2020学年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ）数学理

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)数学理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A=x|x2-4x+30，B=x|2x-30，则AB=()A.(-3，)B.(-3，)C.(1，)D.(，3)解析：集合A=x|x2-4x+30=(1，3)，B=x|2x-30=(，+)，AB=(，3).答案：D2. 设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=()A.1B.C.D.2解析：根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可.(1+i)x=1+yi，解得，即|x+yi|=|1+i|=.答案：B.3

2、. 已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=()A.100B.99C.98D.97解析：等差数列an前9项的和为27，9a5=27，a5=3，又a10=8，d=1，a100=a5+95d=98.答案：C4. 某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.B.C.D.解析：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故.答案：B5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.

3、(-1，3)B.(-1，)C.(0，3)D.(0，)解析：双曲线两焦点间的距离为4，c=2，可得：4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=1，方程表示双曲线，(m2+n)(3m2-n)0，可得：(n+1)(3-n)0，解得：-1n3，即n的取值范围是：(-1，3).答案：A.6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28解析：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉18后的几何体，如图：可得：，R=2.它的表面积是：.答案：A.7. 函数y=2x2-e|x|在-2，2的图象大致为()A.B

4、.C.D.解析：f(x)=y=2x2-e|x|，f(-x)=2(-x)2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2(0，1)，故排除A，B； 当x0，2时，f(x)=y=2x2-ex，f(x)=4x-ex=0有解，故函数y=2x2-e|x|在0，2不是单调的，故排除C.正确的是D.答案：D8. 若ab1，0c1，则()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logaclogbc解析：ab1，0c1，函数f(x)=xc在(0，+)上为增函数，故acbc，故A错误；函数f(x)=xc-1在(0，+)上为减函数，故ac-1bc-1，故ba

5、cabc，即abcbac；故B错误；logac0，且logbc0，logab1，即，即logaclogbc.故D错误；0-logac-logbc，故-blogac-alogbc，即blogacalogbc，即alogbcblogac，故C正确.答案：C9. 执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y236，故n=

6、2，则x=，y=2，不满足x2+y236，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y236，故y=4x.答案：C10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8解析：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，|OD|=|OA|，解得：p=4.C的焦点到准线的距离为：4.答案：B.11. 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为()A.B.C.D.解

7、析：如图：平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，可知：nCD1，mB1D1，CB1D1是正三角形.m、n所成角就是CD1B1=60°.则m、n所成角的正弦值为：.答案：A.12. 已知函数f(x)=sin(x+)(0，|)，为f(x)的零点，为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(，)单调，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5解析：解法一：为f(x)的零点，为y=f(x)图象的对称轴，即，(nN)即=2n+1，(nN)即为正奇数，f(x)在(，)则，即，解得：12，当=11时，kZ，|，=，此时f(x)在(，)不单调，不满足题意；当=9时，kZ，|，=，此时

8、f(x)在(，)单调，满足题意；故的最大值为9.解法二：为f(x)的零点，为y=f(x)图象的对称轴，(kZ)，又|，=，由解法一可得：=2n+1，(nN)f(x)在(，)单调，即 (k，nZ)，解得：，故n的最大值为4，故=2n+19.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设向量=(m，1)，=(1，2)，且，则m= .解析：，可得.向量=(m，1)，=(1，2)，可得m+2=0，解得m=-2.答案：-2.14. (2x+)5的展开式中，x3的系数是 .(用数字填写答案)解析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系

9、数.(2x+)5的展开式中，通项公式为：，令，解得r=4x3的系数.答案：10.15. 设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .解析：等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q(a1+a3)=5，解得q=.a1+q2a1=10，解得a1=8.则a1a2an=a1n·q1+2+3+(n-1)=，当n=3或4时，表达式取得最大值：.答案：64.16. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产

10、一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.解析：甲、乙两种两种新型材料，设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元.由题意，得，z=2100x+900y.不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A(60，100)，目标函数z=2100x+900y.经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元.答案：216000.三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或

11、演算步骤.17. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.()求C.解析：()已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数.答案：()已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，整理得：2cosCsin(A+B)=sinC，sinC0，sin(A+B)=sinCcosC=，又0C，C=.()若c=，ABC的面积为，求ABC的周长.解析：()利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可

12、求ABC的周长.答案：()由余弦定理得，(a+b)2-3ab=7，ab=6，(a+b)2-18=7，a+b=5，ABC的周长为5+.18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.()证明平面ABEF平面EFDC.解析：()证明AF平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF平面EFDC.答案：()ABEF为正方形，AFEF.AFD=90°，AFDF，DFEF=F，AF平面EFDC，AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC.()求二面角E

13、-BC-A的余弦值.解析：()证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余弦值.答案：()由AFDF，AFEF，可得DFE为二面角D-AF-E的平面角；由CEBE，BEEF，可得CEF为二面角C-BE-F的平面角.可得DFE=CEF=60°.ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面EFDC平面ABCD=CD，AB平面ABCD，ABCD，CDEF，四边形EFDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(

14、，0，)，A(2a，2a，0)，设平面BEC的法向量为，则，则，取.设平面ABC的法向量为，则，则，取.设二面角E-BC-A的大小为，则，则二面角E-BC-A的余弦值为.19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数

15、，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.()求X的分布列.解析：()由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列.答案：()由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，X的分布列为：()若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值.解析：()由X的分布列求出P(X18)=，P(X19)=.由此能确定满足P(Xn)0.5中n的最小值.答案：()由()知：P(X18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18).P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) .P(Xn)0.5中，n的最

16、小值为19.()以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？解析：()由X的分布列得P(X19)=.求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适.答案：()由()得P(X19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19).买19个所需费用期望：EX1=200×19×+(200×19+500)×+(200×19+500×2)×+(200×19+500×3)×=4040，买20个所需费用期望：EX2

17、=200×20×+(200×20+500)×+(200×20+2×500)×=4080，EX1EX2，买19个更合适.20. 设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.()证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.解析：()求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程.答案：()圆x2+y2+2x

18、-15=0即为(x+1)2+y2=16，可得圆心A(-1，0)，半径r=4，由BEAC，可得C=EBD，由AC=AD，可得D=C，即为D=EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，则点E的轨迹方程为(y0).()设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.解析：()设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQl，设PQ：y=-m(x-1)，求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式

19、可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围.答案：()椭圆C1：，设直线l：x=my+1，由PQl，设PQ：y=-m(x-1)，由可得(3m2+4)y2+6my-9=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得，则，A到PQ的距离为，则四边形MPNQ面积为，当m=0时，S取得最小值12，又，可得，即有四边形MPNQ面积的取值范围是12，).21. 已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.()求a的取值范围.解析：()由函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2可得：f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，

20、对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案.答案：()函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a)，a=0，那么f(x)=0(x-2)ex=0x=2，函数f(x)只有唯一的零点2，不合题意；若a0，那么ex+2a0恒成立，当x1时，f(x)0，此时函数为减函数；当x1时，f(x)0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f(x)取极小值-e，由f(2)=a0，可得：函数f(x)在x1存在一个零点；当x1时，exe，x-2-10，f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(x-2)e+a(x-1)2=a(x-1)2+e(x-1)-e

21、，令a(x-1)2+e(x-1)-e=0的两根为t1，t2，且t1t2，则当xt1，或xt2时，f(x)a(x-1)2+e(x-1)-e0，故函数f(x)在x1存在一个零点；即函数f(x)在R是存在两个零点，满足题意；若，则ln(-2a)lne=1，当xln(-2a)时，x-1ln(-2a)-1lne-1=0，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，当ln(-2a)x1时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递减，当x1时，x-10，ex+2aeln(-2a)

22、+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，故当x=ln(-2a)时，函数取极大值，由f(ln(-2a)=ln(-2a)-2(-2a)+aln(-2a)-12=aln(-2a)-12+10得：函数f(x)在R上至多存在一个零点，不合题意；若，则ln(-2a)=1，当x1=ln(-2a)时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，当x1时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，故函数f(x)在R上单调递增，函数f(

23、x)在R上至多存在一个零点，不合题意；若，则ln(-2a)lne=1，当x1时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，当1xln(-2a)时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递减，当xln(-2a)时，x-10，ex+2aeln(-2a)+2a=0，即f(x)=(x-1)(ex+2a)0恒成立，故f(x)单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f(1)=-e0得：函数f(x)在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为(0，+).

24、()设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x22.解析：()设x1，x2是f(x)的两个零点，则，令，则g(x1)=g(x2)=-a，分析g(x)的单调性，令m0，则，设，m0，利用导数法可得h(m)h(0)=0恒成立，即g(1+m)g(1-m)恒成立，令m=1-x10，可得结论.答案：()x1，x2是f(x)的两个零点，f(x1)=f(x2)=0，且x11，且x21，令，则g(x1)=g(x2)=-a，当x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当x1时，g(x)0，g(x)单调递增；设m0，则，设，m0，则恒成立，即h(m)在(0，+)上为增函数，h(m)h(0)=0恒成立，即g(1+

25、m)g(1-m)恒成立，令m=1-x10，则g(1+1-x1)g(1-1+x1)g(2-x1)g(x1)=g(x2)2-x1x2，即x1+x22.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22. 如图，OAB是等腰三角形，AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆.()证明：直线AB与O相切.解析：()设K为AB中点，连结OK.根据等腰三角形AOB的性质知OKAB，A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线.答案：()设K为AB中点，连结OK，OA=OB，AOB=120°，OKAB，A=30°，OK=OAsin30°=OA，直线AB与O相切.()点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.解析：()设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论.答案：()因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心.OA=OB，TA=TB，OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT为CD的中垂线，ABCD.选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点