因式分解知识点归纳复习过程

1、因式分解知识点归纳因式分解知识点回忆1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做因式分解. 因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1) 提取公因式法： ma mb mc m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a 8 b2 (a b)(a b);完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3)对二次三项式,应先尝试用十字相乘法分解,不行的再用求根公式法(4)

2、最后考虑用分组分解法5、同底数幕的乘法法那么：amgan am n ( m,n都是正整数)同底数幕相乘,底数不变,指数相加.注意底数可以是多项式或单项式.如：(a b)2g(a b)10、单项式的乘法法那么： 单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘, (a b)注意：6、幕的乘方法那么：(am)n amn (m,n都是正整数)幕的乘方,底数不变,指数相乘.如：(35)2 310幕的乘方法那么可以逆用：即amn (am)n (an)m如：4积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值. 相同字母相乘,运用同底数幕的乘法法那么. 只在一个单项式里含有的字母,那么连同它的指数作为

3、积的一个因式 单项式乘法法那么对于三个以上的单项式相乘同样适用. (42 )3 (43)27、积的乘方法那么：(ab)n anbn (n是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积.3ttt3 c 3 2 5 / 5 八 / 3 5 八 / 2 5 - 5 15 10 5如：(2x y z) =( 2) ?(x ) ?(y ) ?z32x y z8、同底数幕的除法法那么：am an amn (a 0,m,n都是正整数,且m n)同底数幕相除,底数不变,指数相减.如：(ab)于只在一个单项式里含有的字母,那么连同它的指数作为积的一个因式. (ab) (ab)3 a3b39、零指数和负指数；a0 1,即

4、任何不等于零的数的零次方等于 1.a - l aap倒数.如：2 3 (1)3p次方的0, p是正整数),即一个不等于零的数的p次方等于这个数的如：2x2y3z?3xy11、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即 m(a b c) ma mb mc( m,a,b,c者B是单项式)注意：积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同.运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号.在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项.如：2x(2x 3y) 3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法那么；多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式

5、的每一项,再把所的的积相 加.(3a 2b)(a 3b)(x 5)(x 6)三、知识点分析：1.同底数幕、幕的运算：am an=am+n(m, n都是正整数).m、n mnz 一 (a ) =a (m,例题1.假设2例题2 .假设52x 1例题3.计算xn都是正整数).64 ,贝U a=;假设 27 3n ( 3)8,贝U n=125,求(x 2)2022 '的值.3 n 八2 m2y 2y x练习1 .假设 a2n 3,那么 a6n =.2 .设 4x=8y-1,且 9y=27x-1侧 x-y 等于3 .积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘

6、方,再把所得的哥相乘例题1.计算：3.乘法公式 平方差公式：a完全平方和公式:完全平方差公式:2 a2 a2 ab22ab2abb2 b2例题1.利用平方差公式计算:例题2.利用平方差公式计算:2022>2022 202222022一 2 一 一 -一20222022 20224 . (a-2b+3c d) (a + 2b 3cd)考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫做因式分解.因式分解和整式乘法互为逆运算1、以下从左到右是因式分解的是()A. x(a-b)=ax-bx B. x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1

7、)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、假设4a2 kab 9b2可以因式分解为(2a 3b)2,那么k的值为3、a为正整数、试判断a2 a是奇数还是偶数？4、关于x的二次三项式x2 mx n有一个因式(x 5),且m+n=17,试求m, n的值考点二提取公因式法提取公因式法： ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数2 、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b2 12a2bc分解因式,应提取的公因式是()22 一A、ab B、4a b

8、C、4ab D、4a bc2、(19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23)可因式分解为(ax b)(8x c),其中 a, b, c均为整数,那么a+b+c等于()A、-12 B、-32C、38 D、723、分解因式(1) 6a(a b) 4b(a b)(2) 3a(x y) 6b(y x)(4) ( 3)2022 ( 3)20224、先分解因式,在计算求值x(1 2x)(3x 2)其中 x=1.5(1) (2x 1)2(3x 2) (2x 1)(3x 2)2(2) (a 2)(a2 a 1) (a2 1)(2 a)其中 a=184225、多项式x 2022x2022x

9、2022有一个因式为x ax 1,另一个因式为x2 bx 2022 ,求 a+b 的值6、 假设 ab2 1 0, 用因式分解法求ab(a2b5 ab3 b)的值7、 a, b, c 满足 ab a b bc b c ca c a 3,求(a 1)(b 1)(c 1)的值. (a, b, c都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)运用平方差公式分解的多项式是二次项,这两项必须是平方式,且这两项的符号相反 习题1、以下各式中,能用平方差公式分解因式的是()八22222222A、x 4y B、x 2y 1 C、 x 4y D、x 4y2、分解以下因式222

10、2(1) 3x 12(2) (x 2)(x 4) x 4(3) (x y) (x y),一 322(4) x xy(5) (a b) 12222(6) 9(a b) 30(a b ) 25(a b)(7)2022 202220222 13、假设n为正整数,那么(2n 1)22(2n 1) 一定能被8整除完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式,且符合首平方,尾平方,首尾两倍中间放的特 点,其中首尾两项的符号必须相同,中间项的符号正负均可.习题22-222221、在多项式x 2xy y x 2xy y x xy+y 4x 1+4x中,能用元全平方公式分解因

11、式的有()A B 、 C 、 D 、2、以下因式分解中,正确的有() 4a a3b2 a(4 a2b2) x2y 2xy xy xy(x 2) a ab ac a(a b c)一 一 22 22 o29abc 6a b 3abc(3 2a)-x y xy xy(x y)333A、0个 B 、1个 C 、2个 D、5个3、如果x2 2(m 3)x 16是一个完全平方式,那么 m应为()A、-5 B、3C、7 D、7或-14、分解因式_2_2_32(1) mx 4mx 2m(2)2a -4a 2(3)x 2x x22(4) (2x 3) (x 3)2_(5) 8x y 8xy 2y/ c、 / 2

12、2224(6) (x -2xy) +2y (x -2xy)+y(7) 4x2 12xy+9y2 4x+6y-35、a b2, ab 2,求f3b a2b2 畀36、证实代数式10x 8y 45的值总是正数7、a, b, c分别是 ABC的三边长,试比拟(a2 b2 c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法(D二次项系数为i的二次三项式x px q中,如果能把常数项q分解成两个因式 2a、b的积,并且a b等于一次项系数P的值,那么它就可以把二次三项式x px q 分解成22,x px q x a b x ab x a x b例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘,且这

13、两个数的和要等于 5.由于6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X(-6),从中可以发现只有 2X3的分解适合,即2+3=512解：x2 5x 6 = x2 (2 3)x 2 313= (x 2)(x 3)1 X 2+1X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例题讲解2、分解因式：x2 7x 6解：原式=x2 ( 1) ( 6)x ( 1)( 6)1 1=(x 1)(x 6)1-6 (-1 ) + (-6) = -7练习分解因式(1) x2 14x 24(2) a2 15a 36(3)x2 4x 5(4) x2

14、 x 2(5) y2 2y 15(6)x2 10x 242、二次项系数不为1的二次三项式ax2 bx c条件：(1) a a1a2a1c1(2) c c1c2a2c2b a1c2G)(a2x c2)(3) b a1c2 a2G 分解结果：ax2 bx c =(a1x例题讲解1、分解因式：3x2 11x 10分析： 1-2 -3-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 11x 10=(x 2)(3x 5)分解因式：(1) 5x2 7x 6(2) 3x2 7x 2(3) 10x2 17x 3(4) 6y2 11y 103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a-不(-3y)+(-4y

15、)= -7y解：原式二(x 2y)(2x 3y) 8ab 128b2分析：将b看成常数,把原多项式看成关于 a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解1 8b2 -16b8b+(-16b)= -8b解：a2 8ab 128b2 = a2 8b ( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)分解因式(1) x2 3xy 2y2 (2) m2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b24、二次项系数不为1的多项式 例题讲解2x2 7xy 6y223 3xy 2把xy看作一个整?1-1(-1)+(-2)= -3解：原式二(xy 1)(xy 2)分解因式：(1) 15x2 7xy 4y2(2)

16、 a2x2 6ax 8考点五、因式分解的应用1、分解以下因式(1) 3x2 3(2) x222(3) x 6x 27x(4) a b 2b 1y2 4x2、计算以下各题2(1) (4 a 4a 1) (2 a 1)3、解方程22(2) (a2 b2 c2 2ab) (a b c)2(2) (2x 3)(2x 3)4、如果实数a b ,且"a10b a2 c2,22 c2L 1 2345 65、 .1 23 45 61,那么a+b的值等于一 一 2 一 2202220222022 2022-2_2202220222022 2022(1) 16(x 1)25(x 2)6、假设多项式x2 ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积,试确定符合条件的整数 a的值写出3个7、先变形再求值(1) 2x y , xy 4 ,求 2x4y3 x3y4 的值16(2) 3x2 8x 20,求12x2 32x的值8、a、b、c为