浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题

1、第3课时定点、定值、探索性问题题型一定点问题例1(2016·长沙模拟)已知椭圆1(a>0，b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若123，试证明：直线l过定点并求此定点(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为xt(ym)，由1知(x1，y1m)1(x0

2、x1，y1)，y1my11，由题意y10，11.同理由2知21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知4m2t44(t23)(t2m23)>0，且有y1y2，y1y2，代入得t2m232m2t20，(mt)21，由题意mt<0，mt1，满足，得直线l方程为xty1，过定点(1,0)，即Q为定点思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关(2017·河北衡

3、水中学调研)如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BFx轴，|BF|.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l：xty是椭圆C的一条切线，点M(，y1)，点N(，y2)是切线l上两个点，证明：当t，变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标解(1)由题意设椭圆方程为1(a>b>0)，焦点F(c,0)，因为，将点B(c，)的坐标代入方程得1.由结合a2b2c2，得a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为l为切线，所以(2t)24(t22)(22)0，即t2220.设圆与x轴的交点为T(

4、x0,0)，则(x0，y1)，(x0，y2)因为MN为圆的直径，故·x2y1y20.当t0时，不符合题意，故t0.因为y1，y2，所以y1y2，代入结合得·，要使上式为零，当且仅当x1，解得x0±1.所以T为定点，故动圆过x轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点题型二定值问题例2椭圆有两顶点A(1，0)，B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：·为定值(1)解椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为1(

5、a>b>0)，由已知得b1，c1，a，椭圆的方程为x21.当直线l的斜率不存在时，|CD|2，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)联立化简得(k22)x22kx10, 则x1x2，x1·x2.|CD|·，解得k±.直线l的方程为xy10或xy10.(2)证明当直线l的斜率不存在时，与题意不符当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx1(k0，k±1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，点P的坐标为(，0)由(1)知x1x2，x1x2，且直线AC的方程为y(x1)，直线BD的方程为y

6、(x1)，将两直线方程联立，消去y，得.1<x1<1，1<x2<1，与异号，()2·()2，y1y2k2x1x2k(x1x2)1k2()k()1，与y1y2异号，与同号，解得xk，故点Q的坐标为(k，y0)，·(，0)·(k，y0)1，故·为定值思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依

7、据条件对解析式进行化简、变形即可求得 (2016·珠海模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，点F(，0)，直线l：x，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由解(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQFP，RQ是线段FP的垂直平分线点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y22x(x>0)(2)弦长|TS|为定

8、值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，点M在曲线C上，x0，|TS|22是定值题型三探索性问题例3 (2015·四川)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得··为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且·1，于是解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当

9、直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时··3为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，····213.故存在常数1，使得··为定值3.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论

10、，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法(2016·绍兴教学质量调测)已知A(1,2)，B(，1)是抛物线y2ax(a>0)上的两个点，过点A，B引抛物线的两条弦AE，BF.(1)求实数a的值；(2)若直线AE与BF的斜率互为相反数，且A，B两点在直线EF的两侧，直线EF的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由解(1)把点A(1,2)代入抛物线方程得a4.(2)直线EF的斜率是定值，理由如

11、下：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线AE：yk(x1)2，则直线BF：yk(x)1，联立方程组消去y，得k2x2(4k2k24)x(2k)20，x1，y1k(x11)2，E(，)，联立方程组消去y，得k2x2(k22k4)x(1k)20，x2，x2，y2k(x2)1，得F(，)故kEF4.25设而不求，整体代换典例(15分)椭圆C：1(a>b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，

12、求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值规范解答解(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y±.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.4分(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0

13、)，F2(，0)，所以直线PF1，PF2的方程分别为：y0x(x0)yy00，：y0x(x0)yy00.由题意知 .由于点P在椭圆上，所以y1.所以.8分因为<m<，2<x0<2，可得，所以mx0，因此<m<.10分(3)设P(x0，y0)(y00)，则直线l的方程为yy0k(xx0)联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.12分由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.由(2)知，所以·8，因此为定值，这个定值为8.15分1(2016·镇海中学模拟

14、)已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且(>0)过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：·为定值；(2)设ABM的面积为S，求S的最小值(1)证明设直线AB的方程为ykx1，与抛物线x24y联立得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此x1x24k，x1x24，由直线AMyx，直线BMyx得M(，)，即M(2k，1)，所以·(2k，2)·(x2x1，)(2k，2)·(4，4k)0.(2)解|AB|4(k21)，点M到直线AB的距离为d2，所以S·4(k21)·24，所以S

15、的最小值为4.2(2016·余姚第一次质量检测)椭圆E：1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值(1)解因为e，所以ca，a2b2(a)2.又椭圆过点(，)，所以1.由，解得a26，b24，所以椭圆E的标准方程为1.(2)证明设直线l：ykx1，联立得(3k22)x26kx90.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，易知B(0，2)，故kBC·kBD·

16、3;k2k23k·(3k22)2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值3(2017·杭州质检)设直线l与抛物线x22y交于A，B两点，与椭圆1交于C，D两点，直线OA，OB，OC，OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，k3，k4.若OAOB.(1)是否存在实数t，满足k1k2t(k3k4)，并说明理由；(2)求OCD面积的最大值解设直线l的方程为ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)联立得x22kx2b0，则x1x22k，x1x22b，14k28b>0.因为OAOB，所以x1x2y1y20，得b2.联立得(3

17、4k2)x216kx40，所以x3x4，x3x4，由2192k248>0得k2>.(1)存在实数t.因为k1k2k，k3k46k，所以，即t.(2)根据弦长公式|CD|x3x4|得|CD|4··，根据点O到直线CD的距离公式得d，所以SOCD|CD|·d4·，设t>0，则SOCD，所以当t2，即k±时，SOCD有最大值.4(2016·赣州一模)已知椭圆C：1(a>b>0)与双曲线1(1<v<4)有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y22x于P，Q两点，且.(1)求椭圆C

18、的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点R(m，n)使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点M，N，且OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的OMN的面积；若不存在，请说明理由解(1)1<v<4，双曲线的焦点在x轴上，设焦点F(±c,0)，则c24vv13，由椭圆C与双曲线共焦点，知a2b23，设直线l的方程为xtya，代入y22x，可得y22ty2a0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y22t，y1y22a，x1x2y1y2a22a0，a2，b1，椭圆C的方程为y21.(2)在MON中，SOMN·|OM|·|ON|·sinMONsinMON.当MON90°时，sinMON有最大值，此时点O到直线l的距离为d，m2n22.又m24n24，联立解得m2，n2，此时点R的坐标为或，MON的面积为.*5.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x324y204(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4,4)