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文档简介
1、中考专题复习路径最短问题、具体内容包括: 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;线段(之和)最短问题; 二、原理: 两点之间,线段最短;垂线段最短。 (构建“对称模型”实现转化)三、例题:例 1 、如右图是一个棱长为 4 的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点 侧面爬到点 B 处,则它爬行的最短路径是 。如右图是一个长方体木块,已知 AB=3,BC=4,CD=2 ,假设一只蚂蚁在点 A 处,它要沿着木块侧面爬到点 D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是DCA B例 2 、如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地 方可使所用的水管最短。李庄 B张村 A如图,直线 L
2、同侧有两点 A、B,已知A、B到直线 L的垂直距离分别为 1和 3,两点的水 平距离为 3,要在直线 L 上找一个点 P,使PA+PB 的和最小。请在图中找出点 P的位置,并 计算 PA+PB 的最小值。要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离 分别为 1Km 和 3Km ,张村与李庄的水平距离为 3Km ,则所用水管最短长度为李庄张村四、练习题(巩固提高)一) 1 、如图是一个长方体木块,已知 AB=5,BC=3,CD=4 ,假设一只蚂蚁在点 A 处,它要沿着木块侧面爬到点 D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是BA第1题第2题第3题2、现要在如图所示的圆柱体侧
3、面A 点与 B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计) ,圆柱体高为 6cm ,底面圆周长为16cm ,则所缠金丝带长度的最小值为3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点 B 处吃到食物,知圆 柱体的高为 5 cm ,底面圆的周长为 24cm ,则蚂蚁爬行的最短路径为4、正方形 ABCD 的边长为 8,M 在 DC 上,且 DM 2,N 是 AC 上的一动点, DN MN的最小值为CB图(2)AB 图(3)第4题第5题第6题第7题5、在菱形 ABCD中, AB=2 , BAD=60,点E是AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个动点,则 PE+PB 的最小值为6、
4、如图,在ABC 中,ACBC2,ACB90°,D 是 BC边的中点, E是 AB 边上一动点, 7、AB 是O 的直径, AB=2 ,OC是 O的半径, OCAB,点 D 在AC上,AD = 2CD , 点 P 是半径 OC 上的一个动点,则 AP+PD 的最小值为 _ 。(二) 8、如图,点 P关于 OA、OB的对称点分别为 C、D,连接 CD,交 OA 于M,交 OB 于 N,若 CD18cm ,则PMN 的周长为 。9、已知,如图 DE是ABC 的边 AB的垂直平分线, D为垂足,DE交 BC于E,且 AC5, BC8,则AEC 的周长为 。10 、已知,如图,在 ABC 中,
5、AB<AC,BC边上的垂直平分线 DE 交 BC于点 D,交 AC 于点 E,AC8,ABE的周长为 14,则AB 的长。11 、如图,在锐角 ABC中, AB 4 2,BAC45°,BAC的平分线交 BC于点 D,M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 12 、在平面直角坐标系中,有 A(3,2),B(4,2)两点,现另取一点 C(1 ,n ),当 n = 时,AC + BC 的值最小第 11 题 第 14 题 第 15 题13 、ABC中,C = 90 °,AB = 10 ,AC=6,BC=8, 过 AB边上一点 P作PEAC于 E
6、,PFBC 于 F,E、F 是垂足,则 EF的最小值等于14 、如图,菱形 ABCD 中,AB=2, BAD=60 °,点E、F、P分别是 AB、BC、AC 上的动点, 则 PE+PF 的最小值为 .15 、如图,村庄 A、B 位于一条小河的两侧,若河岸 a、b 彼此平行,现在要建设一座与河 岸垂直的桥 CD,问桥址应如何选择,才能使 A 村到 B 村的路程最近?16 、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A(2,0),B(0,4)(1)求该函数的解析式;OB 上(三) 16 、如图,已知 AOB 内有一点 P,试分别在边 OA 和 OB 上 各找一点 E、F,使
7、得PEF 的周长最小。试画出图形,并说明理由。17 、如图,直线 l 是第一、三象限的角平分线实验与探究:(1)由图观察易知 A(0 ,2)关于直线 l 的对称点 A的坐标为( 2,0),请在图中分别标明B(5,3 )、C( 2 ,5)关于直线 l 的对称点 B、C的位置,并写出他们的坐标: B归纳与发现:2)结合以上三组点的坐标,你会发现:坐标内任一点 P(a,b )关于第一、三象限的角平的对称点 P的坐标为;运用与拓广:(3)已知两点 D(1,3)、E(1, 4), 直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的 之和最小,并求出 Q 点坐标平面18、几何模型:条件:如图, A、B
8、是直线 L同旁的两个定点问题:在直线 L上确定一点 P,使 PA+PB 的 值最小方法:作点 A关于直线 l的对称点 A ,连结 AB交l于点P,则PA PB A B的值最小(不必 证明)模型应用:(1)如图 1,正方形 ABCD的边长为 2, E为 AB的中点, P是 AC 上一动点连结 BD,由 正方形对称性可知, B与D关于直线 AC对称连结 ED交 AC于P,则 PB PE的最小值是(2)如图 2,O的半径为 2,点 A、B、C 在O上, OA OB, AOC 60°, P是 OB上 一动点,求 PA PC 的最小值;R分别是 OA、OB 上的动点,C10cmCB图3A19
9、、问题探究(1)如图,动点,求 PC(2)如图,点, P为 BD上的一个动点,求 PC PE的最小值; 问题解决( 3 )如图,若四边形 ABCD 是矩形, AB 一个动点, P 为 BD四边形 ABCD 是正方形, AB PE 的最小值; 若四边形 ABCD 是菱形, ABPC PEE 为边 BC 的中点, P 为 BD 上的一个10cmABC45°, E为边 BC上的一个动BC 20cm, E为边 BC上的ECB10cmBC(3 )如图 3,AOB=45 °,P 是AOB 内一点, PO=10 ,Q 、 求PQR 周长的最小值OB=OA=2 , BOD=60 。 .在R
10、t OBD 中 ,20.如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为( -2 ,0),连结 0A ,将线段 OA 绕原点 O 顺时 针旋转 120 。,得到线段 OB.(1 )求点 B 的坐标;(2 )求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式;(3)在( 2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使BOC 的周长最小?若存在,求出点 C的坐标;若不存在,请说明理由 .(注意:本题中的结果均保留根号)解:(1 )过点 B 作 BD x轴于点 D,由已知可得:解得: a 33,b 233,c0.所求抛物线解析式为 yx x.ODB=90 。,OBD=30 。.OD=1 , DB= 3 点B的坐标是( 1,
11、3).(2 )设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx c ,由已知可得: c0a b c 34a 2b c 033由 y 3 x2 2 3 x 配方后得:3)存在.抛物线的对称轴为 x= 1.也写用顶点坐标公式求出) OB=2 ,要使BOC 的周长最小,必须 BC+CO 最小 .点O与点A关于直线 x = 1对称,有 CO=CA. BOC 的周长 =OB+BC+CO=OB+BC+CA.当A 、C、B 三点共线,即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时, BC+CA 最小,此时BOC 的周长最小 .设直线 AB 的解析式为 ykx b,则有 :k b 32k b 0解得: k 3 ,b
12、3直线AB 的解析式为 y 33 x 233.当 x= 1 时, y 33.所求点 C 的坐标为( 1, 33 )21 、如图,抛物线 y ax2bx c 的顶点 P 的坐标为 1,4 3 ,交 x 轴于 A 、B 两点,交 y3轴于点 C(0, 3) (1 )求抛物线的表达式(2 )把ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180 °,得到四边形ADBC 判断四边形 ADBC 的形状,并说明理由(3 )试问在线段 AC 上是否存在一点 F,使得FBD 的周长最小, 若存在,请写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由x解:(1 )由题意知3解得 a 33 ,b233列出方程组给分,解出给
13、 2 分)233 x 3 0 ,抛物线的解析式为 y 33 x2 233 x32)设点 A( x1,0),B( x2 ,0),则 33 x2解得 x1 1, x2 3OA1,OB3又tan OCB |OOCB| 3OCB 60 °,同理可求OCA 30 °ACB 90 ° 6 分由旋转性质可知 ACBD ,BCAD四边形 ADBC 是平行四边形 7分又ACB 90 °四边形ADBC 是矩形 8分 (3)延长 BC 至 N,使 CN CB 假设存在一点 F,使FBD 的周长最小即 FD FB DB 最小DB 固定长只要 FD+FB 最小又CABNFD+FB
14、FD+FN 当N、F、D 在一条直线上时, FD+FB 最小 10 分1又C 为 BN 的中点,FC 1 AC (即 F 为 AC 的中点)又A(1,0),C(0, 3) 点 F的坐标为 F( 1, 3 )22 存在这样的点 F( 1 , 3 ),使得FBD 的周长最小 -12 分221 1 222. 已知:直线 y x 1与 y轴交于 A,与 x轴交于 D,抛物线 y x2 bx c与直线交于 22A 、E两点,与 x轴交于 B、C 两点,且 B 点坐标为 (1,0)(1 )求抛物线的解析式;(2)动点 P 在 x轴上移动,当PAE 是直角三角形且以 P 为直角顶点时,求点 P 的坐标 (3 )在抛物线的对称轴上找一点 M ,使| AM MC |的值最大,求出点 M 的坐标答案:(1)将 A(0,1)、B(1,0)坐标代入 y 1x2 bx c得 21c10 b c2解得 bc13分16分抛物线的解折式为 y 12 x2 23 x 1132)设点 E的横坐标为 m ,则它的纵坐标为 1 m2 3 m 1,22123则 E( m , m2 m 1 )22又点E在直线 y 1 x 1上,1 m2 3m 12 2 2解得 m1 0 (舍去), m2 4 E 的坐标为( 4,3)过E作EF x轴于F ,设P(b,0) 由 OPA FPE 90
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