七章图的基本概念ppt课件

1、第七章 图的根本概念7.1 无向图及有向图7.2 通路、回路、图的连通性7.3 图的矩阵表示作 业7.1 无向图及有向图设A,B为两集合,称 a,baAbB为A与B的无序积,记作AB将无序对a,b记作(a,b).无向图一个无向图G是一个二元组,即G,其中, (1)V是一个非空的集合,称为G的顶点集,V中元素称为顶点或结点； (2)E是无序积VV的一个多重子集,称E为G的边集,E中元素称为无向边或简称边.有向图一个有向图D是一个二元组,即D,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素称为有向边,也简称边.给每条边赋与权的图G=称为加权图，记为G=,其中W表示各边权的

2、集合。23.57.8设ek(vi,vj)为无向图G中的一条边,称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关联的.无边关联的顶点称为孤立点.假设一条边所关联的两个顶点重合,那么称此边为环.ek与vi(或vj)的关联次数1vivj,2vi vj,0vi(vj)不是ek的端点bavV设G为一无向图或有向图 (1)假设V,E都是有穷集合,那么称G是有限图. (2)假设Vn,那么称G为n阶图 (3)假设E,那么称G为零图特别是,假设此时又有V1,那么称G为平凡图.相邻设无向图GV,E,vi, vjV, ek,elE.(1)假设存在一条边e以vi, vj为端点,即e(vi, vj),那么称vi

3、, vj是彼此相邻的,简称相邻的(2)假设ek, el至少有一个公共端点,那么称ek, el是彼此相邻的,简称相邻的始点 终点以上两定义对有向图也是类似的假设ek vi, vj,除称vi, vj是ek的端点外,还称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi.度设G为一无向图,vjV,称vj作为边的端点的次数之和为vi的度数,简称度,记作d(vj).称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对应的边为悬挂边.设D为一有向图,vjV,称vj作为边的始点的次数之和,为vj的出度,记作d+(vj)；称vj作为边的终点的次数之和,为vj的入度,记作d-(vj)；称vj作为边的端点的次数之

4、和,为vj的度数,简称度,记作d(vj).显然d(vj)d + (vj)d- (vj).deg(v1)3，deg+(v1)2，deg-(v1)1；deg(v2)3，deg+(v2)2，deg-(v2)1；deg(v3)5，deg+(v3)2，deg-(v3)3；deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0；deg(v5)1，deg+(v5)0，deg-(v5)1；其中，v5是悬挂结点，为悬挂边。最大度和最小度对于图G,记(G)maxd(v)vV, (G)mind(v)vV,分别称为G的最大度和最小度.假设DV,E是有向图,除了(D),(D)外,还有最大出度、最大入度、最小出度、最小入度,分

5、别定义为根本定理(握手定理)设图G为无向图或有向图,Vv1,v2,.,vn,|E|=m(m为边数),那么推论任何图(无向的或有向的)中,度为奇数的顶点个数为偶数.定理设有向图D,Vv1,v2,.,vn,Em,那么度数序列设Vv1,v2,.,vn为图G的顶点集,称(d(v1),d(v2),.,d(vn)为G的度数序列. 例7.1 (1) (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度数序列吗？为什么？ (2) 知图G中有10条边,4个3度顶点,其他顶点的度数均小于等于2.问G中至少有多少个顶点？为什么？平行边、重数、多重图、简单图在无向图中,关联一对顶点的无向边假设多于1条,称这些边为平

6、行边.平行边的条数称为重数. 在有向图中,关联一对顶点的有向边假设多于1条,且它们的始点与终点一样,那么称这些边为有向平行边,简称平行边.含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也不含环的图称为简单图.例无向完全图、有向完全图设G=是n阶无向简单图,假设G中任何顶点都与其他的n1个顶点相邻,那么称G为n阶无向完全图,记作Kn. 设D=为n阶有向简单图,假设对于恣意的顶点u,vV(uv),既有有向边,又有,那么称D是n阶有向完全图.Kn均指无向完全图.图7.2在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5,(3)所示为3阶有向完全图.子图、真子图设G=, G =是两个图.假设VV,且EE,那么称G

7、 是G的子图, G 是G的母图,记做G G.假设G G且GG(即VV或E E),那么G是G的真子图.生成子图、导出子图假设G G且V=V那么称V是V的生成子图.设V1V ,且V1,以V1为顶点集,以两端点均在V1中的全体边为边集的G的子图,称为V1导出的导出子图. 设E1 E,且E1 ,以E1为边集,以E1中关联的顶点的全体为顶点集的G的子图称为E1导出的导出子图. 在如以下图中，给出了图G以及它的真子图G和生成子图G。G是结点集v1，v2，v4，v5，v6的导出子图。补图设G=是n阶无向简单图.以V为顶点集,以一切能使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图,称为G相对于完全图Kn的补图,简称G的补图,记作 . 有向简单图的补图可类似定义.图7.4图的同构例如以下图(a)、(b)、(c)、(d)所示，图(a)、图(b)、图(c)和图(d)所表示的图形实践上都是一样的。同构设两个无向图 G1=,G2=,假设存在双射函数：V1V2,使得对于恣意的e=(vi,vj)E1当且仅当e=( (vi), (vj)E2,并且e与e的重数一样,那么称G1与G2是同构的,记作G1 G2.有向图的同构(1)(2),顶点之间的对应关系为av1,b v2,c v3,d v4,