第一学期高等数学期末考试复习

1、第一学期高等数学期末考试复习15 级第一学期高等数学期末考试复习总结第一章 集合与函数小结一、函数的概念1. 函数 y =f (x ) 的定义域 D (f ) 及其求法 . 2. 函数的两个根本要素：定义域和对 应法那么 .3. 分段函数：一个函数在其定义域的不同子集上用不同的表达式来表示，即一个函 数由两个或两个以上的式子表示 .? x , x > 0,4 、熟练掌握绝对值函数： y =x = ? 的定义、图像及性质? -x , x5 、由函数 y =f (u ) 与 u =g (x ) 复合而成的复合函数 y =f (g (x ) 的概念 . (难 点：复合函数分解为假设干个简单函数

2、，与后续章节的复合函数求导、微分、积分的联系) 四、根本初等函数和初等函数6. 五种根本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以 y =arc sin x ，y =arc cos x 为主)的性质及其图形 . (加强点：幂函数的根式、分式转换；指数、 对数的运算性质 ) 7. 初等函数：由常数和根本初等函数经过有限次四那么运算和有限次 复合而构成，并能用一个解析式表示的函数 .第二章 极限与连续 知识点归纳一、极限的概念 1. 极限的定义 ( 1)lim x n =A .n(2) lim f (x )=A、lim f (x )=A、lim f (x )=Ax fgx f

3、+gx f- gx =Ax f x 0-x f x 0+x fx 02 、极限的根本性质 1唯一性：假设 lim f x =A 或 lim x n =A ， m i ln fgf x =B 或 lim x n =B 那么 A =B .n fg2有界性：收敛数列必有界.3保号性：假设函数极限为正或负，那么在极限变化某过程中函数也为正或 负.4lim f x =A? lim f x =lim f x =A .x fgx f +gx f-g 5 lim f x =A? lim -f x =lim +f x =A .x fx 0x fx 0x fx 0二、无穷小量i l 1. 无穷小量： f x ?

4、m2. 无穷大量：f (x ) =03. 无穷小与无穷大的关系(课本 53页例 3、55页例 9，57页的引理 2) 4. 两个无 穷小的比拟 6. 重要的等价无穷小x， tan x x,1-cos x 当 xf0 时，s i n x 12xx， e x -1x， ln (1+x )x， 1，22(1+x ) a -1a x ( a R ).三、求极限的方法1. 利用极限的四那么运算2. 利用函数的连续性求极限 (代入法 ). 3. 两个重要极限和变量替换法并用sin x 1n 1x sin u (x )=1 ，lim =1. (2) lim(1+) =e ， lim(1+) =e ， lim

5、(1+t ) t =e . (1)limt f Ox f Onx u (x ) f Ou (x ) x n x4. 利用无穷小的重要性质和等价无穷小代换(1) 无穷小的重要性质：有界变量与无穷小的乘积是一个无穷小 . (2) 等价无穷小代 换 四、函数连续性 1. 函数连续的概念(1) 假设 lim f (x )=f (x O) ，称 f (x ) 在点 x O 处连续 .x fx O(2) 假设 lim -f (x )=f (x O) ，称函数 f (x ) 在点 x O 左连续；假设 lim +f (x )=f (x0)，称f (x ) 在点x 0右连续.x fx Ox fx 0f (x

6、) 在点 x 0 连续? f (x ) 在点 x 0 左连续且右连续 . (课本 61页例 3)假设f (x ) 在(a , b ) 内每一点都连续，称函数 f (x )在(a , b ) 内连续.(4) 假设f (x ) 在(a , b ) 内连续，在x =a右连续，在x =b左连续，称f (x ) 在a , b 上连续 . 2. 函数的间断点及其分类(1) 假设 f (x ) 在点 x 0 不连续，称 x 0 是 f (x ) 的间断点 . (2) 函数的间断点分为两 大类：1 )第一类间断点 x 0：f (x 0-0) 与 f (x 0+0) 都存在.可去间断点：f (x 0-0)= f

7、 (x 0+0). 跳跃间断点：f (x 0-0)工f (x 0+0). 2 )第二类间断点x 0 : f (x 0-0) 与f (x 0+0)至少有一个不存在常见的第二类间断点有无穷 间断点和振荡间断点 . 3. 初等函数的连续性重要结论： 根本初等函数在其定义域内都是连续的。初等函数在其定义区间内都是 连续的。第三章 导数与微分 小结一、导数和微分的概念 1. 导数定义式f '(x 0)= lim?x Ff (x 0+ ?x ) -f (x 0)， f '(x 0) =lim f (x 0+h ) -f (x 0)。h F ?x hf '(x 0) =limx f

8、x 0f (x ) -f (x 0)x -x 02 、几何上f '(x 0)表示曲线y =f (x ) 在(x 0, f (x 0)处切线的斜率、切线方程和法线方程。3 、函数在某点连续与可导的关系(课本 78页定理 2) 4、求导根本公式与法那么5 、高阶导数的计算(半抽象函数的二阶导数) 6 、复合函数的求导法那么(一个中间 变量)由 u =f (x )， y =g (u ) 复合而成的 y =g (f (x ) ，那么有dy dy du dg (f (x ) dg (u ) df (x ) =即 。 dx du dx dx du dx7 、有关隐函数(一阶)的求导：(课本 86页

9、例题 1、2、3) 8 、微分及其应用 微分的定义及计算公式： dy =f '(x ) dx第四章 导数的应用 小结 一、微分中值定理1 、罗尔定理：假设f(X ) 函数：1)在a , b 上连续；2)在(a , b ) 可导；3) f(a ) =f (b ), 那么至少存在一点 (a , b ) 使 f '( E ) =0。2 、拉格朗日定理：假设f (x ) 函数：1)在a , b 上连续；2)在(a , b ) 可导， 那么至少存在一点 E (a , b ) 使f '( E )=f (b ) -f (a )。b -a 以上两个定理其实说明了满足条件的曲线上至少存在

10、一点处的切线平行于连接曲线两个端点的弦。(课本 109页定理 1、 111 页定理 2， 110页例题 1) 二、微分中值定理的应用 1 、洛必达法2 、微分中值定理的应用之二：单调性，极值；凹凸性，拐点；函数作图。 例：讨论以下函数的单调性，极值；凹凸区间，拐点。3 、应用问题：有关最小值最大值的计算第五章 不定积分 小结一、不定积分1 、不定积分概念： ？ f (x ) dx = F (x ) +C ? F '(x ) =f (x )? '=f (x ) 或 d f (x ) dx =f (x ) dx f (x ) dx 2、根本性质： ? ? ? ? ?？ f '

11、;(x ) dx =f (x ) +C或？ df (x ) =f (x ) +C。这四个式子的记忆、理解、应用也是六个字：互逆、复原、先后。、换元积分法如果? f (u ) du =F (u ) +C ，那么(课本 139页例题 2 16) dx =2 、?1122F (x 2+b ) +C f (x +b ) d (x +b )= ? 22f (lnx )dx =? f (lnx ) d ln x =F (lnx ) +C x3 、 ?1f ()dx =-f (1) d (1) =-F (1) +C? x x x x 24 、? f (sinx ) cos xdx =? f (sinx )

12、d sin x =F (sinx ) +C 5x dx = ? f (e x ) de x =F (e x ) +C三、分部积分法根本公式：? udv =uv - ? vdu第一章 函数附：微积分根底练习题册判断题1. 奇函数与偶函数的和是奇函数；2. 函数 y =与 u =-2-x可以复合成一个函数 y21的定义域是x >1 且x工10;1 ? xf (x 2+b )f (e x ) elg lg x 14. 函数y = 在(0,+ g)内无界；21+x3. 函数 y =5. y =x 与y = 填空题是同一函数；1. 设 y =3u , u =v 2, v =tan x ,那么复合函

13、数为 y =f (x ) = ； 2. 设f (x ) =1，g (x ) =1-x，那么 f g (x ) = ； x23. 函数 y =e (sinx ) 是由 , , 函数复合而成的； ； 2x 2x5. 函数 y =e 的反函数是 , 其图象与 y =e 的图象关于 对称 .4.y =第二章 极限与连续判断题1. 函数在点 x 0 处有极限，那么函数在 x 0 点极必连续；2. x f 0时，x与sin x是等价无穷小量；3. 设 f (x ) 在点 x 0 处连续，那么 f (x 0-0) =f (x 0+0)；4. x =1 是函数 y =x 2-2的间断点；x -15. f (x

14、 ) =sin x是一个无穷小量；6.假设 lim f (x ) 存在，那么 f (x ) 在 x 0 处有定义；x f x 08. lim7. 假设 x 与 y 是同一过程下两个无穷大量，那么 x -y 在该过程下是无穷小量；x f0x 1一 >x +sin x 21119 、数列 , 0, , 0, , 0, 收敛24810 、以零为极限的变量是无穷小量； 填空题 1.limsin x x= ； 2 、 lim = ；x x fg x x +sin xy =3 、函数x +2x 2-9 在 处间断；3n 24 、lim 2 = ；n fg 5n +2n -15 、当 x f0 时，

15、假设 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，那么 a = ；? sin 2x,x 工0?6 、设 f (x ) = ? x 连续，那么 a = ；? x =0? a , 选择题1. 当 x f0 时，y =sin1为 ( ) x无界变量 2. x(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 有界变量但不是无穷小量 (D) f 1+时，以下变量中为无穷大量的是()x 2-1x -11(A) 3 (B) (C) (D) 2x x -1x -1? -2, x < -1 ?3.函数 f (x ) =? x -1, -1x f 0x f -10<x(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第

16、一个不存在，第二个存在1x -1? 3x +2, x <0f (x ) = ( )，那么 lim 2x f0+x -2, x >0?(A) 2 (B) 0 (C) -1 (D) -2? 1, x >04. 函数 f (x ) =? ，在 x =0 处 ( )? -1, x4. 设 f (x ) =(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续计算与应用题? x 2-3x +2,X 工 2,?1. 设 f (x ) 在点 x =2 处连续，且 f (x ) =? x -2 ，求 a .? a , x =2?x 3-2x +1111lim(+ +) 2. 求

17、 lim 求x 2n x 4 -5 ; 3、n fg22231-)； 5、求 6、求 lim(3x f1x f -8h f01-x 1-x 1cos 2x -11x -2x xlim (1-) 7 、求极限 lim 8 、 9 、 lim (1- ) 2x f0x fgx f02x 2x 422n ln(1+3x ) e x -110 、求 lim(1-) 11 、求 lim 2 ； 12、 limn fgx f0x f0n sin 3x x -x4 、求lim第三章 导数与微分判断题1. 假设 f (x ) 在 x 0 处可导，那么 lim f (x ) 一定存在；x fx 02. 3. 4

18、. 5. 6. 7.填空题函数 f (x ) =x 在其定义域内可导；假设 f (x ) 在 a , b 上连续，那么 f (x ) 在 (a , b ) 内一定可导；? 2x 2, x >1 ?函数 f (x ) =? x 在 x =1 点可导；? ln , 0d (ax 2+b ) =2ax ；假设 f (x ) 在 x 0 点不可导，那么 f (x ) 在 x 0 不连续；1.2. 3. 4. 5.f (x ) = ，那么 f '(0)= ；曲线 y =x 3 在点 (1,1) 处的切线方程是 ； 设 y =x e +e x +ln x +ee ，那么 y '= ；

19、 y =sin(e x +1)， dy = ； (x x ) ' = h F5. 设 f (x ) 在 x 0 处可导，且 f '(x 0) =A ，那么 limf (x 0+2h ) -f (x 0-3h )用A的代数式表示为h6. 曲线 y =x 3+1 在 (-1,0) 处的切线方程是 ； 8. 函数 y =x3sin(x 2+1) 的微分 dy = ； 9. dy - ?y 的近似值是 ；选择题1. 设 f (x ) 在点 x 0 处可导，那么以下命题中正确的选项是 ( ) f (x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)存在 (B) lim 不存在x f

20、 x Ox f x Ox -x Ox -x 0f (x ) -f (x 0) f (x ) -f (x 0)(C) lim 存在 (D) lim 不存在x f x 0+ ?x f Ox ?x? x 2+1, -12. 设 f (x ) =? ，那么 f (x ) 在点 x = 0 处 ( ), 0(A) lim(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 3. 函数 y =e (C) ef (x )f (x )，那么 y " = ( )f (x ) f (x )(A) e (B) e f " (x )f ' (x )2 (D) e f (x )

21、 f ' (x )2+f " (x )x4. 函数 f (x ) = 在 x =0 处 ( )x(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导 5. 设 y =e +e ，那么 y ''=( ) (A) e +e 计算与应用题x-xx -x x -x x -x(B) e -e (C) -e -e (D) -e +ex -x1. 设 f (x ) = 1x 3-x 2e x +2,求 f '(x ) .3x2. 设 y =(1+x ) arctan x +1cos x，求 y '. 23. 设 y =x

22、 ln x +cos，求 dy .x24. 设 y =ln 5+cos x -1，求 y ' 及 dy . x 25. 设 e y =y ln x确定 y 是 x 的函数，求dy . dx6. 设 y =sin(x +y ) ，求 y ' 及 dy . 7. 设 2y -2x -sin y =0 ， 求 y '.7. 方程 e y -e x +xy =0 确定 y 是 x 的函数，求 y '. 9. f (x ) =sin3x 求 f ''() .n2第四章 导数的应用判断题1. 曲线y 在 x =0 点没有切线； 2. 函数可导，极值点必为驻点

23、；3. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点处；11312是曲线 y =x -x 的拐点； 2645. 假设 f '(x 0) =0， f ''(x 0)4. x =6. 假设 x =x 0 是函数 f (x ) 的极值点，那么 f ' (x 0) =0； 7. 函数 f (x ) 在a , b 上的极大值一定大于极小值；f '(x 0) =0是可导函数 y =f (x )在 x =x 0 点处取得极值的充要条件；8. 设 f (x ) =(x -a )?(x ) ，其中函数 ?(x ) 在 x =a 处可导，那么 f '(a )=?(a ) ；

24、119. 因为 y = 在区间 (0,1) 内连续，所以在 (0,1) 内 y = 必有最大值；x x8. 填空题1. 求曲线 y =(x -2) 的拐点是 ； 2. 3.4. 5. 7. 8.lim ( a >0, n 为正整数)= ； x f e ax2设 y =2x +ax +3 在点 x =1 处取得极小值，那么 a = ；假设函数 f (x ) 在区间 (a , b ) 内恒有 f ''(x ) >0 ，那么曲线 y =f (x ) 在 (a , b ) 内的凹向是 ； 假设 f ''(x ) =x -3 ，那么曲线 y =f (x ) 的

25、拐点横坐标是 ；36. 函数 y =x -3x 的单调递减区间是 ；函数y =0,5上满足拉格朗日中值定理的E = ;函数y =x +2cos x 在区间 0,Tt 上的最大值是 ；选择题1. 函数y =sin x 在区间0, n 上满足罗尔定理的E =()n n(C) (D) n 422. 函数 y =f (x ) 在点 x =x 0 处取得极大值，那么必有( )(A) f '(x 0) =0 (B) f ''(x 0)(C) f '(x 0) =0且 f ''(x 0)(A) 0 (B)计算与应用题x 1ln(1+2x ) e x -x -1

26、-)；lim 1. 求极限：( 1 )lim( ( 2)lim ；( 3)x f 1x - 1x f Ox f Oln x sin x 2x 2232. 给定函数 f (x ) =1-9x -3x +x ，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。3. 给定函数 f (x ) =5+18x +6x -2x ，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。4 、欲做一个容积为 3OOm 的无盖圆柱形蓄水池，池底单位造价为周围单位造价的 两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？323填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6.第五章 不定积分 判断题 1. 2. 3. 4. 5. 6.F '(x )

27、 dx =F (x ) +C； df (x ) dx =f (x ) +Cdx假设 f (x ) 可导，那么 ? df (x ) =f (x )sin x是 cos x 的一个原函数；3假设 ? f (x ) dx =x +C ,那么 f (x ) =x 2；设 f '(x ) =1 且 f (0)=0, 那么?1f (x ) dx =x 2-x +C；21? x +1= ；x设 e +sin x 是 f (x ) 的一个原函数，那么 f '(x )y =x 5 的原函数是 ；函数 的原函数是 y =ln(5x )；假设2； 假设 ? f (x ) dx =x +C g (x ) dxf (x ) dx =d ? g (x ) dx为常数 (C) F (x ) -G (x ) =02? f (x ) dx =arcsin 2x +C，那么 f (0)= 那么 ? xf (1-x ) dx = ； ? f (x ) dx = ?(C) d? f ' (x