初中因式分解的常用方法—特色专题详解

1、初中因式分解的常用方法 一特色专题详解一、提公因式法女口多项式 am bm cm = m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.二、运用公式法运用公式法，即用a2 -b2 =(a b)(a -b),a2 _2ab b2 =(a _b)2,a3 二b3 =(a 二b)(a2 二ab b2)写出结果.三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an ' bm ' bn例 2、分解因式：2ax-10ay 5by-bx2 、xy - x-y 12对应练习：分解因式 1、a -ab，ac-bc（二）分组后能直接运

2、用公式例3、分解因式：X -y2 ax ay例4、分解因式：a22ab b2c23 / 30对应练习：分解因式3、x? x9y2 3y4、x2-y2 -z2- 2yz4 / 30# / 3022(2) ax - bx bx - ax a - b综合练习：(1) x3 x2 y - xy2 - y3# / 30# / 302 2 2(3) x 6xy 9y -16a 8a-12 2a -6ab 12b 9b -4a# / 30# / 30(5) a4 _2a3 a2 -9(6) 4a2x_4a2y_b2x b2y# / 302 2(7) x - 2xy _xz yz ya2_2a b2_2b 2

3、ab 15 / 30# / 30(8) y(y -2) -(m T)(m1)(a c)(a -c) b(b -2a)# / 30# / 30(9) a2 (b c) b2(a c) c2(a b) 2abc (12) a3 b3 c3 - 3abc四、十字相乘法（一 ）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2 （p q）x p（x p）（x q）进行分解。特点：（1）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3） 一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x2 5x 66 / 302例6、分解因式：x -7x 6对应练习5、分解因式x214x 242 a2 -15a362 x2

4、4x - 5对应练习6、分解因式X2 x - 22(2) y2_2y_152 x2-10x-247 / 30# / 30ax2 bx c条件：（1） a 二 aia2a1C1(2)C 二 C1C2a2 C2(3)b FC2 a2c1b = a1C2a2C1（二）二次项系数不为 1的二次三项式分解结果： ax2 bx c= (a!x - C| )(a2x c2)例7、分解因式：3x2 -11x102 2对应练习7、分解因式：(1) 5x 7x -6(2) 3x - 7x 2(3) 10x2 -17x 3(4) - 6y2 11y 10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 -8a

5、b -128b2对应练习 8、分解因式(1) x2 -3xy 2y2 m2 - 6mn 8n2 (3) a2 - ab - 6b2(四) 二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2x2_7xy+6y2例 10、x2y2_3xy + 28 / 302 2 2 2对应练习 9、分解因式：(1) 15x 7xy -4y(2) a x - 6ax 8综合练习 10、（ 1） 8x6 -7x12 2(2) 12x -11xy-15y2(3) (x y) -3(x y) -102(4) (a b) -4a -4b 3(5) X2y2 _5x2y _ 6x2(6) m24mn 4n23m 6n 29 / 30#

6、 / 30(7) x2 4xy 4y2 -2x -4y -3(8 ) 5(a b)2 23(a2 -b2) -10(a-b)2# / 302 2 2 2 2 2(9) 4x -4xy-6x 3y y -10(10) 12(x y) 11(x y ) 2(x - y)思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x abc五、主元法.例 11、分解因式：x2 -3xy -10y2 x 9y _2对应练习 11、分解因式(1) x2- y2 4x 65(2) x2 xy - 2y2 - x 7y - 62 2 2 2 x xy -6y x 13y -6(4) a ab - 6b 5a 35b -

7、36六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F型多项式的分解因式条件：（1） A=aia2， C = cic2， F - f1 f2（2） a1c2 a2G = B， g f2 c2 仏=E，f2 a2 £ = D即:aiC2a2C2 £ 二 E， a1 f2a： f 1 二 D则 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F = (ax efj(a2x c2 f2)例 12、分解因式(1) x2 -3xy -10y2 x 9y - 2(2) x2 xy -6y2 x 13y -62 2对应练习12、分解因式(1) x xy-2y -x 7

8、y-6(2)2 2 26x -7xy-3y -xz 7yz-2z七、换元法。例 13、分解因式(1) 2005X2 -(20052 -1)x-20052(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x、. 2 2 2 2 2对应练习13、分解因式(1) (x xy y )4xy(xy )13 / 302 2(2) (x 3x 2)(4x 8x 3) 90(3) (a21)2 (a25)2 _4(a2 3)2例 14、分解因式（1） 2x4 - x3 - 6x2 - x 2观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。对应

9、练习 14、( 1)6x4 7x3 -36x2 -7x 6 (2) x4 2x3 x2 1 2(x x2)14 / 30八、添项、拆项、配方法例15、分解因式（1） x33x (x 1)4 (x2 -1)2 (x-1)4 415 / 3016 / 30对应练习15、分解因式（1） x3 -9x 8# / 30# / 30(3) x4 -7x21(4) x4 x2 2ax 1 - a2# / 30444222222444(4) x y (x y) (6) 2a b 2a c 2b c -a -b -c九、待定系数法。2 2例16、分解因式x - xy -6y x 136例17、( 1)当m为何值

10、时，多项式x2 -y2 mx 5 6能分解因式，并分解此多项式(2)如果x3 ax2 - bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值17 / 30对应练习17、( 1 )分解因式X2 - 3xy - 10y2 x 9y 一 2(2)分解因式 X - 3xy 2y2 5x 7y 6(3)已知：x2 -2xy-3y2 614y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式(4) k为何值时，x2 -2xy ky2 35y 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此 多项式。初中阶段因式分解的常用方法(例题再详解)把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 因式分解

11、的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法女口多项式 am bm cm = m(a b c),其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式.二、运用公式法运用公式法，即用a2 -b2 =(a b)(a -b),2 2 2a _2ab b =(a _b),a3 二b3 =(a 二b)(a2 _ab b2)写出结果.三、分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an ' bm ' bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两

12、项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)间还有公因式！=(m n )(a b)思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：2ax10ay，5by-bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；19 / 30# / 30第三、四项为一组第二、三项为一组# / 30# / 30解：原式=(2ax-10ay) (5by-bx)原式=(2axbx) (TOay 5by)=2a(x _5y)

13、 _b(x _5y)= x(2a _ b) _5y(2a _ b)=(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y)练习：分解因式 1、a2 -ab ac - be 2、xy -x - y 1(二) 分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2 -y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完 后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2 厂(ax ay)=(x y)(x -y) a(x y)=(x y)(x -y a)例4、分解因式：a2 -2ab b2 -c2解：原式=(a2 -2ab - b2) -c2=(a-b)2-c2= (a

14、 _b _c)(a _b c)注意这两个例题的区别！练习：分解因式 3、x2 - x - 9y2 - 3y 4、x2 - y2 - z2 - 2yz20 / 30# / 30综合练习：(1) x3 .x2y_xy2 _y322(2) ax - bx bx - ax a - b# / 30(3) x 6xy 9y2 -16a2 8a -1(4) a26ab 12b 9b2 -4a(5) a4 _2a3 a2 -92 2 2 2(6) 4ax4aybxby(7) x2 _2xy _xz yz y2(8) a2 2a b2 -2b 2ab 1(9) y(y -2) -(m T)(m1)(10) (a

15、 c)(a -c) b(b -2a)（3）10x2 -17x 3（4）-6y2 11y 10# / 30（3）10x2 -17x 3（4）-6y2 11y 10# / 30(11) a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc (12) a3 b3 c3 - 3abc四、十字相乘法（一 ）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2 （p q）x pq = （x p）（x q）进行分解。特点：（1）二次项系数是1 ；（2）常数项是两个数的乘积；（3） 一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 x3=（-

16、2） x（-3）=1 x6=（-1） x（-6），从中可以发现只有 2X3的分解适合，即2+3=5。12二：Y二=(x 2)( x 3)1 X2+1 X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要 等于一次项的系数。2例6、分解因式：x -7x 62解：原式=x (-1) (-6)x (-1)(-6)1 . . -1 .= (x-1)(x_6)1-6(-1)+ ( -6)= -72 2 2练习 5、分解因式 x 14x 24 (2) a -15a36 (3) x 4x - 5练习 6、分解因式(1)x2 x-2 (2)y2-2y-15 (3)x2-10x-2

17、4(二)二次项系数不为 1的二次三项式 ax2 bx c条件：（1）a =&卍2印c仁（2）c = C1C2a2 C2（3）b = a1c2a2c1b= a1c2a2c,分解结果：ax2 bx c= （a/ - g）2X C2）例7、分解因式：3x2 -11x 10分析：1-23-5（-6）+ （ -5）= -11解：3x2 -11x 10= （x -2）（3x -5）练习 7、分解因式：（1）5x2 76（2）3x2 -7x 2（3）10x2 -17x 3（4）-6y2 11y 1022 / 30（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：将b看

18、成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分 解。1 8b1-16b# / 30# / 308b+(-16b)= -8b解：a2 -8ab -128b2 = a2 8b (-16b)a 8b (-16b)= (a 8b)(a-16b)练习 8、分解因式(1) x2 -3xy 2y2(2) m2 -6mn 8n2(3) a2 -ab -6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例 9、2x2 -7xy 6y2例 10、x2y2 -3xy 2把xy看作E个整体1-1-2# / 30# / 30(-1)+(-2)= -3(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=（x -2y）（2x

19、 _3y）解：原式=（xy _1）（xy _ 2）练习 9、分解因式：（1）15x2,7xy-4y2（2）a2x2-6ax，8综合练习 10、（ 1）8x6 -7x3 -12 2(2)12x -11xy-15y(3)(x y)2 -3(x y) -10(4) (a b)2 -4a -4b 32 2 2 2 2 2(7) x 4xy 4y -2x-4y-3 (8) 5(a b) 23(a -b)-10(a-b)2 2 2 2 2 2(9) 4x 4xy -6x 3y y -10 (10) 12(x y) 11(x 一 y ) 2(x - y)思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x ab

20、c五、主元法.例 11、分解因式：x2 -3xy-10y2 x 9y 一25解法一：以x为主元解：原式=x2 _x(3y _1) _(10y2 _9y 2)(-5)+(-4)= -9=x2 x(3y 1) (5y 2)(2y 1)(5丫-萝=x-(5y-2)x(2y-1)1(2y-1)=(x _5y 2)(x 2y _1)-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)解法二：以y为主元1 -1解:原式=10y2 _y(3x_9)+(x2 +x_2)J/ 2=-10y2(3x -9)y -(x2 x - 2)-1+2=1 =10y2 +(3x_9)y _(x_1)(x + 2”、2=-2y (x

21、-1)5y-(x 2)_5-(x+2_=(2y x - 1)(5y x -2)5( x-1)-2( x+2)=(3 x-9)2 2 2 2练习 11、分解因式(1) x - y 4x 6y -5 (2) x xy - 2y - x 7y - 6 x xy - 6y2xy -5xy - -3xy， 5y 4y=9y， - x 2x = x原式=(x -5y 2)(x 2y -1) x2 xy_6y2 x 13y_6 x 13y _6(4) a2 ab6b2 5a 35b36六、双十字相乘法。2 2定义：双十字相乘法用于对 Ax Bxy Cy Dx Ey F型多项式的分解因式条件：（1）A=ae2

22、，C =CQ2， F = £f2即:aiC2a2C| = B，Ci f2C2 fi=E，ai f2a2 fi（2） aiC2 a2Ci = B， Ci f2 C2 fi = E， & f2 a? fi = D25 / 3026 / 30应用双十字相乘法:则 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F = (x cfi)(a2X c? f?)2 2例 i2、分解因式(i) x -3xy -iOy x 92(2) x2 xy6y2 x 13y6解：(1) x2-3xy-10y2 x 9y-2应用双十字相乘法：x572 /2y3y3xy _2xy 二 xy , 4y 9y=13y ,

23、-2x 3x 二 x原式=(x_2y 3)(x 3y _2)练习 12、分解因式(1) x2 xy - 2y2 - x 7y - 6(2) 6x2 - 7xy - 3y2 - xz 7yz - 2z2七、换元法。例 13、分解因式(1) 2005X2 -(20052 -1)x-2005(2) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2解：(1 )设 2005= a，则原式=ax2 - (a2 - 1)x - a=(ax - 1)(x - a)=(2005x 1)(x -2005)(2)型如abed ' e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x2 7x 6)(x2

24、 5x 6) x222设 x 5x 6 二 A，则 x 7x 6 = A 2x原式=(A 2x)A x2 = A2 2 Ax x22 2 2=(A x) = (x 6x 6)练习 13、分解因式(1)(xxy y ) - 4xy(x y)(2) (x2 3x 2)(4x28x3) 90 (3) (a21)2(a25)2 - 4(a23)2例 14、分解因式（1） 2x4 -x3 -6x2 - x * 2观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法解：原式=x2(2x2

25、 _x _6 _ 1! )= x2 2(x2! ) _ (x)_6xxxx11设 x t，则 X2 2 =t2 -2xx原式=x2 (t2 _2) _t _6= x2 2t2 _t _10=x2(2t _5 (t +2 )= x2 2x + 2 5 i" x + 丄 + 2 i< X人X丿f 2 y f y 22=x 2x +-5 ix x +2 i= (2x2-5x+2 lx2 +2x+1)'、x 八 X丿=(x 1)2(2x-1)(x-2)(2) x4 -4x3 x2 4x 1解：原式=x2 x2 4x +1 十4 十i!= x2|lx2 +A i 4 x1J

26、9;、X x丿* X丿I X丿1 2 1 2设 x y，则 x2y2 2XX二原式=x2 y24y 3 = x2 y _1 y311=x2(x 1)(x3) = x2 - x-1 x2 - 3x-1XX练习 14、( 1) 6X4 7X3 -36X2 -7X 6 (2) x4 2x3 x2 1 2(x x2)八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) x3 -3x2 4解法1拆项。解法2添项。原式=x31 - 3X23原式=x3 - 3x2 - 4x 4x 4=(x 1)(x2 -x 1) -3(x 1)(x-1)= x(x2 -3x-4) (4x 4)2I=(x 1)(x -x 1 -3

27、x 3)= x(x 1)(x - 4) 4(x 1)2 2=(x 1)(x -4x 4)= (x 1)(x -4x 4)=(x 1)(x-2)2= (x 1)(x-2)2(2) x9x6 x3 _3解：原式=(x9 -1) (x6 -1) (x3 -1)=(x3 -1)(x6x3 1)(x3 -1)(x3 1) (x3 -1)=(x3 -1)(x6x3 1 x3 1 1)=(x -1)(x2 x 1)(x62x33)练习 15、分解因式(1) x3 -9x 8(2) (x 1)4(x2 -1)2 (x-1)442(3) x -7x 14 2 2(4) x x2ax 1 - a30 / 30#

28、/ 30(5) x4y4 (x y)4(5) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 - a4 -b4 - c4九、待定系数法。例 16、分解因式 x2 xy -6y2 x 13y -6分析：原式的前3项x2 xy-6y2可以分为(x 3y)(x-2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x -2y n)解：设 x2 xy -6y2 x 13y _6 = (x 3y m)(x -2y n)22t(x 3y m)(x _2y n) = xxy _6y(m n)x (3n _2m)y _ mn2 2 2 2x xy6y x 13y6=x xy6y (m n)x (32m) ymnIm n = 1.

29、m = 2对比左右两边相同项的系数可得<3n-2m =13，解得“门=3m n _ _6原式=(x 3y _2)(x _2y 3)例17、( 1)当m为何值时，多项式x2 - y2 mx 5y - 6能分解因式，并分解此多 项式。(2)如果x3 ax2 - bx - 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。(1)分析：前两项可以分解为 (x y)(x-y)，故此多项式分解的形式必为 (x y a)(x _ y b)22解：设 x - y mx 5y - 6= (x y a)(x - y b)贝H x2 _ y2 mx 5y _6 = x2 _ y2 (a b)x (b _ a)y a

30、b比较对应的系数可得:a b = m* b a = 5，解得:ab = -6a - -2 a = 2= b = 3 或b = 3m =1 m = 1'J当m=时，原多项式可以分解；当 m =1 时，原式=(x y -2)(x -y 3)；当 m 二-1 时，原式=(x y 2)(x -y - 3)(2)分析：x3 ax2 bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此 第三个因式必为形如 x c的一次二项式。解：设 x3 ax2 bx 8= (x 1)(x 2)(x c)则 x3 ax2 bx 8= x3 (3 c)x2 (2 3c)x 2ca = 3 ca = 7詔b =

31、2+3c，解得 <b =14 ,Zc=8& = 4 a b=212 2练习 17、( 1)分解因式 x -3xy-10yx 92(2)分解因式 x2 3xy 2y2 5x 7y 6(3)已知：x2 -2xy-3y2 6x - 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数 解因式。p并且分并分解此(4) k为何值时，x2 - 2xy ky2，3x-5y 2能分解成两个一次因式的乘积, 多项式。32 / 30补充： 一定要记住的公式大全：平方差公式：aA2-bA2=(a+b)(a-b);完全平方公式：aA2± 2ab+匕人2 = (a ± b)卜2 ;注意：能运用完

32、全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数 式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)；立方差公式：aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)完全立方公式：aA3 ± 3aA2b+ 3abA2± bA3=(a ± b)A3 .公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：xA2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).* (可不记)十字相乘法通用公式：如果有 k=ac, n=bd,且有ad+bc=m时，那么kxA2+mx+ n=(ax+b)(cx+d)因式分解方法(重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘)：方法一：分组分解法步骤类型一分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因