2013届高中数学二轮总复习 高考仿真试题 理 新课标(湖南专用)

1、2013届高中数学二轮总复习 高考仿真试题 理 新课标(湖南专用)时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设复数z11i，z22bi，若为纯虚数，则实数b( A )A2 B2C1 D.解析：为纯虚数，得2b0，即b2.选A.2.设a，b都是非零向量，若函数f(x)(xab)·(axb)(xR)是偶函数，则必有( C )Aab BabC|a|b| D|a|b|解析：f(x)(xab)·(axb)(a·b)x2(a2b2)xa·b为偶函数，得f(x)f(x)恒成立，

2、故a2b20，即|a|2|b|2，故|a|b|.选C.3.a3是直线ax2y3a0和直线3x(a1)ya7平行的( C )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：当a3时，直线3x2y90和直线3x2y4平行；反之，若两直线平行，则它们的斜率相等，得，解得：a3或a2.但检验知，当a2时，直线2x2y60和直线3x3y9重合故a3是这两直线平行的充要条件4.当a3时，下面的程序段输出的结果是( C )IFa<3THENy2×aELSEya×aPRINT yA6 B7C9 D10解析：该程序揭示的是分段函数y的对应法则选C.5.()8的

3、展开式中常数项为( B )A. B.C. D105解析：Tr1C()8r()rC()rx4r，令4r0r4，故展开式中的常数项为T5C()4.6.设l、m、n表示不同的直线，、表示不同的平面，给出下列4个命题：若ml，且m，则l；若ml，且m，则l；若l，m，n，则lmn；若m，l，n，且n，则ml.其中正确命题的个数是( B )A1 B2C3 D4解析：易知命题正确；在命题的条件下，直线l可能在平面内，故命题为假；在命题的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题中，由n知，n且n，由n及n，m，得nm，同理nl，故ml，命题正确故选B.7.已知数列an的前n项之和Sn2n1，nN*

4、，则a1aaa( C )A2n12 B2n1C2n13 D2n2解析：由Sn2n1a11，当n2时，anSnSn12，从而a1aaa122232n2n13.8.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5,6，若|ab|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( D )A. B.C. D.解析：任意找两人玩这个游戏，共有6×636中猜字结果，其中满足|ab|1的有如下情形：若a1，则b1,2；若a2，则b1,2,3；若a3，则b2,3,4；若a4，则b3,4,5；若a

5、5，则b4,5,6；若a6，则b5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P.第卷非选择题(共110分)二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.若直线3x4ym0与曲线(为参数)没有公共点，则实数m的取值范围是m10或m0.解析：曲线(为参数)的普通方程是(x1)2(y2)21，圆心(1，2)到直线3x4ym0的距离d，令>1，得m>10或m<0. 10.设关于x的不等式|x|x1|<a(aR)若不等式的解集为，则a的取值范围是a1.解析：因为|x|x1

6、|x(x1)|1，所以若不等式|x|x1|a的解集为，则a的取值范围是a1. 11.如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC5，BD10，则1.解析：根据弦切角定理，知BACBDA，ACBDAB，故ABCDBA，则，故AB2BC·BD50，AB5.根据切割线定理，知CA2CB·CF，DA2DB·DE，两式相除，得·(*)由ABCDBA，得，又，由(*)得1.(二)必做题(1216题) 12.某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人为了了解该校教师

7、的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师182人解析：设该校其他教师有x人，则，所以x52，故全校教师共有2610452182人 13.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为100cm2.解析：设实心铁球的半径为R，则R3×102×，得R5，故这个铁球的表面积为S4R2100 cm2. 14.将函数ycosx(>0)的图象向左平移(<<)个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的

8、解析式是ycos(2x).解析：将函数ycosx(>0)的图象向左平移个单位后得ycos(x)，由图知T，从而2.又由1cos(2·2)得k(kZ)，由题知.则平移后的图象所对应函数的解析式是ycos(2x) 15.设平面区域D是由双曲线y21的两条渐近线和抛物线y28x的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)D，则目标函数zxy的最大值为3.解析：双曲线y21的两条渐近线为y±x，抛物线y28x的准线为x2，当直线yxz过点A(1,2)时，zmax3. 16.定义：若对平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合(x，y)|rA，则称A为

9、一个开集，给出下列集合：(x，y)|x2y21；(x，y)|xy20；(x，y)|xy|6；(x，y)|0x2(y)21其中是开集的有.(请写出所有符合条件的序号)解析：下面画图进行判断：显然不存在符号要求的集合(当(x0，y0)在边界上时)，只有正确三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分)已知向量a(1sin2x，sinxcosx)，b(1，sinxcosx)，函数f(x)a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x的的值；(2)若f()，求cos2(2)的值解析： (1)因为a(1sin2x，sinxcosx)，b(1

10、，sinxcosx)，所以f(x)1sin2xsin2xcos2x1sin2xcos2xsin(2x)1.因此，当2x2k，即xk时，f(x)取得最大值1.(2)f()1sin2cos2及f()，得sin2cos2，两边平方得，1sin4，即sin4，因此，cos2(2)cos(4)sin4. 18.(本小题满分12分)某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：yx作品数量实用性1分2分3分4分5分创新性1分131012分107513分21

11、0934分1b60a5分00113(1)求“创新性为4分且实用性为3分”的概率；(2)若“实用性”得分的数学期望为，求a、b的值解析： (1)从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，所以“创新性为4分且实用性为3分”的概率为0.12.(2)由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别为5件，b4件，15件，15件，a8件所以“实用性”得分y的分布列为y12345P又因为“实用性”得分的数学期望为，所以1×2×3×4×5×.因为作品数量共有50件，所以ab3.解得a1，b2. 19.(本小

12、题满分12分)如图，三棱锥PABC的顶点P在圆柱轴线O1O上，底面ABC内接于O，AB为O的直径，且ABC60°，O1OAB4，O1上一点D在平面ABC上的射影E恰为劣弧AC的中点，(1)设三棱锥PABC的体积为，求证：DO平面PAC；(2)若O上恰有一点F满足DF平面PAC，求二面角DACP的余弦值解析： 方法1：(1)连接DE、OE，设OE与AC的交点为G，连接PG，因为ABC内接于O，AB为O的直径，所以ABC为直角三角形，又ABC60°，AB4，故BC2，AC2，SABC2，所以VPABCSABC×PO×2×PO，故PO.因为E是劣弧A

13、C的中点，所以OEAC，OGBC1，又因为DE平面ABC，故DEAC，所以AC平面DEOO1，故DOAC.在矩形DEOO1中，tanPGO，tanDOO1，故PGODOO1，又DOO1DOG90°，故PGODOG90°，所以DOPG，所以DO平面PAC.(2)由(1)知，AC平面DEOO1，所以平面DEOO1平面PAC，因为DF平面PAC，所以DF平面DEOO1，且DFPG，又F在O上，故点F即为点E关于点O的对称点在轴截面内可求得POOG1，所以PG，DG，DP.由AC平面DEOO1，得DGP即为二面角DACP的平面角，在DGP中，由余弦定理可求得cosDGP.方法2：(

14、1)在平面ABC中，过点O作AB的垂线，交弧EC于H，如图建立空间直角坐标系，因为ABC内接于O，AB为O的直径，所以ABC为直角三角形，又ABC60°，AB4，故BC2，AC2，SABC2，所以VPABCSABC×PO×2×PO，故PO.故A(0，2,0)，C(，1,0)，P(0,0，)，D(，1,4)，所以(，3,0)，(0,2，)，(，1,4)所以·0，·0，故ACOD，APOD.又ACAPA，所以DO平面PAC.(2)设点F的坐标为(x，y,0)，故(x，y1，4)因为DF平面PAC，故DFAC，所以x3y0，又因为F点在O上

15、，所以x2y24.解得或(即为点E，舍去)，所以(2，2，4)，设平面DAC的法向量n(x，y，z)，则有，即，取x，则n(，1，)则cosn，由图知DACP的二面角为锐角，所以二面角DACP的余弦值为. 20.(本小题满分13分)已知大西北的荒漠上的A、B两地相距2 km，现准备在荒漠上围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域ACBP建成农场按照规划，围墙的总长为8 km.(1)农场的最大面积能达到多少？(2)又该荒漠上有一条水沟L恰好经过A地，且水沟L与AB成角，tan.现对整个水沟进行加固改造，但对水沟可能被农场围进的部分暂不加固问水沟暂时不加固的部分最长有多长？解析：以AB所在直线为

16、x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系由题设知，A(1,0)，B(1,0)(1)因为围墙的总长为8 km，所以2(|PA|PB|)8，即|PA|PB|4.所以P点的轨迹是椭圆，半长轴长为2，半焦距为1，所以半短轴长为，则椭圆的方程为1.当P点在短轴的端点时，农场的面积最大，最大面积为4 km2.(2)水沟L所在直线的方程为y(x1)，暂时不加固的部分最长时，点P在L上解方程组，得(舍去)或.即点P的坐标为(1，)由两点间的距离公式，得|AP|.所以水沟暂时不加固的部分最长为 km. 21.(本小题满分13分)过直线ym(m为大于0的常数)上一动点Q作x轴的垂线，与抛物线C：

17、yx2相交于点P，抛物线上两点A、B满足2.(1)求证：直线AB与抛物线C在点P处的切线平行，且直线AB恒过定点；(2)是否存在实数m，使得点Q在直线ym上运动时，恒有QAQB，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由解析： (1)设直线AB的方程为ykxb，A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)点Q的坐标为(x0，m)，点P的坐标为(x0，x)所以(x1x0，y1x)，(x2x0，y2x)，(0，xm)，由2得：.(*)联立直线AB和抛物线C方程：， 可得：x2kxb0.故x1x2k，x1x2b，y1y2k(x1x2)2bk22b，y1y2(x1x2)2b2，代入(*)式可得：因为y

18、2x，所以抛物线C在点P处的切线斜率为2x0k，故直线AB与抛物线C在点P处的切线平行因为直线AB的方程为：ykxm，且m为常数，故直线AB恒过定点(0，m)(2)因为(x1x0，y1m)(x1，y1m)，(x2x0，y2m)(x2，y2m)所以·(m)k24m2m，显然当m时，恒有·0.故存在实数m，使得Q点在直线ym上运动时，恒有QAQB. 22.(本小题满分13分)设函数f(x)xlnx(x>0)(1)求函数f(x)的最小值；(2)设F(x)ax2f(x)(aR)，讨论函数F(x)的单调性；(3)斜率为k的直线与曲线yf(x)交于A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1<x2)两点，求证：x1<<x2.解：(1)f