量子比特的含义、特性

1、关于量子比特的含义、特性、实现及各种操作一绪论2二 量子比特的基本概念22.1 经典比特22.2 量子比特定义与表示32.2.1 基本量子比特32.2.2 复合量子比特42.2.3 多进制量子比特52.3 量子比特的实现5三量子比特特性63.1.量子比特的数学特性63.2.量子比特的物理特性73.2.1 叠加性和相干性73.2.2 量子测不准性93.2.3 不可克隆性103.2.4 非正交态的不可区分性123.2.5 量子纠缠性133.2.6 量子互补性15四量子比特的变换164.1量子逻辑门.164.1.1 单量子比特逻辑门164.1.2 多量子比特逻辑运算194.2量子线路22五 量子比特

2、信息的测度235. 1 经典香农熵235.2 量子冯诺依曼熵245.3 量子保真度265.4 可获得的最大信息27六量子寄存器276.1量子寄存器的存储286.2 量子寄存器量子态的测量30七量子比特的存储31八量子比特的制备328.1光场量子比特的制备328.2 多原子最大纠缠比特的制备338.3、囚禁离子质心运动量子比特的制备34参考文献35一绪论1983年，Stephen wiesner在他量子货币的提案中第一次引入了量子比特的概念。而“量子比特”这个术语的问世应归功于Benjamin schumacher，在他论文的致谢辞中，schumacher表示术语“量子比特”是他在同Willia

3、m wootters的一次谈话时提出的，只是因为它同古代的一种长度测量单位腕尺（cubit）的发音相似。在量子计算中，作为量子信息单位的是量子比特，量子比特与经典比特相似，只是增加了物理原子的量子特性。量子计算机的物理结构是纠缠态原子自身的有序排列，量子比特在系统中表示状态记忆和纠缠态。量子计算是通过对具有量子算法的量子比特系统进行初始化而实现的，这里的初始化指的是把系统制备成纠缠态的一些先进的物理过程。在两态的量子力学系统中量子比特用量子态来描述，这个系统在形式上与复数范围内的二维矢量空间相同。两态量子力学系统的例子是单光子的偏振，这里的两个状态分别是垂直偏振光和水平偏振光。在经典力学系统中

4、，一个比特的状态是唯一的，而量子力学允许量子比特是同一时刻两个状态的叠加，这是量子计算的基本性质。本文将会首先阐述量子比特的基本概念，提出量子比特的几种实现方法，着重介绍量子比特的特性尤其是其物理特性，之后我们会研究对量子比特实施的几个重要的操作，最后提出了几种量子比特的制备方法。二 量子比特的基本概念信息、物质和能量被认为是构成一切系统的三大要素王育民 2005。信息是一种抽象的、承载于具体消息之中的东西。信息是无形的，但大多可以定量描述，它与具体信宿的接收消息空间有关。信息的产生、传送、接收、处理和存贮等都离不开物质的运动，但它不是物质运动本身，而是借助于物质运动传递系统状态和变化的不确定

5、性王育民 2005。在经典领域，信息的衡量和研究主要是基于Shannon提出的信息量定义，其单位为比特（bit），所以我们用经典比特表示经典通信系统和研究方法中对信息的表示，而用量子比特表示包含量子特性的量子通信和研究方法中对信息的表示。2.1 经典比特由前述可知，信息的一个基本特征是不确定性，即接收方不知道发送方发给自己消息的内容。因此，对信息的描述和衡量需要概率论和随机过程理论。Shannon首先将概率统计中的观点和方法引入到通信理论中，给出了信息量的定义，若消息的概率分布为，该消息携带的信息量为 （3-1）其单位为比特（bit）。也可定义为奈特（nat），将（3.1.1）中对数的底数换为

6、e即可。二者的关系为：1 nat=1.44 bit,1 bit=0.693 nat。例如当符号“0”和“1”出现的概率均为1/2时，则每一个符号携带的信息量为，可见，符号“0”和“1”等概时，其携带的信息量均为1比特。若符号“0”出现的概率为1/4，符号1 出现的概率为3/4 时，符号0和1所携带的信息量分别为，。在物理上，符号“0”和“1”可以用不同的物理信号来表示，如电压的高低、信号的有无、脉冲的强弱等，不同的物理信号有不同的特性，因而在不同的通信系统中这两个状态有不同的物理描述。但是一个经典的二进制比特在某个时刻只能处在一种可能的状态，即要么处在0 态上，要么处在1 态上，这是由经典物理

7、的决定论所决定的。2.2 量子比特定义与表示参照Shannon信息论中比特描述信号可能状态的特征，量子信息中引入了“量子比特”的概念。量子比特的英文名字为quantum bit，简写为qubit或qbit。从物理上来说量子比特就是量子态，因此，量子比特具有量子态的属性。由于量子态的独特量子属性，量子比特具有许多不同于经典比特的特征，这是量子信息科学的基本特征之一。目前，量子比特还没有一个明确的定义，不同的研究者采用不同的表达方式，例如，从物理学的角度，人们习惯于根据量子态的特性称为量子比特（qubit或qbit）、纠缠比特（ebit）、三重比特（tribit）、多重比特（multibit）和经

8、典比特（cbit）等等。这种方式让人眼花缭乱，并且对量子比特的描述要根据具体的物理特性来描述。为了避免这些问题的困扰，这里从信息论的角度对量子比特做出统一的描述。 2.2.1 基本量子比特这里给出量子比特的表示方法：若二维Hilbert空间的基矢为和，则量子比特可表示为 （3-2）式（3-2）中和为复数，且。可见，从第二章介绍的理论可知，量子比特既可能处于态，也可能处于 态，还可能处于这两个态的叠加态，其中以概率处于状态 ，以概率处于状态。要想获得准确结果必须测量该量子比特。对于确定的量子比特，和的值是确定的，例如当时，对应的量子比特，此时量子系统处于状态和的概率均为50%。由线性代数可知，H

9、ilbert 空间的基矢不唯一，一个量子比特也可以用不同的基矢表示，并且这种基矢有无穷多组。在不同的基中同一个量子比特的表示形式可以有所不同，如定义基矢和分别为， 。容易验证（为狄拉克符号，），即和是正交归一的，因此它们可以作为Hilbert 空间的一组基矢，以这组基矢也可表示量子比特： （3-3）2.2.2 复合量子比特上述定义的量子比特，也可称为简单量子比特（single qubit）。也可定义高阶量子比特，对应于多重量子态。高阶量子比特也可称为复合量子比特Zeng 。其一般表示形式为 （3-6）n 量子位复合量子比特可表示为项之和。复合量子比特可对应于直积态或纠缠态，若两个粒子的状态可分

10、，则这种状态为直积态，如（3-7）若两个粒子的状态不可分，则这种状态称为纠缠态，如（3-8）纠缠系统构成的复合基量子比特中，最简单的是双基量子比特，其中，四个Bell态是典型而常用的双基量子比特，它们在量子通信和量子计算中起着重要的作用。四个Bell 态是：Bell 态是Clauser 等人提出的Bell 算符的本征态，其中 为单重态，其它为三重态。容易验证，它们构成一组正交归一基。此外，三基量子比特Green-Horne-Zeilinger(GHZ)三重态也常用于量子通信的协议和实验中，它有3 2 种可能的状态，其中常用的状态为 （3-9）2.2.3 多进制量子比特除了简单量子比特和复合量子

11、比特外，量子通信中还常用的一种称为多进制量子比特，这与经典通信中的多进制编码的字符相对应，如q进制单基量子比特可表示为 （3-10）其中. 一个3进制量子比特可表示为 （3-11）也可定义q进制复合基量子比特，如三进制双基量子比特可以表示为 （3-12）式中，上标“3”表示3进制，下标“2”表示双基。2.3 量子比特的实现目前，量子信息和量子计算实验研究中，用到的量子比特实现方法各种各样。归纳起来，承载量子比特的物理实体有光子、光学相干态、电子、原子核、光学栅格、约瑟夫结、单个充电的量子点对和量子点。其中对光子而言，可用偏振态、光脉冲中的光子数和光子出现的时间来表示量子比特和；对于光学相干态，

12、可用其不同分量表示不同量子比特；对于电子，可用其自旋方向或电子的有无来表征量子比特；对于原子核，可采用不同的核自旋方向表示不同的量子态；对于光学栅格，可采用原子的自旋方向表示量子比特；对于约瑟森夫结，可采用超导量子岛（island）是否带电、超导流（flux）的电流方向或超导相位（基态/激发态）来表示量子比特；对于单个充电的量子点，可用电子的位置表示量子比特；对于量子点，可用量子点的自旋方向表示量子比特。汇总起来，如表3.1所示。表 3.1 量子比特的物理实现物理实体属性光子光子的偏振水平偏振垂直偏振光脉冲的光子数无光子（真空态）单个光子光子的出现时间无延时（相对于时钟）有延时（相对于时钟）光

13、学相干态压缩光场的光学分量幅度压缩态相位压缩态电子电子自旋自旋向上自旋向下电子数目无电子单个电子原子核核自旋自旋向上自旋向下光学栅格原子自旋自旋向上自旋向下约瑟夫森结超导带电量子比特Uncharged superconducting island (Q=0)Charged superconducting island (Q=2e, one extra Cooper pair)超导 恒流量子比特顺时针方向电流反时针方向电流超导相位量子比特基态第一激发态单个充电的量子点对电子的位置电子在左边点上电子在右边点上量子点量子点自旋自旋向上自旋向下离子阱微波共振腔三量子比特特性3.1.量子比特的数学特性量

14、子比特也可以用图形来表示，式（3-2）可改写为 （3-4）式中， 均为实数, 是相因子，不具任何可观测效应，因此上式可简写为 （3-5）可以验证，上式中的参数定义了三维单位球面上的一个点，这个三维单位球面称为Bloch球，如图3.1所示。可知，球面上的每一个点代表二维Hilbert 空间中的一个矢量，即一个基本量子比特。如图3.1所示。图 3.1 量子比特的Bloch球表示Bloch 球为量子比特的数学意义提供了一个可视化的解释：量子比特的基矢是球的两极，而任意量子比特是Bloch 球上的一个几何点，该几何点与Z 轴间的夹角为 ，而该几何点在XY 平面上的投影与X 轴间的夹角为 。图中画出了几

15、个特殊的量子比特对应的几何点，容易算出这些几何点（量子比特）所对应的参数和 的值。如，时，位于球面顶部。时，位于球面底部。Bloch 球在量子计算中起着重要的作用，常常作为测试量子通信和量子计算新思想的一个有效工具。Bloch 球只能描述基本量子比特，对复合量子比特和多进制量子比特的描述显得无能为力，原因是复合基量子比特和多进制量子比特无法用三维空间表示。不过，数学上任意量子比特可表示为 （3.3.3）式中为单位矩阵， 为Paui 矩阵，为参数。3.2.量子比特的物理特性除了上一节提到的数学性质外，量子比特还具有丰富的物理性质，这些物理性质构成了量子密码和量子保密通信的基础。下面介绍量子比特的

16、几个主要物理性质，包括叠加性、测不准性、不可克隆性、不可区分性、纠缠性、互不性、相干性等。3.2.1 叠加性和相干性由于每一个量子比特对应于一个量子态，量子比特也满足叠加原理，具有相干性。量子比特的叠加性表现在对量子比特尤其是对复合量子比特的存贮和运算大大提高了信息存贮和处理的效率，这一点我们可回顾一下第二章对量子力学基本假设的介绍。对于（3-2）式所表示的量子比特，量子叠加性就是说量子比特既可能处在态，也可能处在态，或者其叠加态，观测到的结果由测量算子决定，以概率处于状态，以概率处于状态。例如，设用水平偏振的光子代表，垂直方向偏振的光子代表，对于式（3-2）表示的量子态，若用沿水平方向的偏振

17、片测量该光子的状态，测量的结果可能是，即光子通过偏振片，也可能是，即光子不通过偏振片，两者概率均为50%。但是，经测量后只可能有一个测量结果，即光子要么通过，要么不通过。同样，纠缠比特也具有量子叠加性，要获得最终结果，同样需要测量。如果测量算符为Q，其本征态为，本征值为，则有 (3-32)任意量子比特可按Q 的本征态展开 （3-33）由以上两式可得其中c为某一常数。可见，不是算子Q的本征态。如果令是测量算符的本征态，对应的本征值为，即 （3-34）因为是一组正交规一基，具有线性独立性，张成一个线性空间。但是，与不能正交归一，因此，它们不能同时是和的本征态，所以和 不对易，即 （3-35）于是，

18、和不可同时测量。这样，以为测量算符对应的测量基测量和以为测量算符对应的测量基测量得出的结果不同，即测不准性。量子比特的不可精确测量性是由海森堡测不准原理所决定的，这种性质在量子通信中起着重要的基础作用。量子比特的相干性是指量子比特保持其原始叠加态的能力尹浩 2006。量子比特在传递过程中，由于信道的噪声（参见第四章）导致相干性减弱，或完全退相干。而量子通信是建立在相干性基础上的，如相位调制的光纤QKD系统靠干涉进行测量。因此保持或恢复量子比特的相干性是量子信道的一个重要命题。3.2.2 量子测不准性由于量子比特的叠加性，要获得关于量子比特的最终结果必须测量该量子比特。测量中能否精确地获得该量子

19、比特的有关信息依赖于该量子比特是否是测量所对应的算符的本征态。选定测量算符 ，设该算符的本征态为，则任意量子比特 可按的本征态展开， （3.4.3）令是测量算符 的本征态，即 （3.4.4）因为 是一组正交规一基，具有线性独立性，张成一个线性空间。但是，由(3.4.3)式可知与不能正交归一，因此，它们不能同时是和 的本征态，所以 和 不对易，即（3.4.5）于是， 和不可同时测量。这样，以 为测量算符对应的测量基测量 和以 为测量算符对应的测量基测量 得出的结果不同，即测不准性。考虑一个例子，在基本量子比特的一般表达式(3.2.1)中，量子比特可能处于0 态，也可能处于1 态，对应的概率分别为

20、和 ，另外，根据叠加原理该量子比特还可以处于这两个态的线性态 ，但无法知道该量子比特具体处于哪一个状态，要获得确定的结果必须测量该量子比特。而量子测量与测量基（即测量坐标系）的选取有关，若测量基选得不合适，测量不能给出精确结果。在图3.2中，二维Hilbert空间中的一个任意量子比特 可表示为以基矢 和为坐标系的Hilbert空间中的一个矢量。于是，以基矢和构成的测量基和对 测量，得到的结果要么为 要么为 ，但不能完全确定 ，因为量子比特 的振幅能完全确定，但相位完全不确定（振幅与相位是一对测不准量），因而不能完全确定该量子比特。但是，如果以为测量基测量量子比特 （见图3.2），图3.2 量子

21、比特的测不准性则该量子比特是完全确定的，因为这种情况下量子比特可表示为 。之所以量子比特 在中能完全测定而在中不能确定，是因为该量子比特的相位和振幅在中是确定的而在中是不确定的，根据量子力学的测不准原理，在中量子比特 的相位和振幅不能同时精确测定，因而无法精确测定该量子比特。量子比特的不可精确测量性是由测不准原理所决定的。值得指出的是，量子比特的这种特性使得量子比特和经典比特的性质完全不同。对于经典比特，任何条件下的经典比特都能被精确测定，而对于量子比特，若测量基矢不合适（当量子比特不是测量算符的本征态时），不可能对该量子比特获取精确的信息。这种性质在量子计算中造成一定的困难，但在量子保密通信

22、中起着基础而重要的作用。3.2.3 不可克隆性克隆（clone）是遗传学上的术语，是指来自同一个祖先、经过无性繁殖所产生相同的分子(DNA、RNA)、细胞的群体或遗传学上相同生物个体。能否克隆出一个与未知量子比特完全相同的新量子比特，而且同时不破坏原来的量子比特？1982年Wootters和Zurek在Nature上发表了一篇题为“单量子态不可克隆”的论文，提出了著名的量子不可克隆定理Wootters 1982。定理3.1：在量子力学中，一般情况下未知量子态不可能被克隆。下面我们看这个定理的简单证明Desurvire 2009。证明：给定系统A，处于任意态，另外一个系统B，任意一个纯态，如果通

23、过酉算子U将复制到，即 （3-36）如果存在这样一个克隆算子U，那个对系统A中的另一个态（有）也可以复制到系统B中，即 （3-37）由于上述变换是线性的，则对系统A中的任意态（是复数）也有： （3-38）将上式中的用的线性组合表示，则式（3-38）左边可写为有 （3-39）式（3-38）右边可写为 （3-40）将（3-39）和（3-40）代入（3-38）有 （3-41）由于是纯态，要使（3-41）成立，需使，所以或。也就是说，如果存在一个算子U可以克隆，但是该算子不能克隆其线性组合。也就是说，一般情况下未知量子态不能被克隆。 如果两个量子态正交的话，则它可以用同一酉演化过程克隆；反过来就是说非

24、正交量子态不可克隆。定理3.2：如果克隆过程可表示成一幺正演化，只有两个态相互正交时，它们才可以被相同的物理过程克隆，亦即非正交量子态不可克隆。证明：设有任意两个量子态和可以通过U算子克隆，即 （3-42） （3-43）取上面两个方程的内积，并考虑幺正算符U 的特性，对纯态，有，有 （3-44） （3-45）上式有两个可能的解：或，即或者。即这两个特殊的量子态要么相等，要么正交。3.2.4 非正交态的不可区分性如果两个量子比特和（归一化向量）的内积则称这两个比特正交，如果，则称这两个量子比特非正交。定义量子比特和的不可区分度D为zeng 2010 （3-46）其中是两个量子比特的夹角，。如果两

25、个量子比特是正交的，则它们是可区分的；如果量子比特非正交，则称它们是不可区分的。区分任意两个非正交量子比特是量子信息中的重要命题。目前已出现多种近似区分任意两个非正交量子比特的方法，大多是基于POVM测量，这里给出两种方法：Bennett方法和Ekert方法Zeng 2010。（1）Bennett方法Bennett方法选取两个投影算子 (3-47) (3-48)对量子比特进行测量，获得正确结果的概率为 (3-49)则获得错误结果的概率为 (3-50)可见，对非正交量子态，测量结果错误概率大于。（2）Ekert方法Ekert方法构造的算子为 (3-51) (3-52) (3-53)式中表示非确定

26、性算符。利用这些测量算子对量子比特进行操作，获得非确定性结果的概率 (3-54)即表明非正交量子比特是不可区分的。3.2.5 量子纠缠性本章第2节介绍了复合基量子比特，它可以表示成(3.2.5)式的形式。复合基量子比特中有一类特殊的量子比特纠缠比特。从物理意义上来说，纠缠比特中的n个单基对应n个“系统”（这里n个“系统”指n个粒子或同一个粒子的n个状态），因此，在纠缠比特的情况下（3.2.5）式的物理意义是：n个系统通过（3.2.5）式的方式纠集在一起而构成一个总体。量子信息和量子力学中称量子比特的这种性质为纠缠性，具有纠缠性的量子比特称为纠缠比特或纠缠态。 纠 缠比特是量子计算的基础，但不是

27、量子通信的基础，却发挥重要作用。纠缠量子比特具有一个重要性质关联性，下面以量子信息中常用的2粒子系统和3粒子系统中的EPR纠缠比特和GHZ纠缠比特为例说明这种独特的性质。两个粒子组成的纠缠量子比特中最为典型的是EPR纠缠对，EPR纠缠对可用下面的形式表示，（3.4.22）其中脚标“1”和“2”对应于两个粒子。这个系统的特征是：当粒子“1”处于状态 时，粒子“2”也必定处于状态 ，而当粒子“1”处于状态 时，粒子“2”也必定处于状态 ，其概率均为50%。因此在对粒子“1”和“2”的测量过程中，若测得粒子“1”得结果是（或）态，即使没有测量粒子“2”也可以断定该粒子状态必定为 （或 ）态，而不管两

28、个粒子相距多远。但是，一旦这个系统被测量，两粒子间的纠缠特性不复存在。 上面介绍的是两个粒子处于相同状态的情况，这种情况下两个粒子称为是相干的。另外也存在反相干的纠缠量子比特。例如下面纠缠比特的纠缠性，（3.4.23）实验上已能制备纠缠量子比特。在光学参量下转换过程中，一个入射到适当非线性光学材料的泵浦光子会同时产生出一对光子(称为孪生光子对)，在型参量过程中，这两个光子具有相同的频率但其偏振态彼此正交。因此，使用型参量下转换非线性光学过程，其中所产生的自发辐射孪生光子对即为EPR粒子对，它可表示为(3.4.23)的形式。这种情况下 和 表示光子的两个相互正交的光子偏振态。例如,假设光子的极化

29、是线偏振型的, 对其进行测量时, 若一个是水平方向, 则另一个是垂直方向, 因此记录的时侯,一方(如Alice)记录为水平方向,另一方(Bob)记录必为垂直方向, 反之亦然。如前所述，GHZ 三重态是一个典型的三粒子纠缠系统，这种纠缠比特具有如下的特征和性质：定理3.3 以共轭子空间表示的GHZ 三重态中，已知其中两个粒子的态，在该GHZ 三重态未与其它任何粒子相互作用时，一定能知道第三个粒子的状态。证明：GHZ三重态可表示为如下形式（3.4.24）式中脚标1,2,3分别代表三个粒子。定义两个本征态 , ，用基矢 , 表示为如下形式，注意到 ， GHZ三重纠缠态可表示为 (3.4.25)上式说

30、明可根据对粒子1和2的测量基来判定粒子3的测量结果，例如，若沿+x方向测量粒子1和2，则粒子3的量子态为；若分别沿+x和-x方向测量粒子1和2，则粒子3的量子态为。类似(3.4.25)式的推导，可以得出其它情况下的关联性，如下表所列，表3.1 GHZ三重态中三粒子的相干性 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）由表3.1可见,联合粒子1和2的测量结果可以确定粒子3的量子态。定理3.4 以共轭子空间表示的GHZ 三重态中，已知其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态，但可以知道两个粒子的量子态是否相同。证明：不失一般性，设GHZ三重态中第

31、三个粒子被测量而被人知道其状态。因为对GHZ三重态中的任意一个粒子测量或后，三粒子纠缠被解除，但未被操作的另外两个粒子构成两粒子纠缠系统，其可能的取值有四个： (3.4.26) (3.4.27) (3.4.28) (3.4.29)式(3.4.26-29)表明，GHZ纠缠比特坍塌后的两粒子纠缠系统的状态是不确定的，其状态取上述四个态中任意一个态的概率相同。即使两粒子系统的纠缠状态确定（假设取 态），两粒子系统中每一个粒子的状态仍然是不确定的，因为粒子1可以处在 态，也可以处在 ，其概率各占1/2。因此，在GHZ三重态中，已知其中一个粒子的态，在没有辅助量子比特的情况下，不能判定另外两个粒子的状态

32、。但可以知道两个粒子的量子态是否相同，从表1中可知这一结论。3.2.6 量子互补性共轭性是量子比特的另一个基本属性。下面以光子的偏振来说明量子比特的共轭性。每个光子都有一个偏振方向, 其偏振方向即是电场的振荡方向。在量子密码学中用到光子的线偏振和圆偏振两种光子偏振, 其中线偏振可取两个方向: 水平方向和垂直方向; 圆偏振包括左旋和右旋两种情况。在量子力学中, 光子的线偏振和圆偏振是一对共轭量,也就是说,光子的线偏振态与圆偏振态是不可同时测量的。值得说明的是, 在同一种偏振态下的两个不同的方向是可完全区分的, 例如, 在线偏振态中的水平方向和垂直方向是可完全区分的，在圆偏振中取两个垂直方向如和也

33、是完全可区分的。实际上任意的正交量子态都是可区分的，因而可同时测量，但任何两个非正交态是不可区分的。在对光子的偏振态进行测量时, 可用晶片来测量光子的偏振方向。如果用于测量用的晶片(体)的轴与光子的偏振方向平行,光子能够完全通过,否则完全不能通过;如果光子的偏振方向与晶轴成一定的夹角 , 则在与晶轴平行的方向有光子的偏振态以一定的几率出现,即光子的偏振态发生改变。用量子力学中Dirac算符来表示光子，两个线偏振光子态0 、 , 其中前者表示水平方向，后者表示垂直方向，在圆偏振光子态中取两个方向、，这两个态可用光子线偏振态表示 (3.4.30) (3.4.31)如果晶轴的方向与光子线偏振态的方向

34、相同，则当所测量的光子是0 、 中任意一个时，晶片能精确测出光子态，光子能完全通过。当所测量的光子是 / 4 、中任意一个时，晶片不能精确测量光子态，因为光子被测成0 态和 态的几率各为一半，这实际上是由测不准原理所决定。光子的一对共轭偏振态是互补的,正是这一本质特征为BB84协议提供了实现的物理基础。四量子比特的变换在一个量子系统中，经常会涉及到对量子比特的变换，包括对单个量子比特的变换和对多个量子比特的变换。在量子力学中，一种变换对应一个量子力学算符，而在量子信息领域中，一种变换就是一个量子逻辑门。下面介绍几种典型的量子逻辑门和它们组成的简单量子线路的原理。4.1量子逻辑门.量子比特逻辑门

35、是构成量子器件及量子逻辑运算单元的基本单位，广泛应用于量子计算、量子编码、量子通信和量子信息处理中。本节介绍单量子比特逻辑门和多量子比特逻辑门。4.1.1 单量子比特逻辑门单量子比特逻辑门包括Pauli-X门、Pauli-Y门、Pauli-Z门、量子Hadamard门、相位门和门。下面分别讲述。1.Pauli-X门Pauli-X门又称为量子非门，简称X门，其将量子比特中的状态和交换，即把状态 变为。若用矩阵表示这一变换，对应于Pauli-X矩阵，这里用X表示该变换矩阵 (3-13 )若把量子态写成向量形式，则量子非门的输出为 （3-14）2.Pauli-Y门Pauli-Y门（简称Y门）即对量子

36、比特施行Pauli-Y矩阵（算子）运算，用Y表示该算子，即 (3-15)若把量子态写成向量形式，则Pauli-Y门的输出为 （3-16）3.Pauli-Z门Pauli-Z门（简称Z门）即对量子比特施行Pauli-Z矩阵（算子）运算，用Z表示该算子，即 （3-17） 若把量子态写成向量形式，则Pauli-Z门的输出为 （3-18）在二维坐标平面看的话，Z门的结果是将量子比特进行旋转。4.量子Hadamard门量子Hadamard门，简称H门。其变换矩阵H为 (3-19)若把量子态写成向量形式，则H门的输出为 (3-20)可见，H门是将以和为基矢的Hilbert空间转化为以和为基矢的Hilbert

37、空间。由于，可见对量子比特连续进行两次H门变换相当于没有进行任何逻辑运算。5.相位门我们先定义相移门（phase shift gate），对应的矩阵为 （3-21）若把量子态写成向量形式，则门的输出为 （3-22）可见，门不改变基矢，将基矢映射为，等效于在Bloch球面上水平旋转度。当时，相移门称作相位门，变换矩阵S为 （3-23）S门等效于在Bloch球面上将量子比特水平旋转90度。6. 门相位门中，当时，称作门，其变换矩阵T可写为 （3-24）量子比特经过T门后，输出为 （3-25）在Bloch球面上相当于绕水平面上旋转45度。上述但量子比特逻辑门对应的矩阵均为酉矩阵。虽然存在无穷多个2&

38、#215;2酉矩阵,但是任一单量子比特酉门都可以分解成一个旋转运算和绕轴旋转的门再加上一个全局相移的乘积,即Neilsen 2000 （3-26）其中, ,和是实数。其中，第二个矩阵是普通的旋转，第一和最后一个矩阵为在不同平面内的旋转。通过该分解可精确描述任意单量子比特逻辑门的操作。4.1.2 多量子比特逻辑运算多量子比特量子逻辑门有很多种，如受控非(controlled-NOT，简写为CNOT)门、交换门（swap gate）、受控U门、Toffoli门和Fredkin门Neilsen 2000。1.受控非(CNOT)门CNOT门为两量子比特门，当第一个量子比特（称为控制量子比特）为时，对第

39、二个比特（称为目标量子比特）执行非操作，否则维持不变。其对应的变换矩阵为 （3-27）CNOT门的线路示意图如图3.2所示。图3.2 CNOT门受控非门可以表示为如下映射：，其中是模2加法，2.交换门交换门实现两个输入量子比特的互换，其线路符号如图3.3(a)所示。交换门的变换矩阵可写为： （3-28） (a) SWAP门的线路符号 (b)用CNOT门构建SWAP门 图3.3 SWAP门 交换门可由CNOT门构成，如图3.3(b)所示。设输入态为，可用映射关系来分析： 可见，该线路能实现两个量子比特的交换。3.受控U门受控U门的输入有两个量子比特，如图3.4所示。图3.4 受控U门第一个量子比

40、特是控制比特，其对输入的映射关系为受控U门对应的矩阵为 （3-29）例如U门可以三个Pauli算子X、Y、Z，则可称为受控X门、受控Y门和受控Z门。4.Toffoli门Toffoli门也叫CCNOT(controlled-controlled-not)门，如图3.5所示，与CNOT门相比，它有两个量子比特的控制端。图3.5 Toffoli门的线路示意图Toffoli门是一个3量子比特门。如果前两个量子比特均为时，对第三个量子比特执行Pauli-X门操作。其真值表如表3.2所示。 INPUTOUTPUT0 0 0 0 0 0 00100

41、1010010011011100100101101110111111110Toffoli门也可表示为如下映射： (3-30)5.Fredkin门Fredkin门也称为受控置换（Controlled SWAP, CSWAP)门，是一个3量子比特门，如图3.6所示。图3.6 Fredkin门的线路图其真值表如表3. 所示。表 Fredkin门的真值表INPUTOUTPUTCI1I2CO1O20 0 0 0 0 0 001001010010011011100100101110110101111111Fredkin门也可以表示为如下的映射：&

42、#224; (3-31)4.2量子线路量子线路是指由用量子线（简称“线”）将各种量子门连结起来而组成的系统。显然，在量子线路中，量子线与量子门是两种基本的组成部分。与电子线路相比较，这里的“线”具有不同的含义。量子线不一定是一根实物线，它代表的是量子比特的时间或空间演化过程。例如，一个光子从光纤的A点传输到B点，或者从时刻t1到t2的过程都对应着一根量子线。因此，任意量子比特从一个时刻到另一个时刻所经历的过程，或者，量子比特从空间中的一个点到另一个点所经历的过程都可视为一根“量子线”。由于运动和时间的方向性，量子线也是有方向的，这是区别于电子线路中“实物线”的关键所在。根据量子线的上述定义，量

43、子线路具有如下特点：1）量子线路中不能有回路(loop)，即量子线路是非循环的。这意味着在量子线路中反馈是不存在的，因为反馈意味着时间的倒流。2）量子线路中无多端输入和输出。具体来说，量子线路中不能有多根输入线并入一根输出线，也不能有一个输入线分开成多根输出线的情况。这个特点是由量子操作的幺正性决定的。显然，量子线路的上述特点与电子线路是完全不一致的。这正是量子线路区别于电子线路之处，这些特点导致了量子线路具有不同于电子线路的特点、属性和功能。由量子线路可以构造出一些新的量子门，这种量子逻辑门称为复合量子门。下面介绍的量子交换门即为复合量子门中的一个典型例子。交换门即SWAP门，如图5.7为量

44、子交换门和它的量子线路图。从图5.7（a）容易知道，这种量子门由三个 门组成，但中间的量子控制非门与前后两个的方向恰好相反。三个量子控制非门的这种组合构成一个SWAP门，如图5.7(b)所示。SWAP门的作用是将两个量子比特的状态互相交换，如图5.7所示。在上面的量子线中输入的量子比特为，下面的量子线的输入为，图5.7 SWAP门但是它们的输出则恰好相反，即上面的量子线输出 而下面的量子线输出为 ，这个过程可以从下面的计算中更清楚地了解到。 （5.3.25）式中a,b0,1，对于一般形式的输入量子比特，容易验证上面的结果也是成立的。另一个典型的例子是Toffoli门。Toffoli门的作用是用

45、两个控制量子比特来控制一个靶量子比特，它是一个多量子比特门。Toffoli门的内部结构即对应的量子线路图比较复杂，如图5.8所示，但是，容易发现Toffoli门主要由 门、门、门和门构成，这些都是基本的量子门。可以证明，任何复杂的量子门都可分解为这些基本量子门的组合。 图 5.8 Toffoli门 五 量子比特信息的测度本节介绍经典香农熵、量子诺依曼熵、量子保真度和可访问的最大信息。5. 1 经典香农熵如3.1.1节所述，Shannon定义了信息量的概念，即Shannon熵，这里我们介绍离散型随机变量时情形，对于连续型随机变量可以类推。对离散随机变量，且，则X的平均自信息量（即熵）H(X)为 （3-55）这里定义：。若离散随机变量X有两个事件和，且，则X的平均自信息量（熵）为 （3-56）称 为二元熵。其函数曲线如图3.2所示。图3.2 二元熵 的曲线由图3.2可见，当p=0或p=1时，H(X)=0。当0<p<1时，H(X)>0。当p=1/2时，H(X)达到最大值。给定一个二维离散型随机变量,其概率分布为，则X相对于Y的条件熵为 （3-57）X与Y的联合