(完整word版)实变函数期末考试卷A卷

1、8实变函数一、判断题（每题2分，共20分）1 .若A是B的真子集，则必有A<Bo（X）2 .必有比a小的基数。（，）3 .一个点不是E的聚点必不是E的内点。（，）4 .无限个开集的交必是开集。（X ）5 .若 E#e,则 m*E>0。（X）6 .任何集E匚Rn都有外测度。（V）7 .两集合的基数相等，则它们的外测度相等。（X ）8 .可测集的所有子集都可测。（x）9 .若f（x）在可测集E上可测，则f（x）在E的任意子集上也可测。（X）10 . f （x）在E上可积必积分存在。（X）1 .设E为点集，P更E,则P是E的外点.（X ）2 .不可数个闭集的交集仍是闭集.（X ）3 .设

2、 忆是一列可 测集，且En由u En,n =1,2,|儿 则00m(pEn)n 11mm(En).4 .单调集列一定收敛.（，5 .若f （x）在E上可测，则存在F仃型集F u E,m（E-F） = 0, f（x）在F上连续.（X ）二、填空题(每空2分，共20分)1 .设B是R1 nx21.计算lim(R)22-sin nxdx。(提小：使用 Lebesgue控制收敛止一 01nx理)1中无理数集，则B =_c。2 .设 A = 1,l,1，!u R1 ,则 A0 =4，A =.2 3 n0。、一11-二二3 .设 An=(,),n= 0,1,2,，则 f An = (-1,1) , 2Al

3、 = n 1 n 1n/ nd0。4 .有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集。5 .设 E 是0,1上的 Cantor 集，则 mE =_0。6 .设A是闭集，B是开集，则A B是 闭 集。7 .闭区间a,b上的有界函数f(x) Rimann可积的充要条件是_ f(x)必a, b上的几乎处处的连续函数8 . Rimann函数是 Rimann可积也是Lebesgue 可积的。得分 阅卷人三、计算题(每题10分，共20分)(3)因为i2nx2_._32 2 sin1 n xnx<=F(x)显然F(x)在0,1上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有11,2,2，1 nx2. 3

4、1 nx2, 3_lim (R) 丁丁sin nxdx = lim (L) 丁= sin nxdx = 001 n2x2n，二 01 n2x2'x,x为大于1的无理数；2.设£(刈=+2,以/小于1的无理数；试计算|o2 f(x)dx° x为有理数，解：因为有理数集的测度为零，所以2f(x)=xa.e.于0,1 , f (x) = xa.e.于1,2。于是f (x)dx f(x)dx- i f (x)dx0,20,11,21221二0 x2dx » xdx 二 一13=十11四、证明题(每题8分，共40分)8oQ1.证明：A (U An) = n (A A

5、n)n 1n 1qQqQ证明：A ( An) = A ( An )c n 1n 1=A ( "Anc) n 1="(A Anc) n 1=(A An ) n =12 .设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明 M是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数， 从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合Ao因为这些开区问是互不相交的，所以此有理数集 A与开区间组成的集合M是一一对应 的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以 M也是至多可列集。3 .证明：若mWE=0,则E为可测集。证明：对任意点集T ,显然成立着m T <

6、 m (T E) m (T Ec)另一方面，因为m*E = 0,而TEUE,所以m”(T E) < m*E ,于是m*(T Q E) = 0。又因为 T nT 1 Ec ,所以 m*T >m*(T Ec),从而m*T 至m*(T 1 E) +m*(T E Ec)。总之，mV =m*(T Q E) + m*(T Q Ec)。故E是可测集。4 .可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ,集合Ef(x) <r是可测集。、填空题(每小题2分，共10分)(D )1、(A B)|JC = A (B C)成立的充分必要条件是()A Ac BB、BuAG A = CD

7、、Cu A(A )2、设E是闭区间0,1中的无理点集，则()A. mE=1B. mE-0C. E是不可测集D. E是闭集(C )3、设E是可测集，A是不可测集，mE = 0,则EUA是()A.可测集且测度为零B.可测集但测度未必为零C.不可测集D.以上都不对(B )4、设mE<-，乂)!是£上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，则fn(x几乎处处收敛于f(X促fn(x 依测度“便敛于f(X )的()A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件(D )5、设f (x)是E上的可测函数，则()A. f (x )是E上的连续函数B. f (x )是

8、E上的勒贝格可积函数C. f (x )是£上的简单函数D. f (x )可表示为一列简单函数的极限设f (x)是(,收)上的实值连续函数，则对于任意常数a ,E =x| f (x) >a是一开集，而E =x| f (x)至a总是一闭集。证明：若X0W E,则f (X0)>a,因为f(x)是连续的，所以存在 6 A 0,使任意X (-oo)0o),| x -X)|<6就有 f (x) >a ,(5分)即 任 意 xW U(X0,6)，就有xW E,所以U(X0,6)=E,E 是 开集(10分)若 XnW E,且 Xn T X°(nT g),则 f (X

9、n)之 a ,由于 f (X)连续，f (X。)=lim f(Xn)之a, n即X0 w E ,因此E是闭集。、-1(1)设A2ni_=0,)0,)An3 ,n n= III求出集列An的上限集和下限 n集木证明：l An =00 i mn E二 n(5分)设 x w (0, 8),则存在 N,使 x c N ,因此 n a N 时，0 < x c n ,即 x w A2n,所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而 x属于无限多An,得x亡lim An, n:又显然l An u g 所以An =叫mn =：n .匚"（7 分）lim An =巾na -（12分）若有Xs lim An ,则存在N,使任意n A N ,有X w An,因此若2n 1 a N n 二时,一 一 1x W A2n,即0 <x < ，令nT8得0 <x W0 ,此不可能，所以 nlim An =巾(15 分)n .匚(2)可数点集的外测度为零。证明：证明：设e =为|i =12|。对任意EA0,存在开区间Ii ,使为w L ,由6的任意性