信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1_3章答案

1、第一章 习 题1-1 画出下列各信号的波形： (1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10 t × U(t -1)-U(t-2) 。答案1) f1(t) 的波形如图1.1 (a)所示 .(2) 因cos10 t 的周期 T2 0.2s100.2s, 故 f 2 (t )的波形如图题 1.1(b) 所示.1-2 已知各信号的波形如图题 1-2 所示，试写出它们各自的函数式。答案f1(t) tu(t) u(t 1) u(t 1)f 2(t)(t 1)u(t) u(t 1)f 3(t) (t 2)u(t 2) u(t 3)1-3 写出图题

2、1-3 所示各信号的函数表达式答案f1(t)112(t12(t2)2)1t21t21210f2 (t) u(t) u(t1)u(t2)f3(t)sin tu(t 2)u(t2)f4 (t) u(t 2) 2u(t1)3u(t1)4u(t 2) 2u(t 3)1-4 画出下列各信号的波形： (1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1); (3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sin t) 。答案(1) f1(t) u(t 是, T23 sf (t) 3 11 cos(2t ) T 2 s u( t 1), 其波形如图

3、题 1.4(a) 所示.(2) f2(t) (t 1)u(t 1) u( t 1) (t 1)u(t 1) (t 1)u( t 1) 其波形如图 题 1.4(b) 所示 .(3)(4)f3(t) u( t 1 2 3 ,故为周期信号 ,周期 2 u(t 3), 其波形如图 1.4(c) 所示.f4(t) u(sin t) 的波形如图题 1.4(d) 所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T。2(1) f1(t) 2cos(2t ) (1) f2(t) sin( t )24 ; 6 ; (3)f3(t) 3cos2 tU (t) 。答案周期信号必须满足两个条件 :定义

4、域 t R,有周期性,两个条件缺少任何一 个, 则就不是周期信号了 .(3)因t 0时有 f (t) 0,故为非周期信号1-6 化简下列各式：t(21)dd1 dtcos(t )(t)d cost (t) sin tdt(1)1; (2)dt4; (3)dt答案tt11112(12)d()du(t)(1)原式2222dcos? (t)22 (t)(2) 原式 = dt42(3)原式=(t ) sin tdt sin (t) t0cos t 011-7 求下列积分：( 1) 0 cos (t 3) (t 2)dt ; (2) 0 ejwt (t 3)dt ; (3) 0 e 2t (t0 t)d

5、t。答案(1) 原式= cos (2 3)cos( ) cos(2) 原式 =e j 3 0 (t03)dte j3 0 0(3) 原式2t e= 0(t0t)dt e 2t0 1 e 2t01-8 试求图题 1-8 中各信号一阶导数的波形，并写出其函数表达式，其中 f3(t) cos 2tU(t) U(t 5)所示。题 1。 8a)f1(t)2u(t 1) 3u(t) u(t2)，f (t) 的波形如图题 1。8(d)(b) e)所示。f2(t)u(t 1) 2u(t 1) 3u(t 2) u(t 3)， f2(t) 的波形如图(c) f3(t)sin 2tu(t) u(t 5)所示.11-

6、9 已知信号 f (2)的波形如图题 1-9 所示，试画出 y(t)=f(t+1)U(-t) 的波答案y(t)f (t 1)u( t) 的波形如图题 1.9(b) 所示。1-10 已知信号d f (6 2t)号 dt 的波形。f(t) 的波形如图题 1-10 所示，试画出信号tf(2 )d 与信t(1) f (2 t) 的波形与 f(2 )d 的波形分别如图题 1.10(b),(c) 所示。所示。且dt1.10(d),(e) f (6 2t)(2) f (6 2t) 的波形与 dt 的波形分别如图题 d f (6 2t) (t 2) (t 2.5) 2 (t 3)1-11 已知 f(t) 是已

7、录制的声音磁带，则下列叙述中错误的是 (_)A. f(-t) 是表示将磁带倒转播放产生的信号B. f(2t) 表示磁带以二倍的速度加快播放C. f(2t) 表示磁带放音速度降低一半播放D. 2f(t) 表示将磁带音量放大一倍播放答案1-12 求解并画出图题 1-12 所示信号 f 1(t), f 2(t) 的偶分量 f e(t) 与奇分量答案11因 f(t) fe(t) f0(t) f(t) f( t) f(t) f( t)式中22 11fe(t)f(t) f( t), f0(t)f(t) f( t) 。故可画出各待求偶分量22与奇分量的波形，相应如图题 1.12 中所示。1-13 已知信号

8、f(t) 的偶分量 f e(t) 的波形如图题 1-13(a) 所示，信号 f(t+1) ×U(-t-1) 的波形如图题 1-13(b) 所示。求 f(t) 的奇分量 f o(t) ，并画出 f o(t) 的波形。答案因 f (t) fe (t) f0(t)故有 f (t)u( t) f e(t)u( t) f0(t)u( t)将信号 f (t 1)u( t 1) 右移1 f (t 1 1)u( t 1 1) f (t)u( t), f (t)u( t) 的 波形如图题 1。13(c) 所示。又有f0(t)u( t) f(t)u( t) fe(t)u( t)f 0(t)u( t )的

9、波形如图题 1.13(d) 所示。因为 f0 (t )是奇函数，关于坐标原点对称，故 f0(t)u(t)的波形如图题 1.13(e) 所示。最后得f0(t) f0(t)u( t) f0 (t)u(t) u( t 1) u(t 1)1-14 设连续信号 f(t) f (t) 为奇函数；若 f(t)无间断点。试证明：若 f(t) 为偶函数，则其一阶导数 为奇函数，则其一阶导数f (t) 为偶函数 答案(1)若 f (t) 为偶函数，则有 f( t) f (t). 故 f ( t) f (t) . 故 f (t) 为 奇函数。(2)若 f (t) 为奇函数，则有 f ( t) f (t) . 故 f

10、 ( t) f (t) ，即 f (t) f ( t) f (t) f (t) . 故 f (t) 为偶函数。1-15 试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系 统。式中 f(t) 为激励， y(t) 为响应。(1)y(t)dddt f(t)(2) y(t)=f(t)U(t)(3) y(t)=sinf(t)U(t)(4) y(t)=f(1-t)(5) y(t)=f(2t)t(7) y(t) f( )d 答案(8)(6) y(t)=f(t) 5t y(t) f ( )d(1) 线性，时不变，因果系统(2) 线性，时变，因果系统。因为当激励为 f (t )时，其响应 y(t)

11、；当激励为 f(t t0 )时，其响应为 y1(t) f (t t0)u(t)，但是y(t t0 ) y1 (t ) ，所以系统为时变系统(3) 非线性，时变，因果系统(4) 线性，时变，非因果系统。因为当 t 0时有 y(0) f (1) ，即系统当前时 刻的响应决定于未来时刻的激励，故为非因果系统。(5) 线性 ，时变，非因果系统。(6) 非线性，时不变，因果系统。因为当激励为 2 励为 kf (t) 时，响应为 y1(t) kf (t) 2 ， 但f (t )时，响应为 y(t) ；当激y1(t) ky(t) ，故该系统为非线性系统。(7 )线性，时不变，因果系统。(8) 线性，时变，非

12、因果系统1-16 已知系统的激励 f(t)tt与响应 y(t) 的关系为 y(t) e f( )e d ，则该系统为( _) 。A 线性时不变系统B线性时变系统C 非线性时不变系统D 非线性时变系统A1-17 图题 1-17(a) 所示系统为线性时不变系统，已知当激励 f 1(t)=U(t) 时， 其响应为 y1(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。若激励为 f2(t)=U(t)-U(t-2) ，求图题 117(b) 所示系统的响应 y2(t) 。答案y2 (t) u(t) 2u(t 1) u(t 2) 2u(t 1) 2u(t 2) u(t 3)2u(t 3) 2u(t 4) u(

13、t 5) u(t 4) 2u(t 5) u(t 6)u(t) 4u(t 1) 5u(t 2) 5u(t 4) 4u(t 5) u(t 6)y2 (t)的波形如图题 1.17(c) 所示.1-18 图题 1-18(a) 所示为线性时不变系统，已知 h1(t)= (t) - (t -1), h2(t)= (t -2)- (t -3) 。( 1)求响应 h(t) ；(2) 求当 f(t)=U(t) 时的响应 y(t) (见图题 1-18(b) 。答案1) h(t)h1(t)h2 (t) (t)(t 1) (t 2) (t 3)(2)因 f (t)u(t)t( )d ，故根据现行系统的积分性有y(t)

14、th( (dt() ( 1)( 2) ( 3)d u(t) u(t 1)u(t 2) u(t 3)1-19 已知系统激励 f(t) 的波形如图题 1-19(a) 所示，所产生的响应 y(t) 的 波形如图题 1-19(b) 所示。试求激励 f 1(t)波形如图题 1-19(c) 所示)所产生的响应 y1(t) 的波形。用 f (t) 表示 f1(t) 即f1(t) f(t 1) f(t 1)故 f1(t) 在同一系统中所产生的响应为y1(t) y(t 1) y(t 1)故 y(t 1),y(t 1),y(t) 的波形分别如图题 1.19(d),(e),(f) 所示1-20 已知线性时不变系统在

15、信号 (t) 激励下的零状态响应为 h(t)=U(t)-U(t-2) 。试求在信号 U(t-1) 激励下的零状态响应 y(t) ，并画出 y(t) 的波形。 答案t因有 u(t) ( )d ，故激励 u(t) 产生的响应为tty1 (t)h( )d u( ) u( 1)dttu( )d u( 1)d0tu(t) (t 1)u(t 1) t 12t11 t 3t3故激励 u(t 1) 产生的响应为y(t) y1(t 1) (t1)u(t 1) (t2)u(t 2)y(t) 的波形如图题 1。20 所示1-21 线性非时变系统具有非零的初始状态，已知激励为 f(t) 时的全响应为 y1(t)=2e

16、 -t U(t) ；在相同的初始状态下，当激励为2f(t) 时的全响应为 y2(t)=(e -t +cost)U(t) 。求在相同的初始状态下，当激 励为 4f(t) 时的全响应 y3(t) 。答案 设系统的零输入响应为 yx (t) ，激励为 f (t )时的零状态响应为 yf (t)，故有y1(t)yx (t) y f (t) 2e tu(t)y2 (t) y x (t) 2 y f (t) (e t cos t)u (t) 故联解得y x (t) (3e t cos t)u(t)yf (t) ( e t cos t)u(T)故得第二章 习题2-1. 图题 2-1 所示电路，求响应 u2(

17、t) 对激励 f(t) 的转移算子 H(p) 及微分方程。3解 其对应的算子电路模型如图题 2.1 (b)所示，故对节点，可列出算子 形式的 KCL方程为1 1 131 1p u1(t) 1pu2(t) f(t) 1 1 11pu1(t) 1p 11 p u2(t) 0即13 p 1 u1(t)u2(t) pf (t)u1(t) p2p 1u2(t) 0联解得u2(t)4p 4 f (t)H (p) f (t)故得转移算子为H(p)u2(t)f (t)3p2 4 p 4u2(t)对 f(t) 的微分方程为p2 4p 4 u(2 t) 3 f(t)即d 2 u (t)2 u2 (t) dt4 d

18、 u2(t) 4u2(t) 3 f(t) dt的转移算子 H(p) 及微分方程。2-2 图题 2-2 所示电路，求响应 i(t) 对激励 f(t)答案解 其对应的算子电路模型如图 2.2 ( b)所示。故得i(t)2p2221 0.1 ppp2101p1p1030f(t)故得转移算子为H(p)i(t) f(t)d2dt2i(t)11ddti(t)30i(t)10ddt f(t) 10 f(t)10p 102p2 11p 30i(t) 对 f(t) 的微分方程为2(p2 11p 30)i(t) (10p 10)f (t)2-3 图题 2-3 所示电路，已知 uC(0 -)=1 V, i(0 -)

19、=2 A。求 t>0 时的零输入响应 i(t) 和 uC(t) 。解 其对应的算子电路模型如图题 式的 KCL方程为2.3 (b)所示。故对节点 N 可列写出算子形uC (t) 0又有 uc(t)=pi(t) ，代入上式化简，即得电路的微分方程为即L( A1 2A2 ) 1电路的特征方程为(p2 3p 2)i(t) 0i(0 ) i(0 ) 2 uc (0 ) uc(0 ) 1p2 3p 2 0故得特征根（即电路的自然频率）为p1=-1 ， p2=-2 。故得零输入响应的通解式为i(t) A1ep1tA2ep2tA1eA2e2ti (t)A1e2A2e2ti(0 ) A1 A2 2(1)

20、i (0 )A1 2A2又因有uc(t) Li (t)即A1 2A2 1(2)式( 1)与式( 2)联解得 A1=5,A 2=-3 。故得零输入响应为i(t) 5e t 3e 2t A t 0又得di(t) d t 2t t 2t2.3 (b)所示。故对节点 N 可列写出算子形uc(t) L did(tt) 1ddt 5et 3e2t 5et 6e2tV t 0解 其对应的算子电路模型如图题 式的 KCL方程为uC(t)又有 uc(t)=pi(t) ，代入上式化简，即得电路的微分方程为(p2 3p 2)i(t) 0i(0 ) i(0 ) 2 uc (0 ) uc(0 ) 1 电路的特征方程为p

21、2 3p 2 0故得特征根(即电路的自然频率)为p1=-1 ， p2=-2 。故得零输入响应的通解式为i(t)A1ep1tA2ep2tA1eA2e2ti (t)A1e2A2e2t有i(0 ) A1 A2 2(1)i (0 )A1 2A22-4 图题 2-4所示电路， t<0时S打开，已知uC(0-)=6 V, i(0 -)=0。(1) 今于 t=0 时刻闭合 S，求 t>0 时的零输入响应 uC(t) 和 i(t) ；( 2) 为使电路在临界阻尼 状态下放电，并保持 L 和 C 的值不变，求 R的值。04解 (1)t>0 时 S 闭合，故有uc(0 ) Li (0 ) 6Vi

22、(0 ) i(0 ) 0t>0 时的算子电路模型如图题 2.4(b) 所示。故得 t>0 电路的微分方程为11(2.5 uc(t) (2.5 14 p)i(t)4p)( 41 puc)24.5 puc (t)41 p2uc(t)16 c1216 p22.5 p 1 uc(t)2(p2 10p 16)uc (t) 0uc (0 ) uc(0 ) 6i(0 ) i(0 ) 0其特征方程为 p2+10p+16=0，故得特征根(即电路的自然频率)为 p1=-2,p 2=-8 故得零输入响应 uc(t) 的通解形式为uc (t) A1e 2t A2e 8t又有uc(t)2A1e 2t8A2e

23、8tCu (t) C( 2A1e 2t 8A2e 8t )1 2t 8ti(t) ( 2A1e 2t 8A2e 8t )4V故有1 A1e 2t22A2e8ti(t) 21 A1e 2t2A2e8tuc (0 ) A1 A2 6i(0 ) 1 A1 2A2 0联解得 A1-=8,A 2=-2 。故得2t 8tuc(t) 8e 2t 2e 8tV t 0又得i(t) C ddutc 4e2t 4e8t A t 02-5 图题 2-5 所示电路，( 1)求激励 f(t)= (t) A 时的单位冲激响应 uC(t) 和i(t) ；( 2)求激励 f(t)=U(t) A 时对应于 i(t) 的单位阶跃

24、响应 g(t)V3答案解 ( 1)该电路的微分方程为d2LCddt2i(t)LdLR ddt i(t) i(t)f (t )代入数据并写成算子形式为故得i(t)(p25p 4)i(t) 4f (t) 4 (t)2p245p(t)43p143p4(t)(t)p1 4 (t)i(t)4t U (t)uc (t)L di(t) 0.25 dt4 t 16 4tee332)因有U(t)( )d ，故根据线性电路的积分性有tg(t )i ( )d4e4e 4 U ( )d334te313e 4t U(t)2-6 图题 2-6 所示电路，以 uC(t) 为响应，求电路的单位冲激响应 h(t) 和单位阶 跃

25、响应 g(t) 。h(t)p 2 3p 2(t)(t)答案解 电路的微分方程为d 2d2 uc 3 uc 2uc 2 f ( t ) dt 2dtc写成算子形式为(p2 3p 2)uc(t) 2f (t)当 f(t) (t) V时，有 uc(t) h(t) 。故得单位冲击响应为2(t)22 (t)p1p22e t2e 2t2(e te 2t )U (t) V当 f(t)=U(t) V 时，有 uc(t)=g(t)。故得tg(t)h( )dt2(ee2 )U( )d2 t(e e 2 )d ( 2e e 2 1) U(t) V 2-7 求下列卷积积分(1) tU(t)-U(t- 2)* (1 -

26、t); (2) (1-3t) '(t)*e -3t U(t)答案解 原式=t U(t) U(t 2) (t 1)(t 1)U(t 1) U(t 3)原式= (t) e 3tU(t) 3t (t) e3tU(t)e 3tU(t) 3 t (t) (t) e 3tU(t)3t 3t3e3tU(t) (t) 3e 3tU(t) (t)2-8 已知信号 f 1(t) 和f 2(t) 的波形如图题 2-8(a), (b) 所示。求y(t)=f 1(t)*f 2(t) ， 并画出 y(t) 的波形。解(a) f1(t)1 U (t 1)f2(t)e (t 1)U(t 1)故y1(t) f1(t)f

27、2(t)1 u(t 1) e (t 1)U(t 1)e ( 1)U( 1)d U(t 1)e ( 1)U( 1)dt11e( 1)d1 e( 1)d11t 1, t 0,1 (1 e t )U(t) t2 e t, t 0y1(t) 的波形如图 .2.8(c) 所示(b)f1(t) sintU(t), f2(t) U(t 1), 故y2(t) f1(t) f2(t) sintU(t) U(t 1)sin U( )U(t 1)d y2(t) 的波形如图 .2.8(d) 所示t1sin d0U(t 1)1 cos(t 1)U(t 1)2-9 图题 2-9(a), (b) 所示信号，求 y(t)=f

28、 1(t)*f 2(t) ，并画出 y(t) 的波形。f1(t)和 f2( )d 的波形分f2( )d解 利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。 别如图 2.9 (c),(d) 所示。故ty(t) f1(t) f2(t) f (t)y(t) 的波形如图题 2.9(e) 所示 .2-10. 已知信号 f 1(t)与 f2(t)的波形如图题 2-10(a), (b)所示，试求 y(t)=f 1(t)*f 2(t)， 并画出 y(t)的波形。答案 解(a).y1(t) f1(t) f 2(t) f1(t)(t 1) (t 1)f1(t 1) f1(t 1)y 1(t) 的波形如图题 2.10(c)

29、 所示(b).y2 (t) f1(t) f 2(t)f1(t)(t 1) (t 2) (t 3)f1(t 1) f1(t 2)f1(t 3)y 2(t) 的波形如图题 2.10(d) 所示2-11 试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质，即若激励 f(t) 产生的响应为 y(t)，则激励 dt f (t)产生的响应为 dtd y(t)微分性质)，激励tf ( )dt生的响应为 y( )d (积分性质)答案解 ( 1)设系统的单位冲激响应为 h(t) ，则有y(t) f (t) h(t)对上式等号两端求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质，故有ddt y(t)h(t) ddt f (t)证毕(2

30、) y(t) f(t) h(t) 对上式等号两端求一次积分，并应用卷积积分的积分性质，故有tty( )d h(t) f( )d(证毕)2-12. 已知系统的单位冲激响应 h(t)=e -t U(t) ，激励 f(t)=U(t)(1) . 求系统的零状态响应 y(t) 。(2) . 如图题 2-12(a), (b) 所示系统，11 h1(t)h(t) h( t) ,h2(t)h(t) h( t)2 2求响应 y1(t) 和 y2(t)(3). 说明图题 2-12(a), (b) 哪个是因果系统，哪个是非因果系统。 解 (1)y(t) h(t) f(t) e tU(t) U(t)答案y(t) (1

31、 e t)U (t)(2) y1(t) f (t) h1(t) h2(t)11U(t) 2h(t) h( t) 2 h(t) h( t)tet , t 0U(t) h( t) U (t) etU( t)1, t 0y2(t) f (t) h1(t) h2(t)11U(t) 2 h(t) h( t) 2 h(t) h( t)U(t) h(t) (1 e t)U(t)( 3)因 f(t)=U(t) 为因果激励，但 y 1(t) 为非因果信号， y2(t) 为因果信号，故 图题 2.12(a) 为非因果系统，图题 2.12(b) 为因果系统。5t2-13. 已知激励 f (t) e U (t )产生

32、的响应为 y(t) sin tU (t ) ，试求该系统的单位冲激响应 h(t) 。答案解 因有 y(t)=f(t)*h(t) ，即5tsin tU(t) e 5tU(t)*h(t)对上式等号两端同时求一阶导数，并应用卷积积分的微分性质有cos tU(t) 5e 5tU(t) (t) * h(t)5t5e 5tU (t)* h(t) h(t)5sin tU(t) h(t)故得系统的单位冲激响应为h(t) (5sin t cos t)U(t)2-14. 已知系统的微分方程为 y (t) 3(t) 2y(t) f (t) 。(1) . 求系统的单位冲激响应 h(t) ；(2) . 若激励 f(t)

33、 e tU(t) ，求系统的零状态响应 y(t) 。 答案故得y(t)13p 2f(t)解 ( 1)其算子形式的微分方程为当 f (t) (t) 时，则有 y(t) h(t) 。故上式变为111h(t)(t) () (t)(p1)(p 2) p 1p211t 2t(t)(t)(e t e 2t)U (t)p1p2(2)零状态响应为y(t) h(t)f (t)(e t e2t)U (t) e tU(t)1t 2t t( e 1t e 2t te t )U(t)2-15. 图题 2-15 所示系统，其中 h1(t)=U(t)( 积分器) ，h2(t)= (t -1) (单位延 时器)， h3(t)

34、=- (t) (倒相器)，激励 f(t)=e -t U(t) 。(1). 求系统的单位冲激响应 h(t) ；(2). 求系统的零状态响应 y(t) 。答案解(1)当 f(t)(t) 时，y(t)h(t) ， 故h(t)h1(t)h2(t)h3(t)U(t)(t1)(t) U(t) (t 1)2)y(t) f(t) h(t) e tU(t) U(t) (t 1)e tU(t) U(t) e tU(t) (t 1)(1 e t)U(t) e (t1)U(t 1)2-16. 已知系统的微分方程为ddt y(t) 2y(t)ddt2 f(t)3ddt f(t) 3f(t)求系统的单位冲激响应 h(t)

35、 和单位阶跃响应 g(t) 答案解 ( 1)系统算子形式的微分方程为(p 2)y(t) (p2 3p 3) f (t)y(t)2p 3p 3p2f (t)当 f(t) (t)时， y(t) h(t )故得单位冲激响应为2p2 3p 3h(t) p 3p 3 (t) (p 1p2) (t)2t(t) (t) e 2tU(t)2)系统的阶跃响应为t 1 2tg(t) h( )d (1 21e 2t)U(t) (t)2-17. 图题 2-17 所示系统， h1(t)=h 2(t)=U(t) ，激励 f(t)=U(t)-U(t- 系统的单位冲激响应 h(t) 和零状态响应 y(t) ，并画6) 。求出

36、它们的波形答案解 ( 1) . 求单位冲激响应 h(t) 。由图题 2.17(a) 得f (t) y(t) h2 (t) h1(t) y(t)即 f (t) y(t) U(t) U(t) y(t)即 f (t) U (t) y(t) U (t) U(t) y(t)对上式等号两端求一阶导数有f(t) (t) y(t) (t) U(t) y (t)即 f(t) y(t) U(t) y (t) 再求一阶导数有 f (t) y(t) (t) y (t) 故得系统的微分方程 y (t) y(t) f (t)2写成算子形式为(p2 1)y(t) pf (t)y(t)2p f(t)故得 p2 1当 f (t

37、) (t) 时，有 y(t)=h(t) 。故得单位冲激响应为h(t) costU (t)h(t) 的波形如图题 2.17(b) 所示(2). 系统的零状态响应为y(t) f (t) h(t)U(t) U (t6)costU (t )U(t)costU (t)U(t6 ) costU (t)U(t)costU (t)U(t6 ) costU (t)t t 6cos d cos d00sint U(t) U(t 6 )y(t) 的波形如图题 2.17 (c)所示。hA(t) 求整个系统的单位阶跃响应 g(t) ；e 4tU(t)2-18. 图题 2-18(a) 所示系统，已知2，子系统 B和 C的

38、单位t3t阶跃响应分别为 gB(t) (1 e t)U(t),gc(t) 2e 3tU(t)。2) 激励 f(t) 的波形如图题 2-18(b) 所示，求大系统的零状态响应 y(t)解 (1)系统 B 的单位冲激响应为e tU (t)hB(t) ddtgB(t) ddt (1 et)U(t)设系统 C 的单位冲激响应为 hC(t) 。故大系统的单位冲激响应为h(t) hc(t) hA(t) hB (t)故大系统的单位阶跃响应为tg(t) h( )d gc(t) hA(t) hB (t)12e 3tU(t)e 4tU(t) e tU(t)2e 3tU(t) e 4tU(t) 2e 3tU(t)

39、e t(t)查卷积积分表)(e t e 4t)U (t)2) 激励 f(t) 的函数表达式为f(t) U(t) 2U (t 2) U (t 4) 2 (t 4)大系统的单位冲激响应为h(t) ddtg(t) ddt(et e 4t)U(t) ddt e tU(t) e 4tU(t)(t) e tU(t) (t) 4e 4tU(t) (4e 4t e t)U(t)故零状态响应为ty(t) h(t) f(t) h( )d f (t)g(t)(t) 2 (t 2)(t 4) 2 (t 4)t 4t(e t e 4t)U (t)2e(t 2)e 4(t 2) U(t 2)7e 4(t 4) e (t

40、4) U(t 4)2-19. 已知系统的单位阶跃响应为2tg(t)=(1- e )U(t) ，初始状态不为零tt(1)若激励 f(t)= e U(t) ，全响应 y(t)=2 e U(t) ，求零输入响应 yx(t) ；(2) 若系统无突变情况， 求初始状态 yx(0-)=4 ，激励 f(t)= (t) 时的全响应 y(t) 。答案解 ( 1) . 系统的单位冲激响应为h(t) g (t) 2e 2tU(t)故零状态响应为t 2t t 2tyf(t) f(t) h(t) etU(t) 2e2tU(t) 2(e t e2t)U(t)故得系统的零输入响应为yx(t) y(t) yf (t)2e t

41、U(t) 2e tU(t) 2e 2tU(t) 2e 2tU(t) 故得系统的初始状态为yx(0 ) yx (0 ) 2(2). 当 f (t)(t) 的零状态响应为2t yf(t)(t) h(t) (t) h(t) h(t) 2 (t) 4e 2tU(t)根据零输入响应的线性性质，当 yx(0 -)=4 的零输入响应为2t 2t yx(t) 22e 2tU(t) 4e 2tU(t)故得激励 f (t)(t ) ，初始状态 yx(0 ) 4 时的全响应为2t 2ty(t) yf(t) yx(t) 2 (t) 4e2tU(t) 4e 2tU(t) 2 (t)2-20. 已知系统的微分方程为 y(

42、t) 2y(t) f(t), 系统的初始状态 y(0 ) 2.(1) 求激励 f1(t) e tU (t)时的全响应 y1(t);(2) 求激励 f2(t) 5e tU(t)时的全响应 y2(t).答案解 将微分方程写成算子形式为(p 2)y(t) f (t)1y(t) p12 f(t)(1)求系统的零输入响应 yx(t). 系统的特征方程为 p 2 0 ,故特征根为2. 故得零输入响应的通解形式为yx(t) Ae 2t故 故得系统的零输入响应为yx (0 ) y(0 ) A 22tyx(t) 2e 2tU(t)(1) 求激励 f1(t) e U (t)时的零状态响应 yf (t).当激励 f

43、1(t) (t)时,有y(t) h(t) ,故得单位冲激响应为1 2th(t) (t) e 2tU(t)p2故得系统的零状态响应为yf(t) f1(t) h(t) e tU(t) e 2tU(t) (e t e 2t)U(t)故得系统的全响应为2t t 2ty1(t) yx(t) yf (t) 2e 2tU(t) (e t e2t)U(t)(e 2t e t)U (t)(1) 激励 f2(t) 5e U (t)时的零状态响应为yf (t) 5(e t e 2t)U(t)故得此时系统的全响应为y2(t) yx(t) yf(t) 2e 2tU(t) 5(e t e2t)U(t)t 2t(5e t

44、3e 2t)U (t)2-21. 已知系统的微分方程为 y (t) 3y (t) 2y(t) f (t) 3f(t) 系统 零输入响应的初始值为 yx(0 ) 1, yx(0 ) 2 ，激励f(t) e U(t). 试求系统的全响应 y(t), 并求全响应的初始值 y(0 +).解 ( 1)求零输入响应 yx(t) 。将微分方程写成算子形式为2(p2 3p 2)y(t) (p 3) f(t)y(t)故 系统的特征方程为p3p2 3p 2f (t)p2 3p 2 0故得特征根为 p1=-1,p 2=-2。故得零输入响应 yx(t) 的通解形式为yx(t)A2e2t又故有联解得 A1 4, A2

45、3。故得零输入响应为yx(t)2A2eyx (0 ) A1 A2 12tyx (0 )A1 2A2 2yx(t) (4e t 3e 2t)U(t)(2) 求单位冲激响应 h(t)h(t)p32 p 2 3p 2(t)p3(p 1)(p 2)(t)2p1(t)1p2(t)(2e t2te 2t )U (t)3t te 3tU (t) 2e tU(t) e3tU(t)2te 2tU(t)1 3t t2( 21)(e 3t e t)U(t)3t(e 3te 2t )U (t )(e t e 2t)U (t)2)全响应为y(t)yx(t) yf (t)(4e t2t3e 2t)U(t) (et 2tt e 2t)U(t)(5e t2t4e 2t)U (t)2)全响应 y(t) 的初始值为 y(0 )1。全响应 y(t) 的一阶导数为y (t) ( 5e t 8e 2t)U (t)y (0 ) 5 8 3第三章习题3.1 图题 3.1 所示矩形波，试将此函数f(t) 用下列正弦函数来近似f(t) C1 sint C2 sin2tCn sin ntf(t)图题3.1但若只取函任一函数在给定的区间可以用在此区间的完备正交函数集表示，数集中的有限项，或者正交函数集不完备，则只能得到近似的表达式。f (t ) sin ntdt Cnsin2 ntdt由于分