上海市杨浦区2012届高三数学上学期学科测试试题 理 沪教版

1、杨浦区2011学年度高三学科测试数学试卷（理科）考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号2本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1计算： 2不等式的解集是 3若全集，函数的值域为集合，则 .4若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于 .5在的二项展开式中，的系数是 （结果用数字作答）.6若是上的奇函数，且满足，当时， 则 . 7若行列式，则 8在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品则至少含1件二 等品的概率是 .（结果

2、精确到0.01） 9某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量与输入量之间满足的关系式是 11.若直线与圆有两个不同的交点， 则点与圆的位置关系是 12.已知且,若恒成立,则实数的取值范围是 13.设函数的反函数为，若关于的方程 在上有解，则实数的取值范围是 14.若椭圆内有圆，该圆的切线与椭圆交于两点， 且满足（其中为坐标原点），则的最小值是 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正

3、确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 ( ) . . . . 16若等比数列前项和为，则复数在复平面上对应的点位于 ( ) 第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限 .17若函数 则“”是“在上单调增函数”的 ( ) 充分非必要条件. 必要非充分条件.充要条件. 既非充分也非必要条件.18若分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，点的坐标为(2，0)，为的平分线则的值为 ( ) 3 . 6. 9. 27. 三解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

4、区域内写出必要的步骤 .19（本题满分12分）ABCPD 已知在正四棱锥中（如图），高为1 ，其体积为4 ， 求异面直线与所成角的大小.20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分， 第2小题满分7分 在中，角、的对边分别为、， 已知， , 且.1.求角的大小；2. 若，面积为，试判断的形状，并说明理由.21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 若函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数” . 1. 判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由； 2. 已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对.22（本题满分16分）本题共有3个小题，第

5、1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小 题满分7分. 已知函数，数列满足，, 1. 求，的值； 2. 求证：数列是等差数列；3. 设数列满足， 若对一切成立，求最小正整数的值.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知的三个顶点在抛物线:上运动， 1. 求的焦点坐标；2. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且 ，求点的轨迹方程；3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由. 杨浦区2011学年度高三学科测试 参考答案及评分标准 一填空题（本大题满分56分） 2011.12.

6、311. ；2. 理，文； 3. 理，文；4. ；5. 理，文4；6.；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ；11.理 在圆外，文1；12. 理，文；13. 理 ，文； 14. 理49，文二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19. 【解】 设异面直线与所成角的大小， 底边长为, 则依题意得 4分 故 ， 7分，故直线与所成角的大小为所求 9分 12分（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分）20.理:（1）【解1】. 由 得 ，故, 2分由正弦定理得 4

7、分 5分 7分【解2】. 由，余弦定理得整理得， （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）（2）即 10分又, 12分故 所以，为等边三角形 14分文:【解1】. 由 ,由正弦定理得 4分 5分 7分【解2】. 由，余弦定理得整理得， （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）21. （1）【解】（理）若是“函数”，则存在实数对，使得，即时，对恒成立 2分而最多有两个解，矛盾，因此不是“函数” -3分 （文）若是“函数”，则存在实数对，使得，即时，对恒成立 2分而最多有两个解，矛盾，因此不是“函数” 3分 答案不唯一：如取，恒有对一切都成立， 5分即存在实数对，使之成立，所以，是“函数” 6

8、分一般地：若是“函数”，则存在实数对，使得 即存在常数对满足，故是“函数”（2）解 函数是一个“函数”设有序实数对满足，则恒成立当时，不是常数； 8分因此，当时，则有， 10分即恒成立，所以 13分当时，满足是一个“函数”的实数对 14分22. 理:（1）【解】由，得 3分（2）【解】由 得 8分所以，是首项为1，公差为的等差数列 9分（3）【解】由（2）得 -10分当时 ，当时，上式同样成立， 12分 所以因为，所以对一切成立， 14分 又随递增，且，所以，所以， 16分文: (1) 【解】. 由得 所以 准线为 3分(2) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 4分由作准线 的垂线,垂足为 ,

9、当且仅当三点共线时, 的最小值，为, 7分此时点的坐标为 9分(3)【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的), 10分又的斜率为,则有 ,既代入 14分故点轨迹为 (注:没写扣1分) 16分【解2】设点的坐标为,由边所在的方程过定点, 10分 12分 , 所以, , 既 16分 (注:没写扣1分)23. 理: (1) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 3分 (2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于 则得, 5分又点在抛物线上,故有, 或(舍) - 7分又的斜率为,则有 ,既代入故点轨迹为 (注:没写扣1分) 9分另解:由上式过定点, , 所以, , 既【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为,则得, 同理可得方程为恒过定点, , 所以, , 既(注:没写扣1分)（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）(3) 【解1】若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,(其中不妨设), 则 , - 11分令,则,即将代入得, - 13分 线段的中点为,由, 得的横坐标为,的纵坐标为 15分又设 由得 点在抛物线上,则,即,又因为 , 18分【解2】设,的三边所在直线的斜率分别是 - 12分若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为,则,所以 14分即- 又- 16分所以, 将,