向量方法在证明初等几何定理及公式的中应用——毕业论文

1、学 号 分类号O12本科生毕业论文（设计）题目：向量方法在证明初等几何定理及公式的中应用院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 学 生 姓 名 指导教师（职称） 提 交 时 间 二0一三 年五月 安康学院学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：  安康学院学位论文使用授权声明本人同意在校攻读学

2、位期间论文工作的知识产权单位属安康学院。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名： 日期：  向量方法证明初等几何定理和公式中的应用（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘 要 向量是近代数学最基本的概念之一，它同时具有代数和几何两种形式.中学数学教材中的向量内容,为中学生学习几何的代数化方法提供了一

3、个有效的运算工具.大家都知道, 直接用的几何的综合推理方法来学习几何, 大多数学生都觉得比较困难.向量运算体系与算术、代数运算体系基本相似,几何、代数、三角函数结合平面向量的基本定理等几何意义,使得向量在几何问题的求解中起到了极其重要的作用，在解决平面几何问题时起到了化繁为简的效果.利用向量解几何题是数和形结合，这对于开拓解题思路,培养发散思维能力,提高综合能力是非常有利的，同时也能够有效地测试逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法分析问题和解决问题的能力.因此我们应重视向量知识的学以致用.关键词 向量 公式 初等几何定理 Vector prove elementary geometry

4、 theorems and formulas (Department of Mathematics and Statistics, Ankang University, Shanxi, Ankang, 725000)Abstract Vector is one of the most fundamental concepts of modern mathematics, algebra and geometry in two forms. Vector content in the secondary school mathematics textbooks for high school s

5、tudents learning geometry algebraic method provides an effective computing tools. Well-known, the direct use geo metric reasoning to learn geometry, most students find it more difficult the vector operation system and arithmetic, algebraic operations system is basically similar, geometry, algebra, t

6、rigonometric functions combined with a flat-screen vector fundamental theorem geometric meaning, the vector geometry problem solving play an extremely important role in solving the Plane Geometry played simplify the effect of solution vector geometry question "" "form" combinatio

7、n, for the development of problem-solving ideas, develop divergent thinking ability to improve the overall capacity is very beneficial, but also be able to effectively test the logical reasoning ability, computing power, and the use of knowledge and methods to analyze problems and problem-solving sk

8、ills, so we should pay attention to apply their knowledge of vector knowledge.Keywords Vector Formula Elementary geometry theorem2目 录摘 要1Abstract:2前言1正 文21.关于向量的基本定义、定理及性质21.1 向量的基本定义21.2 平面向量的基本定理31.3 坐标表示32.向量证明初等几何定理及公式32.1向量证明初等几何定理3定理1 三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.3定理2 勾股定理.4定理3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4定

9、理4 菱形对角线互相垂直.5定理5 半圆或直径所对的圆周角是直角.6定理6 三角形的三条高交于一点.6定理7 等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（三线合一）.7定理8 等腰梯形的两条对角线相等.8定理9 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么它就和平面内任何直线都垂直即它垂直于平面.9定理10 正弦定理.10定理11 余弦定理.102.2向量证明公式11公式1 海伦公式.11公式2 和差化积公式.12公式3 三角函数差角公式.13结束语14参考文献：16致 谢17安康学院毕业论文前言从实施新一轮数学课程改革以来，概念、内容到实施，都已经发生了很大的变化.尤其是，1

10、9世纪末期和20世纪初期发展起来的向量数学，在现代数学，物理学，工程学、空间物质结构中得到广泛应用，而备受人们的关注.向量进入中学数学教科书，近几十年来，在国内和国外的学习中，让学生在中学数学教科书中学到向量技术是向量教育改革的一大特征.用它来解决几何问题，可以大大降低学习的难度，激发学生的学习兴趣，在学习中获得成功的体验.把基本几何量的代数化，我们就得到了向量的概念，再运用欧式空间所特有的勾股定理、平移和相似等基本的性质引起向量的加法、内积和倍积三个向量运算，这就把空间中独特的结构化转换成为向量与向量运算这种代数体系.因此空间中的基本性质，被转换为向量数学运算.也就是说，向量运算律是代数化了

11、的几何公理.从而就实现了从定性几何到定量几何的转折，向量这个载体就是转折的枢纽.由于向量同时拥有有几何形式和代数形式的双重形式，所以成为了中学数学知识的交汇点，是联系多种内容的非常有力的媒介.因为平面向量作为一种有向线段原本就是直线上的一段，向量的坐标可以用起点和终点的坐标来表示，所以向量和平面解析几何，特别是和直线部分，保持着密切的联系.用空间向量处理空间问题，将空间元素间的位置关系转化成数量关系，把以前的形式、逻辑证明转化成数值计算，变繁难为简易，变复杂为简单，是一种重要的解决问题的途径和方法.向量的坐标表示是向量的代数表示，要实现向量运算的代数化，就用向量的坐标表示，把数和形巧妙地结合起

12、来，大多数的几何问题的证明可以被转换成数的操作，向量成为了数学中一种有效的解决几何问题的工具.本文就以向量证明初等几何定理的例子来说明向量的应用.正 文1.关于向量的基本定义、定理及性质1.1 向量的基本定义定义1 既有大小又有方向的量称为向量.通常用有向线段表示向量，起点为A 、终点为B 的有向线段记为,有向线段的长记为，向量通常也用或表示.定义2 向量 的大小称为向量 的模(或长), 记为，是一个非负实数.起点和终点重合的向量称为零向量,记为 或， =0，它的方向是不确定的或任意的.模为1 的向量称为单位向量,常用 表示.定义3 向量的加法满足的结合律和交换律.(1)(2)已知向量和,以任

13、意点O为起点, 作, 再以OA、OB为边作平行四边形OACB, 则,对角线上向量就是、之和,，这种作图法称为求向量和的平行四边形法. 已知向量和，作，则就是向量之和，这种作图法称为求向量和的三角形法.定义4 与向量模相等、方向相反的向量是向量的相反向量，表示为.两向量模相等、方向也相同，这两个向量是相等向量.零向量均相等.定义5 方向相同或相反的向量成为平行向量，记作/.零向量平行于任何向量.定义6 两个向量的模与它们夹角余弦的乘积叫作两向量的数量积（内积），记作.向量的乘法满足结合律和分配律:(1) (2) (3)定义7 如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量概念.垂直于平面的直

14、线所表示的向量为该平面的法向量，一个平面都存在无数个法向量.1.2 平面向量的基本定理（1）如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，存在唯一一对实数，使，是基底.（2） 基本性质：若是单位向量，则1.3 坐标表示（1）平面向量的坐标表示： （2）平面向量的线性运算的坐标表示： （3）平面向量数量积的平面坐标表示： 2.向量证明初等几何定理及公式2.1向量证明初等几何定理定理1 三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.BACEF证明：如图1,(图1)已知三角形ABC，E、F分别为AC、BC的中点，证明EF/AB且EF=AB.设A，B，C，则，E，F，所以，即EF=A

15、B又=所以，即EF/AB.定理2 勾股定理.如果直角三角形的两直角边分别为，,斜边为，那么。CAB证明：如图2，（图2）设直角三角形的两直角边分别为AC、BC，斜边AB，令,则有，因为AC、BC是三角形直角边，则CBCA，即，所以即.定理3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.CBAD证明：如图3，（图3）已知直角三角形ABC，C是直角，CD是斜边的中线，证明CD=AB.设A，B，C，则D，因为C是直角，所以即所以 =可得，所以CD=AB，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理4 菱形对角线互相垂直.证明：如图4，(图4)设菱形相邻的两条边分别为，则菱形的对角线分别为因为，所以=0,故

16、菱形的对角线互相垂直.定理5 半圆或直径所对的圆周角是直角. CABO证明：如图5，(图5)设半圆O,AB为直径，半径为，C为半圆上任意一点(除A、B外)，则有 = =+ =0所以，即半圆或直径所对的圆周角是直角.定理6 三角形的三条高交于一点.证明：如图6，CFDABEH（图6）在任意三角形ABC中，AD、BE、CF分别是边BC、AC、AB上的高。设BE、CF交与一点H，连接AH，因为BEAC，所以,所以，即同理由CFAB可得，所以，所以AHBC，即点H在BC边的高AD上，故AD、BE、CF交与一点，也就是三角形的三条高交于一点.定理7 等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合

17、（三线合一）.ABCD证明：如图7，（图7）在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是顶角的角平分线。则有，BAD=CAD, 所以，BAD=CAD即因为AB=AC则所以所以ADBC所以C, BC，B,又因为AB=AC,即B=C, 所以，即CD=BD，所以AD既是底边上的高，也是底边上的中线，所以等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（三线合一）.定理8 等腰梯形的两条对角线相等.证明：如图8，CABD（图8）等腰梯形ABCD中，AD=BC，ABC=BAD有,ABC=,BAD=ABC)=ABC=BAD因为AD=BC，ABC=BAD所以,ABC=BAD所以所以即AC=BD.定理9 如

18、果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直那么它就和平面内任何直线都垂直即它垂直于平面. abcn证明: 如图9,（图9）设线n与平面内相交的两直线a、b都垂直，c是平面内任意向量。在线n、a、b、c上分别取非零向量，则有，所以，又向量共面，不共线，所以所以=0所以，即直线n与c垂直，故直线n垂直于平面.定理10 正弦定理.BO(A)CC （图10）证明：如图10，设AB=，BC=，AB=，以A为原点，射线AB方向为正方向建立直角坐标系，C点在轴的射影是C，因为和在轴的射影均为,即,所以,即,同理所以.定理11 余弦定理. ACBcab（图11）证明：如图11，有则,所以,同理：.2.2向量证

19、明公式 公式1 海伦公式.，其中(a+b+c)。ACBcab证明，如图12,（图12）在任意三角形ABC中，三边长分别是a、b、c,设，则a，b，c因为三角形面积=abC,=C=C) =-C =因为,所以，则, 所以=()=(c-a-b),=ab-(c-a-b)=2ab+(c-a-b)2ab-(c-a-b)= c-(a-b) (a+b)-c=(a+b+c)(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b)=(-2c)( -2a)(-2b)=(-a)(-b)( -c)所以.公式2 和差化积公式. , CABDO（图13）证明：如图13，作单位圆，并任作两向量，,取弧AB的中点为C，则M，连接AB，OC，

20、设它们交与D点，则D为AB中点，ONAB，CO=,COA=,所以=,所以D(,),即N(,),又因为,则(,)=所以=2 =2.公式3 三角函数差角公式.ABO（图14）证明：如图14，作单位圆，并任作两向量，则A，B,所以,=2-2=2-2=.结束语向量是高中数学知识的重要组成部分，它的实际应用范围极其广泛，是解决数学问题的一种强有力的方法.向量把数量和形体化为一体，沟通了几何、代数与三角函数，用向量法研究问题，可以很好的把形象思维和抽象思维结合在一起，并可以开发学生的数学思维能力，提高学生解决数学问题的能力.向量方法解决数学问题时，从方法论的角度来看，它有以下几个特点:(1)内容简洁，思路

21、清晰.中学向量内容比较简单简洁、精炼，容易理解，容易掌握.有了向量，知道如何解决问题，思路较清晰，科学合理地把数学问题转化为相应的向量形式，再以向量计算以达到解决问题的目的.向量的主要内容是线性运算和向量的数积.向量用坐标表示时，它的线性运算就可以转化成坐标的运算，即为数的加、减与乘法运算，向量的数量积，可以解决大部分几何的度量问题，比如长度、角度、平行、垂直等，所以使解析几何、立体几何的公式推导、定理证明等，大大降低了数学学习难度.(2)流畅的运算，简捷的方法.向量运算是一种新形式的运算，这是从数、量和运算发展的角度来看向量运算. 向量不是简单的数的扩大，而是量和运算的扩大的问题，这和以前单

22、纯的数运算不同，这样的运算具有了方向性新的特点，它更符合现实的空间结构.向量方法最大的优势是更简单、更方便地来实现解决问题的目的，特别是在处理立体几何的证明问题时，向量方法更简单利落，避免了既要作图又要证明的复杂过程，大部分的操作转化为计算，可操作性很强.从运算的角度来看，向量既具有数学的特色机械化,也符合数学教学中崇尚的算法多样化.(3)向量方法与其它数学方法之比较.向量作为解决数学问题的一个强有力的工具，它具有的优势是显而易见的.然而，任何数学方法都有它优势的一面，也有许多不足之处，和其他数学方法相比，它的缺点在于：第一，如何建立一个适当合适的向量，有时是特别困难的，如果盲目地坚持选择向量

23、方法，实在不是明智之举；第二，即使构造出向量，如果向量的结构过于复杂，可能会使计算过于无助和繁琐；第三,向量方法直截了当的得出问题的结果，只有而没有中间过程，几乎完全并没有显示出数学问题详细的变化过程，掩盖了数学问题本来的目的，这样就阻碍了我们理解数学问题的本质.向量为我们解决解决数学问题提供了更多选择，但我们也不能忽略其它的数学方法的应用,不能只看见向量方法优势的一面,还要对向量有更深度的反思,不能对向量的认识仅仅停留在数学解题上,应该从更大的范围和角度认识向量,要全面的把握好向量与其他数学工具的关系.参考文献：1 刘兆辉.中学数学课程中的向量教学研究D.西北师范大学,2005.2陈思昊.试谈向量的几何应用J.科技与生活,2010,(19):150-150,160.3徐圆.空间向量在立体几何解题中的应用J.科技信息2009年第35期 . 4柳敏.APOS理论下的高中平面向量教学研究D.上海师范大学,2012.5李娜.新课改下的向量教学研究D.辽宁师范大学,2009.6陈雪梅.中学向量课程与教学的研究D.华东师范大学,2007.7杜云.用向量法证明海伦公式J.六盘水师范高等专科学校学报,2009,21(3).8孙高峰.向量教学中的数与形的结合J.神州(中旬刊),2011,(6):78.