立体几何证明题(文科)

1、立体几何1.如图：梯形 ABCD和正 PAB所在平面互相垂直，其中 AB DC1AD CD AB，且O为AB中点.2(I ) 求证：BC平面POD ；(II) 求证：AC PD .2.如图，菱形 ABCD的边长为6， BAD 60, ACPlBD O .将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥 B ACD ,点M是棱BC的中点，DM 2.I求证：OM II平面ABD ；求证：平面 ABC 平面MDO ;川求三棱锥 MCBDC3.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD BC / ADC90,1BOAD, PA=PD Q为 AD的中点.PA2I求证：ADL平面PBQ假设

2、点M在棱PC上，设PMtMC,试确定t的值，使得PA/平面BMQ4.四棱锥P ABCD的底面是菱形.PBI求证：PC /平面BDE ;求证：平面 PAC 平面BDE .D,E,F分别为BC,BBi,AAi的中点.5.直三棱柱ABC ABiC!的所有棱长都相等，且(I)求证：平面BiFC/平面EAD;II求证：BCi 平面EAD.6.如下列图，正方形 ABCD与直角梯形AF/DE , DE DA 2AF 2.(I )求证：AC 平面BDE ;(n )求证：AC/平面BEF ;川求四面体BDEF的体积ADEF所在平面互相垂直，ADE 90 ,7.如图，在四棱锥 P ABCD中，平面PADL平面AB

3、CD(第16题图)AB=AD Z BAD=60 , E、F分别是 AP、AD的中点求证：l1直线EF/平面PCD2平面 BEF丄平面 PAD.8.如图，四边形1 ABCD正方形，QAL平面 ABCD PD/ QA Q/=AB- PD21证明：PQL平面DCQII求棱锥Q-ABC啲的体积与棱锥P- DCQ勺体积的比值.9.如图，在 ABC中，Z ABC=45 , Z BAC=90 , AD是BC上的高，沿 AD把厶ABD折起，使Z BDC=901证明：平面ADE丄平面BDC;2 设BD=1,求三棱锥DABC的外表积参考答案：1. 证明：I 因为0为AB中点,1所以BO 2AB， 1分1又 AB/

4、CD,CD 2AB，所以有 CD BO,CD/BO, 2分所以ODCB为平行四边形,所以BC/OD, 3分又DO 平面POD, BC 平面POD, 所以BC/平面POD .B(II)连接 OC.因为 CD BO AO,CD/AO,所以 ADCO 为平行四边形，6分又AD CD ,所以ADCO为菱形，所以AC DO , 7分因为正三角形 PAB, O为AB中点,所以PO AB ， 又因为平面ABCD 平面PAB ,平面ABCD 平面PAB AB ， 所以PO 平面ABCD , 10 分而AC平面ABCD，所以 PO AC ,又PO门DO O，所以AC 平面POD.12分又PD平面POD，所以AC

5、PD .13分2. I证明：因为点 0是菱形ABCD的对角线的交点，所以0是AC的中点.又点M是棱BC的中点，所以0M是 ABC的中位线，OM/AB. 2分因为0M 平面ABD , AB 平面ABD ,所以0M /平面ABD . 4分证明：由题意，0M 0D 3,因为DM 3 2，所以 D0M90 , 0D 0M .又因为菱形ABCD，所以0D AC.因为0M门AC 0,所以0D 平面ABC ,因为0D 平面MD0 ,所以平面 ABC 平面MD0 .8分BDC川解：三棱锥M ABD的体积等于三棱锥DABM的体积100D 平面ABC ,11所以0D 3为三棱锥D ABM的高ABM的面积为-BA2

6、BMsin 120 丄 62.3 9.312所求体积等于-3S ABM0D1313. 证明：IAD / BC BO-AD Q为 AD的中点，2四边形BCDQ平行四边形，二CD/ BQ .t Z ADC90/.Z AQ=90 即 QBL AD.T PA=PD Q为AD的中点，/ PQL AD POP BQQ ADL平面 PBQ 6 分当t 1时，PA/平面BMQ连接AC交BQ于 N,连接MN1/ BC/ DQ2四边形BCQA为平行四边形，且 N为AC中点，点M是线段PC的中点， MN / PA ./ MN平面BMQ PA平面BMQ PA(/平面BMQ 13 分4. I证明：因为 E , O分别为

7、PA , AC的中点，所以 EO II PC .因为EO 平面BDEPC 平面BDE所以PC I平面BDE .6分证明：连结OP因为BD 平面BDE所以平面PAC 平面BDE . 13分5.I由可得 AF /B(E , AF B,E ,四边形AFB,E是平行四边形，AE/FB,， 1 分/ AE 平面 B-i FC， FB!平面 B|FC ,AE/ 平面 BFC ; 2分又D,E分别是BC,BB的中点，DE/RC , 3 分/ED 平面 B,FC , BQ 平面 B.FC ,ED/平面 B,FC ; 4 分TAEPlDE E, AE 平面 EAD , ED 平面 EAD , 5 分平面B,FC

8、 /平面EAD . 6分 (II) 三棱柱ABC A BQ是直三棱柱，GC 面 ABC，又 AD 面 ABC ,C-C AD . 7 分又 直三棱柱ABC AB-G的所有棱长都相等， D是BC边中点，ABC是正三角形，BC AD , 8分而CiCRBC C , CCi 面 BCGB , BC 面 BCGBi ,AD 面 BCGB , 9分故 AD BCi . 10 分.四边形BCCiBi是菱形，BCi BC , 11分而 DE/ RC，故 DE BCi , 12分由 AD DE D , AD 面 EAD , ED 面 EAD ,得 BG 面EAD . 13分6. ( I )证明：因为平面 AB

9、CD 平面ADEF , ADE 90 ,所以DE 平面ABCD , 2分所以DE AC. 3分因为ABCD是正方形，所以AC BD，所以AC 平面BDE. 4分(n )证明：设ACPlBD O，取BE中点G，连结FG, OG ,所以，OG 丄DE . 5分2因为 AF / DE , DE 2AF，所以 AF / OG , 6 分从而四边形AFGO是平行四边形，FG/AO. 7分因为FG 平面BEF , AO 平面BEF , 8分所以AO/平面BEF，即AC/平面BEF . 9分川解：因为平面 ABCD 平面ADEF , AB AD ,所以AB 平面ADEF . 11分因为 AF / DE, A

10、DE 90, DE DA 2AF 2 ,1所以DEF的面积为一ED AD 2 , 12分214所以四面体BDEF的体积 Sdef AB - . 13分337. 答案：1因为E、F分别是AP AD的中点，EF |PD,又 PD 面 PCD,EF 面 PCD直线EF/平面PCD2连接BD AB=AD, BAD=60 , ABD为正三角形F是AD的中点，BF AD,又平面 PADL平面 ABCD 面PAD 面ABCD = AD, BF 面PAD,BF 面BEF所以，平面 BEFL平面 PAD.8. 解：I由条件知PDAQ为直角梯形因为QA!平面 ABCD所以平面 PDACL平面 ABCD交线为 AD.又四边形ABCD为正方形，DC丄AD,所以DCL平面PDAQ可得PQ! DC.在直角梯形 PDAC中可得DQ=PQ=2pD,那么PQL QD2所以PQ!平面DCQ. 6分II设 AB=a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD勺高，所以棱锥 Q-ABCD勺体积Va3.由I丨知PQ为棱锥P- DCQ的高，而PQ= 2a , DCQ的面积为亠2 a2 ,2所以棱锥P-DCQ的体积为V2a3.3故棱锥Q ABCD勺体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1. 12分9. 1折起前AD是EC边上的高， 当A AB