线性代数第十四讲

1、§ 3.6 性变换及其矩阵表示(1) 本概念映射象原象单射(1-1的)满射(到上的)双射(一一对应)映射的相等：，：A B。对a A,有(a)(a),记为映射的复合：A B; : B Co定义:对 a A, (a)( (a)线性变换：V 间。若对任意的()变换：A AV)其中V为数域F上的线性空V及任意的k F都有()()(k ) k ()则称为V上的一个线性变换 例3.6.4求导变换D:D(f (x) f'(x), f (x) Fx例3.6.6数乘变换：k F,V,( ) k特别地，k 0时，称为 零变换，记为Q; k 1时, 称为恒等变换或单位变换，记为 性质3.6.1:

2、(1)()；()()(2) 保持线性组合、线性关系式不变，即若 则()ki ( i)(3) 将线性相关的向量组变成线性相关的向量组。(线性无关的怎样？)可逆变换：性质：(1)可逆变换是对应；(2)逆变换唯一；(3)若 是线性变换，则1也是线性变换。2 .线性变换的矩阵(表示)设 为n维线性空间V上的一个线性变换。 取V 的一组基：1,2，n ,则有唯一确定的 (j), j 1, , n。此时，对任意的 V ,若设aj j,则() aj ( j)。由此可知，()由(j)唯一确定，即由(j)唯一确定。从而与 (j)互相唯一确定。设(j) a1j 1 a2j 2 anj n，j 12 , n将上式写

3、为矩阵形式：a11a1na21a2n(1), ( 2), ( n)1, 2, nan1ann记为1, 2, , n】，称矩阵A为在基1, , 口下 的矩阵(表示)。例V上的零变换，单位变换，数乘变换在V的 任意基下的矢!阵分别为0,I,kI。例3.6.10求Fxn中求导变换 D在自然基：1,x,x2, ,xn1下的矩阵。求法：先求 D(1), D(x), D(xn 1)。定理3.6.3设 是线性空间V上的一个线性变 换，1，, 口为丫的一个基，且 在该基下的矩阵表 示为A,即1，n 1， nA对任意的V ,设 Xi i,( )yi i ,则Y AX注意：与坐标变换公式有何不同？定义：()()(

4、)()；(k )( ) k ()。若在基：1，, n下， A, B,则A B; k kA;AB定理3.6.4设 是线性空间V上的一个线性变换， 1，, 口为它的一个基，且1,，n 1，nA则可逆 A可逆。定义3.6.8设V,V是数域F上的两个线性空间，是 V到V的一个映射.若对任意，V及k F,均有()()(),(k ) k ()则称 是V到V的一个线性映射，此时，若 还是双 射，则称是V到V的一个同构映射.例如，数域F上的n维线性空间V同构于向量 空间Fn.再如，数域F上的n维线性空间V上所有的线 性变换的集合V*构成一个线性空间，且V*与Fn “同 构。3 .线性变换在不同基下的矩阵在线性

5、空间V中取两个基：1，, n。同时，设1，n 1，nAn)P1，n 1，nB1，n 1，nP另一方面，1，n( 1，nP) ( 1,(1，nA)P11，n(P 1AP)比较与，由 在基：1， ，n下矩阵表示的 唯一性可知1B P 1 AP例在R3中定义线性变换：(Xi，X2，X3)T) (Xi X2，Xi X2，X3)T(1)求在自然基：1, 2, 3下的矩阵；(2)求在基：i (1,0,0)T, 2 (1,1,0)T, 3 (1,1,1)T 下的矩阵。4 .线性变换的特征值与特征向量设是线性空间V上的一个线性变换，1，, 为它的一个基，且1，n 1，nA在V中，能否找到适当的基，使得在该基下

6、的矩阵为对角阵？不妨设已经找到，为 1，2，n,于是有1， n1(i)(1)，( n) 1，ni 1， ，n设1,n 1,nF,则有11P 1APn定义3.6.7设 为数域F上线性空间V上的一个线性变换。若存在数F和非零向量V ,使得()则称数为线性变换的一个特征值，为对应特 征值的特征向量。结论：线性变换 在某个基下的矩阵为对角阵 有n个线性无关的特征向量。()AX X其中，为的特征值，A是在基：1, , n下的 矩阵表示，X是特征向量 在基：1, , n下的坐 标，即Xj j o类似地，可定义 矩阵的特征值与特征向量。如何求？首先需要计算行列式!1 .线性空间的基、维数、坐标（求过渡矩阵，

7、求坐标）2 .生成子空间、解空间（求基、维数）3 .标准正交向量组（Schmidt正交化方法）4 .正交矩阵5 .线性变换的矩阵表示第四章 行列式 4.1 排歹定义 由n个数1, 2,，n组成的一个有序数 组称为一个n阶排列。定义在一个排列中，如果两个位置上的数排 在前面的大于排在后面的，则称这两个数构成一个 逆序。一个排列中所含逆序的总数称为该排列的逆序数。排列j1 j2jn的逆序数记为 （j1j2jn）。 4.2 4.2 行列式的定义a11x1a12x2bia21x1a22x2b2其中 aj, bi (i, j = 1,2)为常数，xj (j = 1,2)为未 知数。由消元法可知，当a11

8、 a22 a12a210时，可得上述方程组有唯一解：x1b1a22a12b2x2a11b2b1a21a11a22a12a21a11a22a12a21引用符号a11a12a21a22表示 a11a22a12a21,即令a21al2a22a11a22a12a21则上述方程组的解可表示为X1b1b2a12a22b1a12,X2a11b2a22称符号为二阶行列式a。称为它的元素，其下角标j表示a。所在的列数。a21a12a22它含有两行、两列,i表示a。所在的行数,a12a22红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为 该行列式的次对角线（或副对角线）。符号只是个记号，它的实质意义是式右端 的代数式，称

9、之为 二阶行列式的展开式，它是一个对于a13x3a23x3a33x3b2b3x1D1Dx2D2x3D3a11xia12x2a21x1a22x2a31xia32x2其中 aj, bi (i, j = 1,2, 3)为常数，xj (j = 1,2, 3)为未知数，由消元法可知，有同样的结论。a11a12a13Da21a22a23a31a32a33a11a22 a33a12 a23a31a13a21 a32a13a22 a31a12 a21a33a11a23a32当D 0时，可得上述方程组有唯一解:其中Dibia12a13b2a22a23b3a23a33bia22 a33 b3 a12a 23b2

10、a13a32b3a13a22b2a12a33 b1a23a32a11b1a13D2a21b2a23a31b3a33 ba23a31 b2ana33 b3a13a21b1a21a33 b2a13a31b3a11a23a11a12b1D3a21a22b2a31a23b3ba21a32 b2 a12a31b3ana22b1a22a31b2a11a32 b3a12a21称式中的符号a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33为三阶行列式。它含有三行、三列，a。称为它的元 素，其下角标i表示a。所在的行数，j表示a。所在 的列数。红实线称为该行列式的主对角线，蓝虚线称为 该行列式的

11、次对角线（或副对角线）。三阶行列式的实质意义是式右端的代数式， 称之为三阶行列式的展开式，它也是一个数。3阶行列式的展开式：a11a12a13Da21a22a23a31a32a33a11a22a33 a12a23a31a13a21a32a13a22 a31212221233 aa23a32,的规律：(1)项的形式:a1jla2j2a3j3jij2j3是1,2, 3的排列(2)项的个数：3! = 61,2, 3的全部排列的数目(3)项的符号：(1)(j1j2j3)于是，三阶行列式的展开式又可表为a11a12a13a21a22a23a31a32a33(1) (j1j2j3)a1j1a2j2a3j3

12、式中的和式取遍1,2, 3的全部排列。j1 j2 j3定义n2个数a,j (i, j 1,2, ,n)排成n行n列,记为a11a12a21a22a1na2nan1an2ann称上面符号为n阶行列式，aj称之为第i行第j列的元素。n阶行列式表示一个数，其值为a11a12a1n(1) (j1j2 *12 1 j1j2 jnanjna21a22a2nan1an2ann上面和式取遍1,2,，n的全部排列。上式右端称为 n阶行列式的展开式。定义设n阶方阵a11a12a1na21a22a2nAan1an2ann则称n阶行列式aiia21a12a22a1ia2an1an2ann为方阵A的行列式|A|或 de

13、t Ao设四阶上三角矩阵a11000a12a2200a13a23a330a14a33a34a44求|A|根据行列式的定义,|A|a11000a12a2200a13a23a330a14a33a34a44(1)(j1 j2j3j4)一a1j1a2j2a3j3 a4j4因为j4a4j4a3j30j33,4a2j20j22,3,4a4j40ji1,2,3,4所以，|A|aiia12a13a14a22a23a330a33a3400a44(1)(1234)a11a22 a33a44a11a22 a33a44例设A是上三角矩阵, 角元之积。则| A |的值为A的主对若A是上（下）三角矩阵，则称|A|为上（下

14、） 三角行列式。§ 4.3行列式的性质性质1设A aijn n是n阶方阵，则|A| |AT |,即alla12a21a22a1na2na11a12an1an2a21a22anna1na2nan1an2ann例 设A是下三角矩阵，则|A|的值也为A的主 对角元之积。性质2设A aijn n是n阶方阵，A Rij B, 则|A|B| ,即a11a12a1na11a12a1nai1ai2ainaj1aj2a jnaj1aj2ajnai1ai2ainan1an2annan1an2ann推论若行列式有两行完全相同，则该行列式 等于零。性质3设A ajn n是n阶方阵，A kRi B,则 |B|

15、 k|A|,即a11a12a1nkaj 1kaj 2kainan1an2ann推论1若行列式中某 行列式等于零。推论2若行列式中某 等于零。a11a12a1nk ai1ai2ainan1an2ann亍的元素全为零，则该亍成比例，则该行列式问题对方阵A, |kA|与| A |有什么关系?性质4设A是n阶方阵，且a11a12a1nas 1,1as 1,2as 1,nA b)s1cs1bs2cs2bsn csnas 1,1as 1,2as 1,nan1an2anna11a12a1 na11a12a1nas 1,1as 1,2as 1,nas 1,1as 1,2as 1,nbs1bs2bsn，Acs1cs2csnas 1,1as 1,2as 1,nas 1,1as 1,2as 1,nan1an2annan1an2ann|A| |A1 |A|o问题对同阶方阵A,B, |AB|与|A|,|B|有关系吗?性质5 t殳A是n阶方阵,ARj kRiB,则|B|,即ai2ainaiiai2ainai2ainaiiai2ainaj2ajnaji kaiiaj2 kai2ajn kan2annanian2ann|A|aiiinaniaiiaji计算四阶行列式R2R3i)Ri1)R4a00 bdddd例计算四阶行列式abbD4C1 C2Ci C3C1 C4a 3bD4a 3b(a 3b)R2 ( i