第一节特征值与特征向量

1、第四章相似矩阵课程教案授课题目：第一节 特征值与特征向量教学目的：掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法.教学重点：掌握方阵的特征值和特征向量的求法教学难点：方阵特征向量的求法.课时安排：3学时.授课方式：多媒体与板书结合.教学基本内容： 4.1特征值与特征向量1定义1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零列向量x，使得Ax x(1)成立，则称 是方阵A的特征值，x是A的属于特征值的特征向量.注1.只对方阵有这样的定义，而且特征向量必须是非零向量 .2. (1)成立(A E)x 0有非零解.| E A 0.E A称为A特征多项式.E A 0称为A特征方程.2矩阵特征值、特征向量的计算步骤：1 解

2、特征方程I E A 0 ；求出特征根，即A的特征值1, 2,|, n由于特征方程是 关于 的n次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式(的n次多项式)时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程2对每个特征值 i，解齐次线性代数方程组 (A iE)x 0.求出其基础解系，即为 矩阵A属于特征值i的特征向量.矩阵A属于i的线性无关特征向量的个数有n R( A iE )个，即为(A jE)x 0解空间N(A iE)的维数，常称N(A iE)为矩阵A属于特征值i的特征子空间(其中任一非零向量皆为 A属于j的特征向量.注 以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征

3、 值的情况下都会得到简化.例1求下列矩阵的特征值和特征向量：1 1(1) ； (2) 2 1 2433并问它们的特征向量是否两两正交解（1）a1a2an2)(3),故A的特征值为12, 23 .12时，解方程（A2E )x0，由(A 2E)得基础解系P0).所以KR（k0）是对应于12的全部特征值向量.23时,解方程（A3E)x 0，由(A 3E)所以 k2F2(k210得基础解系P20）是对应于3的全部特征向量.R,P2RTP21,1)P1 ,F2不正交.1)(9),故A的特征值为0, 21,0时，解方程得基础解系故 k1(k10）是对应于10的全部特征值向量.1时，解方程(A E)x 0,

4、由当39时，解方程(A 9E)X823A 9E283333故k3(k30)是对应于1/2(1,1,0) 1/212232231A E223001得基础解系P213370000故 k2F2(k20)是对应于21的全部特征值向量，0,由111 1/2 101-得基础解系P31/2200019的全部特征值向量.1R,F2 RtF2 ( 1, 1,1) 10, F2.F3 PtF301/2RPdRTP3(1, 1,1)1/212a1a a?(3)A Ea? a2a2an a1ana2nn 1 # 2(a12a2a；)n2a222 aia1ai时,2a22a32an2a1ana10，所以R,F2,P3两

5、两正交.a1 ana2ann 1/22(a1a22asanSb0.aan2Ona2anan00a1初等行变换0an0a2取Xn为自由未知量，并令Xnan，设00anan 10000an 1.故基础解系为a1 a?Xiai, X2a2,XniRn当23n 0时，2qCa2a1ana1a2anA 0 Ea23ia；a2an初等行变换000an3iana2201000a2a2ana100可得基础解系P20,P3a,Pn0aiaia2综上所述可知原矩阵的特征向量为r,p, ,pnan0ai211例2已知向量v (1,1,3 )T是矩阵 a20的一个特征向量4b3试求A对应于x的2 1 112a 2 0

6、1 :=，即 a 2 =，4 b 333b 53特征值，并确定A中之a ,b之值.解由定义知，成立Av v，即于是得 2,a 0,b1.3矩阵特征值、特征向量的常用性质性质1若1, 2,川，n是n阶矩阵A (aj)特征值，则必有12 | n ail a22 川 ann tr（A） （ A的迹）.12|n A.性质1的第一式常可用于对特征值计算作一简单的校核.第二式构通了矩阵行列式与特征值的关系，得到了计算行列式（全体特征值之积）及证明矩阵A可逆（矩阵 A可逆的充要条件是无一特征值为 0）的又一途径这些性质必须熟记.性质2若1, 2,川，k是n阶矩阵A的两两不等的特征值，其对应的特征向量分别是X

7、i ,X2,|,Xk则 Xi,X2,|,Xk线性无关.性质3若 是矩阵A的特征值，X是A属于 的特征向量，贝yk， 2, 1（0），A( 0),f()是 A kE,A2,A 1,A*, f( A) amAm 川 a* aE，的特征值,x也是相应的特征向量.例3若 是矩阵A的特征值，x是A属于 的特征向量，试求证k是A kE的特征值，x也是A kE属于k的特征向量.证明因为 Ax x ,所以（A kE ）x Ax kx x kx （ k ）x .例4已知1, 2是矩阵A的两个特征值12 , X1,X2分别是A属于1, 2的特征向量，试求证X1 X2决非A的特征向量.证明 分析一下要证的结论是“

8、x1 x2不是A的特征向量”，由于特征向量这一性质以AEC12BE，故E ABEBEA证 对2n阶矩阵作分块初等变换，有E BA .因AB与BA有相同的特征方程,确定等式表出，故对这样的命题，自然想到要用反证法另外，依给定的条件，用性质可知Xi,X2是线性无关的。下面写出证明过程：设x1 x2是A的特征向量，则有使 A( XiX2)1(XiX2 ),又由A( x1 x2 ) Ax1 Ax21 x-i2X2，与前一式相减，得（1 )Xi (2)X2 0 ,由X1 ,X2线性无关，知1 ,2，即12矛盾.证毕.这个性质也需熟记，并能灵活运用.常称之为特征值的平移性，即将矩阵A的每个对角线兀皆移过k时，其特征值亦必移过k .例5对n阶矩阵A,B，试证AB与BA必有相同的特征值故特征值全同.证毕.例6已知秩为1的n阶矩阵A，试求A的n个特征值.解 设a （,卅an）T,b （bi,S,川,bn ）T，则有A abT .（矩阵秩为1的充要条件是可写成非零列向量与非零行向量之积）则Aa abTa （bTa ）a .又因为R（ A） 1 ,故知A的n个特征值应为数bTa及n 1个0.参考书目：1.贺铁山