《最短路径问题》 (3)ppt课件

1、0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测13.4 最短途径问题第一课时0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测1两点的一切连线中，线段最短；2衔接直线外一点与直线上各点的一切线段中，垂线段最短；3三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程访问海伦，讨教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷. 某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水

2、过河，回到对岸的帐篷B牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的道路全程最短？ 探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动1创设情境，引入新知重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测知晓数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题. 他能将这个问题笼统为数学问题吗？解： 衔接AB，线段AB与直线l交于点C， 到河边l的C处饮马可使马所走的道路全程最短.【思绪点拨】将A，B两地笼统为两个点，将河l 笼统为一条直线，那么AC+BC的最小值为线段AB的值. 此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型 . 探求一：探求一：“两点一线

3、的最短途径问题两点一线的最短途径问题重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题处理了，可是将军思索了片刻，又提出了一个新的问题：探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动2整合旧知，探求新知重点、难点知识问题2. 牧马人觉得蹚水过河很不方便，决议将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧. 如图，牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地到河边什么地方饮马，可使马所走的道路全程最短？0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测 学者海伦仔细思索，利用轴对称的知识回答了这个问

4、题这就是著名的 “将军饮马问题 他能将这个问题笼统为数学问题吗？将问题2笼统为数学问题：如图，点A，B 在直线l 的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？【思绪点拨】将A，B 两地笼统为两个点，将河l 笼统为一条直线. 那么“所走的道路全程最短转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小 的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型. 探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测解：1作点B 关于直线l 的对称点B；2衔接AB，与直线l 相交于点C 那么点C 即为

5、所求探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动3大胆猜测，建立模型重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测诘问1 他能用所学的知识证明AC +BC最短吗？探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动4反思过程，验证新知重点、难点知识证明：如图，在直线l 上任取一点C与点C 不重合，衔接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC， AC+BC=AC+ CB=AB，AC+ CB=AC+ CB又在ABC中，AB AC+BC， AC+BCAC+BC，即AC +BC 最短 0 0知识回顾知识回顾问题探

6、究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测诘问2 证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C (与点C不重合)？探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动5集思广益，了解新知重点、难点知识假设直线l上恣意一点与点C不重合与A，B两点的间隔和都大于AC +BC，就阐明AC +BC最小诘问3 回想探求过程，我们是经过怎样的过程、借助什么来处理问题的？ 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测【方法归纳】 1、“两点(直线同侧)一线型在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，衔接对称点和另一点与直线的交点就是

7、所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题活动6反思总结，归纳新知重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测练习 有两棵树位置如图，树脚分别为A，B. 地上有一只昆虫沿AB的途径在地面上爬行小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行间隔最短，在图中画出该点的位置. (保管作图痕迹，不写作法)【思绪点拨】此题为“同侧两点一线型， 经过“作D关于AB的对称点D转化为“异侧两点一线型，再根据

8、“两点之间，线段最短处理. 探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测解：1将树顶C，D笼统为两个点，将途径AB笼统为一条直线；2如图，作D关于AB的对称点D，衔接CD交AB于点E，那么点E就是所求的点.探求一：探求一：“两点一线的最短途径问题两点一线的最短途径问题重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所成的MON内部. 牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，

9、然后回到马厩A. 请他帮他确定马这一天行走的最短道路.探求二：探求二：“一点两线型的最短周长问题一点两线型的最短周长问题海伦擅长察看与思索，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题：0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测解：分别作点A关于OM、ON的对称点A、A，衔接AA分别交OM、ON于E、F，此时AEF周长有最小值.探求二：探求二：“一点两线型的最短周长问题一点两线型的最短周长问题F0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测【思绪点拨】1将OM，ON笼统为两条相交的直线，将马厩A 笼统为一个点；2笼统为数学问题：如图，点

10、A在MON内部，试在OM、ON上分别找出两点E、F，使AEF周长最短；3当AE、EF和AF三条边的长度恰好可以表达在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探求一作图. 求三角形周长最短，即求AE+EF+AF的最小值为AA的值，根据轴对称的性质得AE=AE，AF=AF，再由“两点之间，线段最短处理. 此情况简称为“一点两线型.探求二：探求二：“一点两线型的最短周长问题一点两线型的最短周长问题F0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测能不能类比探求一，证明一下“周长最短作图的正确性？【理由简要分析】如图2，在OM上任取一个异于E的点E，在ON上任取一个异于F的点F，衔

11、接AE，AE，EF，AF，AF，那么AEAE，AFAF，且AEEFFAAA=AEEFFA= AEEFFA，所以AEF的周长最小，故E，F就是我们所求使AEF周长最短的点探求二：探求二：“一点两线型的最短周长问题一点两线型的最短周长问题0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测练习 如下图，点P为AOB内一点，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F. 假设P1P2=9，那么PEF的周长是 A.7 B.8 C.9 D.10解：由于P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点， 根据轴对称的性质得PE= P1E，PF=FP2， 所以P

12、E+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .C探求二：探求二：“一点两线型的最短周长问题一点两线型的最短周长问题0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题4. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l 饮马，然后回到帐篷B. 请他帮他确定马这一天行走的最短道路.探求三：探求三：“两点两线型的最短途径问题两点两线型的最短途径问题回到家的海伦继续思索：假设在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短道路呢？0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测解：1作

13、点A关于MN的对称点A，作B点关于l的对称点B；2衔接AB，分别交MN于点C、交l于点D，那么沿ACDB的道路行走，马一天行走的路程最短【思绪点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为AB的值，根据轴对称的性质得CA=CA，DB=DB，再由“两点之间，线段最短即可处理. 此情况简称为“两点两线型.探求三：探求三：“两点两线型的最短途径问题两点两线型的最短途径问题0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测练习 某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如下图两直排 (图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站

14、在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请他帮他设计一条行走道路，使其所走的总路程最短. (保管作图痕迹，不写作法)探求三：探求三：“两点两线型的最短途径问题两点两线型的最短途径问题0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)衔接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿CPQD的道路行走时，所走的总路程最短.【方法归纳】 “一点两线型求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再衔接两个对称点与两直线分别有两个交点，依次衔接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两

15、线型，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型即可处理.探求三：探求三：“两点两线型的最短途径问题两点两线型的最短途径问题0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测知识梳理1、利用轴对称知识处理最短途径问题，主要根据“两点之间线段最短和“垂线段最短；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段转化到“同一条直线上，然后用“两点之间线段最短处理问题.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重难点归纳最短途径问题的主要类型 问题作法图形原理类型一直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小 连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P. PA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短 类型二直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小.作点B 关于直线l 的对称点B；连接AB，与直线l 相交于点P则点P 即为所求（同样可作点A的对称点） PA+PB的最小值为AB的值，PB=PB，两点之间，线段最短0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测 类型三两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使EFP的周长最小. 分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P、P；连接PP，与直线OA、OB分别交