若cn=+bn2n，求cn的前n项和考点：数列的求和；等差数列的

33、通项公式；等比数列的通项公式；等差关系的确定菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）把递推式annan1=0变形后进行循环，可以得到an=n（n1）（n2）321=n!，验证a1成立，则数列an的通项公式可求；（2）把给出的递推式两边同时除以2n，移向整理即可证得数列为等差数列；（3）把数列an的通项代入，把数列bn的通项代入，利用裂项相消和错位相减法分别求出数列和的和后直接作和即可解答：（1）解：annan1=0（n2），a1=1，an=nan1=n（n1）an2=n（n1）（n2）an3=n（n1）（n2）321=n!又a1=1=1!，an=n!（2）证明：由，两边同时除以2n得

34、：，即数列是以为首项，公差为的等差数列，则，故（3）解：因为，记An=记的前n项和为Bn则 由得：=Sn=c1+c2+c3+cn=所以数列cn的前n项和为点评：本题考查了等差关系的确定，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，考查了利用裂项相消和错位相减法求数列的前n项和，是中档题15（2014洛阳一模）已知数列an的前n项和Sn=2an2n+1+2（n为正整数）（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=log2a1+，求数列的前n项和Tn考点：数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）利用公式求出an和an1的关系式，再用构造法能求出数列an的通项公式（2）由数列a

35、n的通项公式得到，再根据已知条件利用对数函数的性质求出bn，利用裂项求和法能求出数列的前n项和Tn解答：解：（1）Sn=2an2n+1+2（n为正整数），解得a1=2，当n2时，an=SnSn1=2an2n+1+22an1+2n2=，又，数列是首项和公差均为1的等差数列，（2），bn=log2a1+=1+2+n=，Tn=2（1+）=点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用16（2014南昌模拟）已知数列an中，a1=，当n2时，2an=an11（1）求数列an的通项公式（2）设bn=，数列bn前n项的和为Sn，求证：Sn2考点：数列的求和

36、；数列递推式；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由递推公式构造构造数列an+1为等比数列，即求得；（2）利用裂项相消法求和，再进行放缩解答：解：（1）当n2时，2an=an112（an+1）=an1+1=，数列an+1是以a1+1=为首项，公比为的等比数列3分an+1=an=16分（2）bn=2（）9分sn=2（）+2（）+2（）=2（1）212分点评：本题考查递推数列求通项公式的方法构造法，及利用裂项相消法对数列求和，应多体会其特点17（2014河南）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn1，其中为常数（）证明：an+2a

37、n=（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由考点：数列递推式；等差关系的确定菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）利用anan+1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，相减即可得出；（）对分类讨论：=0直接验证即可；0，假设存在，使得an为等差数列，设公差为d可得=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，得到Sn=，根据an为等差数列的充要条件是，解得即可解答：（）证明：anan+1=Sn1，an+1an+2=Sn+11，an+1（an+2an）=an+1an+10，an+2an=（）解：当=0时，anan+1=1，假设an为等差数列，设公差为d则an+2a

38、n=0，2d=0，解得d=0，an=an+1=1，12=1，矛盾，因此=0时an不为等差数列当0时，假设存在，使得an为等差数列，设公差为d则=an+2an=（an+2an+1）+（an+1an）=2d，Sn=1+=，根据an为等差数列的充要条件是，解得=4此时可得，an=2n1因此存在=4，使得an为等差数列点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题18（2014和平区三模）已知数列an中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn1=2Sn+1，其中（n2，n

39、N*）（1）求数列an的通项公式；（2）设为非零整数，nN*），试确定的值，使得对任意nN*，都有bn+1bn成立考点：数列递推式菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）本题由条件Sn+1+Sn1=2Sn+1，借助项与和关系SnSn1=an，可确定数列为等差数列，进而求出数列an的通项公式an=n+1（2）由an通项写出bn的通项，欲证明数列为递增数列，可借助作差法证明bn+1bn0即可，进行整理变形即转化为对（1）n12n1（nN*）恒成立的证明借此讨论N的奇数偶数两种情况就可求出的范围，再综合为非零的整数即可确定的具体取值解答：解：（1）由已知，（Sn+1Sn）（SnSn1）=1（n2，nN

40、*），即an+1an=1（n2，nN*），且a2a1=1数列an是以a1=2为首项，公差为1的等差数列an=n+1（2）an=n+1，bn=4n+（1）n12n+1，要使bn+1bn恒成立，bn+1bn=4n+14n+（1）n2n+2（1）n12n+10恒成立，34n3（1）n12n+10恒成立，（1）n12n1恒成立（）当n为奇数时，即2n1恒成立，当且仅当n=1时，2n1有最小值为1，1（）当n为偶数时，即2n1恒成立，当且仅当n=2时，2n1有最大值2，2即21，又为非零整数，则=1综上所述，存在=1，使得对任意nN*，都有bn+1bn点评：本题主要考查了数列的通项公式的求法，并借助数列

41、增减性的证明方法求通项中参变量的范围，其中在证明（1）n12n1恒成立这一过程属于难点学生不易将n分为奇数和偶数进行分情况讨论后取其交集，易出现思路不清19（2014萧山区模拟）在数列an中，任意相邻两项为坐标的点P（an，an+1）均在直线y=2x+k上，数列bn满足条件：b1=2，bn=an+1an（nN）（）求数列bn的通项公式；（）若cn=bnlog2，Sn=c1+c2+cn，求2n+1Sn60n+2成立的正整数n的最小值考点：数列递推式；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：综合题分析：（）依题意an+1=2an+k，故bn=an+1an=2an+kan=an+k，bn+1=an+1

42、+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，由此能求出数列bn的通项公式；（），Sn=1×2+2×22+3×23+n×2n，由错位相减法知2n+1Sn60n+2，即n2n+160n，2n+160由此知使2n+1Sn60n+2成立的正整数n的最小值为5解答：解：（）依题意：an+1=2an+kbn=an+1an=2an+kan=an+k，（*）bn+1=an+1+k=2an+k+k=2（an+k）=2bn，b1=2，数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn=22n1=2n，即为数列bn的通项公式（）Sn=1×2+2×22+3

43、15;23+n×2n（3）2Sn=1×22+2×23+3×24+（n1）×2n+n×2n+1（4）（3）（4）得Sn=2+4+8+2nn2n+1=2n+12n2n+1，2n+1Sn60n+2，即n2n+160n，2n+160又当n4时，2n+125=3260当n5时，2n+126=6460故使2n+1Sn60n+2成立的正整数n的最小值为5点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列通项公式的求法和数列前n项和公式的合理运用，注意挖掘隐含条件，认真解题20（2014陕西一模）已知数列an中，a1=5且an=2an1+2n1（n2且

44、nN*）（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列an的前n项和Sn考点：数列递推式；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）设，=1，所以数列为首项是2、公差是1的等差数列（2）由题设知，所以an=（n+1）2n+1所以Sn=221+322+n2n1+（n+1）2n+n由错位相减法能够求出数列an的前n项和Sn解答：解：（1）数列为等差数列设，=1，（6分）可知，数列为首项是2、公差是1的等差数列（7分）（2）由（1）知，an=（n+1）2n+1（8分）Sn=（221+1）+（322+1）+（n2n1+1）+（n+1）2n+1即Sn=221+322+n2n1+（n+1）2n+n

45、令Tn=221+322+n2n1+（n+1）2n，则2Tn=222+323+n2n+（n+1）2n+1（12分），得Tn=221（22+23+2n）+（n+1）2n+1=n2n+1Sn=n2n+1+n=n（2n+1+1）（15分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意通项公式的求法和错位相减求和法的合理运用21（2014南昌模拟）数列an中，a1=1，当n2时，其前n项和Sn满足Sn2=an（Sn1）（1）求证：数列是等差数列；（2）设bn=log2，数列bn的前n项和为Tn，求满足Tn6的最小正整数n考点：数列递推式；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：综合题分析：（）把an=SnS

46、n1代入题设递推式整理求得，进而利用等差数列的定义推断出数列是等差数列（）依据（）可求得数列的通项公式，代入bn中求得其表达式，进而利用对数运算的法则求得Tn，根据Tn6利用对数函数的单调性求得n的范围，进而求得最小正整数n解答：解（）Sn2=an（Sn1）Sn2=（SnSn1）（Sn1）（n2）SnSn1=Sn1Sn，即，是1为首项，1为公差的等差数列（）由（）知，（n+2）（n+1）128n10，所以满足Tn6的最小正整数为10点评：本题主要考查了数列的递推式，等差关系的确定，数列的通项公式和求和公式22（2014江西模拟）已知数列an为公差不为0的等差数列，Sn为前n项和，a5和a7的等

47、差中项为11，且a2a5=a1a14令，数列bn的前n项和为Tn（1）求an及Tn；（2）是否存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（1）由于a5和a7的等差中项为11，可得a6=11，又a2a5=a1a14可得，又公差d0，解得a1及d即可得到an进而得到bn，利用“裂项求和”即可得到Tn（2）假设存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列，则当m=2时，化为，解得一组m，n的值满足条件当m3时，由于关于m单调递增，可

48、知，化为5n+270，由于nm1，可知上式不成立解答：解：（1）a5和a7的等差中项为11，a6=11，又a2a5=a1a14可得，又公差d0，解得an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1=Tn=（2）假设存在正整数m，n（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列，则当m=2时，化为，解得n=12，此时m=2，n=12当m3时，由于关于m单调递增，化为5n+270，由于nm1，可知上式不成立综上可知：存在唯一一组正整数m=2，n=12（1mn），使得T1，Tm，Tn成等比数列点评：本题考查了等差数列的通项公式和“裂项求和”、等比数列的单调性存在性问题等基础知识与基本技能方法，属于难题23（2014九江模拟）已知数列an中，a1=1，（）求数列an的通项公式；（）求数列n2an的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和菁优网版权所有专题：综合题分析：（）由a1=1，知，a2=1，所以an+1=1×××=，由此能求出（）由知n2an=，所