全国高考数学复习微专题：直线与圆位置关系

1、直线与圆位置关系、基础知识:1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标 C a,b ,半径为r ,则圆的标准方程为：2U 22x a y b r3、圆的一般方程：圆方程为 x2 y2 Dx Ey F 0,.、22 . 一 一-(1) x ,y的系数相同(2)方程中无xy项(3)对于D,E, F的取值要求：D2 E2 4F 04、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：(1)几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为 d ,则：当r d时，直线与圆相交当r d时，直线与

2、圆相切当r d时，直线与圆相离(2)代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆0,的方程，再判断解的个数。设直线：Ax By C 0,圆：x2 y2 Dx Ey FAx By C 0x2 y2 Dx Ey F则:消去y可得关于x的一元二次方程，考虑其判别式的符号 00,方程组有两组解，所以直线与圆相交0,方程组有一组解，所以直线与圆相切0,方程组无解，所以直线与圆相离5、直线与圆相交：弦长计算公式： AB 2 AM 242 d26、直线与圆相切：(1)如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径例：已知圆的方程

3、为:x2y24及圆上一点P 1,J3 ,求过P的圆的切线方法一：利用第一条性质:kOP B所以可得切线斜率k切线方程为：y、3 三 x 1 ,整理后可得：x J3y 43方法二：利用第二条性质：设切线方程l为：y J3 kx 1l73 k即 kx y 73 k do i r 2,k 1_23整理可得：3k 2 辰 1 073k 10 解得：k 3l : y 3 x 1 3x y 43(2)圆上点的切线结论：一 2222圆x2 y2 r2上点P x0,y0处的切线方程为x0x y0y r一22 圆 xa y b r2上点 Px0,y0处的切线方程为xax0ayby0b r2（3）过圆外一点的切线

4、方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）7、与圆相关的最值问题（1）已知圆C及圆外一定点 P,设圆C的半径为r则圆上点到P点距离的最小值为 PM PC r,最大值为PN PC r （即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点最短的为与该直径垂(2)已知圆C及圆内一定点P ,则过P点的所有弦中最长的为直径,直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB 24r d2 ,若AB最小，则d要取最大，在圆中 CP为定值，在弦绕P旋转的过程中，d CP ,所以

5、d CP时，AB最小(3)已知圆C和圆外的一条直线1,则圆上点到直线距离的最小值为|PM| de i r ,距离的最大值为|PN de i r(过圆心C作l的垂线，垂足为 P , CP与圆C交于M ,其反向延长线交圆C于N(4)已知圆C和圆外的一条直线l ,则过直线l上的点作圆的切线，切线长的最小值为 PM解：|PM| J|CPr2 ,则若PM最小，则只需 CP最小即可,所以P点为过C作l垂线的垂足时， CP最小过P作圆的切线，则切线长 PM最短8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含(1)可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆O1,O2的半径为r1,r2, Op2 d dr1r2e

6、O1,e O2 外离 dr1r2e O1,e O2 外切 r1 r2 d r1 r2e O1,e O2 相交 drir2eO1,eO2 内切 dr1r2eQ,eO2 内含(2)可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法 直接判定。二、典型例题:例1：已知直线ax y 2 0与圆心为C的圆4相交于A,B两点，且VABC为等边三角形，则实数 a (A 3 八. 3B.C.D.415思路：因为VABC为等边三角形且 C为圆心，所以该三角形的边长为2,由等边三角形的性质可知高为 卮 即C到A

7、B的距离为 邪,由圆方程可得：C 1,a,所以利用点到直线距离公式可得：dC AB、a2,32a3 a2 1 ,解得：a 4 J15答案:2:圆心在曲线上,且与直线2x0相切的面积最小的圆的方程为A.B.C.25D.2125思路：不妨设圆心2 a,a其中a 0半径为r因为直线与圆相切，所以有22a 1a石若圆的面积最小，则半径最小，则r22a 1a1752aa1 而，即a 1rmin方程为：答案:例3:设点m,12O : x2使得OMN30°,则m的取值范围是(A.3, .3B.C.2,2D.思路：由圆的性质可知：圆上一点T ,与M ,0所组成的角 OMT ,当MT与圆相切时,OMT

8、最大。所以若圆上存在点N ,使得 OMN 30°,则 OMT 30°。由M m,10,1,所以在直角三角22和x y 1可知过M且与圆相切的一条直线为y 1,切点T形 OMT 中，tanOMT。口TM|,从而TM、3答案：A例4：设m,n R ,若直线m0与圆2y 11相切，则m n的取值范围是（A.B.,1.3,3,C.2 2,2 2.2D.,22.22 2.2,通过圆方程可知圆心1,1为直线与圆相切，所以dC lmn勾函数“性质可知,2 2.2 Um 12 2,2,2,2,进而由对m 1答案：D小炼有话说：本题由于R,所以对于m21 2不能使用均值不等式，而要通过m 1

9、换元转换为常见函数求得值域例5:若圆x2 y2 4x4y10 0上至少有三个不同的点到直线l : y kx的距离为2近,则直线l斜率的取值范围是思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与k找到联系。通过图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为:2218,即圆心为2,2 ,半径r 3短,作出图像可知若至少有三个不同的点到直线l距离为2J2 ,则圆心到直线的距离应小于等于 无，所以& i 12k 2,即解不等式：-k2 12k 2 2 2 k2 1 ,解得：k 2 石,2 石答案：2 .3,23例6：直线y x m与圆x2uuuu li uuuu uuury1

10、6交于不同的两点 M,N,且MN J310M ON ,其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是（A.22,2 U 2,2 2B.)4.2, 2 2 U 2/2,4 2C.2,2D.2 2,2 2uuuuu uur思路：不妨设MN的中点为A,则可知OM ONuuu2OA ,从而x2 y2 16中，可知 OA为圆心。到MN的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的关系可得22MN|OAr2 16 ，uuuu代入 MNL uuu2 J3 0A可得22J310AOA| 16 ,解得：OA 2,即 dO mnm,22,2,2 ,2答案：D例7：在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C : x2y 3 2 2,

11、点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ的取值范围是（）A. ±,W B. ",2.2 C. *,.万 D. i,2、23333思路：如图设 AC,PQ交于M ,则有 PQ 2PM ,只需确 认PM的范围即可，由圆方程可得 r J2,设 PCM ,所以 PM| PC sinJ2sin ,在 RtVPCA 中，可得：以A x,0 ,因为C 0,3 ，所以 IJT4 f口1PM,V2。 则3sinPMAC2|AP| VACACACAC2x2 9 9,1/AC下面确定AC2的范围。设PQ 2 PM2.14,2 2答案：B2例8：已知圆M : x cos

12、 y（1）对任意实数（2）对任意实数（3）对任意实数2sin 1 ,直线l : y kx下面四个命题:（4）对任意实数k ,必存在实数k与，直线l和圆M相切；k与，直线l和圆M有公共点；,必存在实数k ,使得直线l和圆M相切;,使得直线l和圆M相切.其中真命题的代号是 思路一（代数运算）：四个命题均和直线与圆位置关系相关，所以考虑圆心到直线的距离和半径的大小关系：由圆M方程可知圆心M cos ,sin ，半径为1 ,所以dMkcos sin,k2 1,为了便于计算，不妨比较dM l与1的大小关系，从而有:dM l 1222222kcos sin k 1 k cos 2sin cos k sin

13、 k 1k2 1k2 11 cos2k2 2sin cos k 1 sin22sin k cosk2 1k2 1所以对任意的实数 k,，直线l和圆M有公共点，但不一定相切。故（1）错误（2）正确;2（3） （4）与相切有关，所以考虑 dM l 1,由上式可得：sink cos，从而可得,对于任意的实数，不一定会存在k,使得等式成立。例如 sin0时，不成立；但对cos 1于任意的k,总有k ，使得成立，即直线与圆相切。所以（3）错误，（4）sintan正确，综上所述，正确的是（2） （4）思路二（数形结合）:通过观察 M cos ,sin ,可知 M为单位圆上的点。则必有OM 1 ,又因为e

14、M的半径为1,所以可得e M过原点。而直线l : y kx过定点0,0 ,所以直线与圆必有公共点。（2）正确。因为 0,0在圆上，所以可知若直线与圆相切，则原点为切点，故切线也只有一条。所以（1）错误。对于（3） （4）,通过前面的结论可知对于任意的一个圆 M ,均可过原点作出圆的切线。另一方面通过切线也可确定圆心。所以（4)正确。而(3)忽略了一种情况，当圆心 M位于x轴上时，此时切线为 y轴，虽有切线但斜率不存在，所以不能表示为 y kx的形式。所以(3)错误答案：(2) (4)22例9：:设A(1,0), B(0,1),直线l : y ax,圆C：x a y 1.若圆C既与线段AB又与直

15、线l有公共点，则实数 a的取值范围是 .思路：本题a的取值范围为两个条件的交集。先处理圆C与l有公共点：由圆方程可知圆的2a圆心为a,0，半径r 1,若圆与直线有公共点，则 dC l ,1a4 a2 1,解, a2 1共点，因为该圆半径不变，圆心在x轴上移动，所以可根据a的符号进行分类讨论:显然成立，当 a 0时，由图像可知圆心的最远端为在A的右侧且到 A的距离为1,即0 a 2,当a 0时，可知圆最左端的位置为与线段AB相切的情况，AB: x y 1 0,所以dC AB亚。所以10,综上所述：圆与线段AB例10：已知2,从而ABC的三个顶点 A( 1, 0) , B(1, 0) , C(3,

16、2),其外接圆为圆(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C ,且被圆H截得的弦长为2,求直线l的方程;(3)对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N ,使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围解：(1)思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径(过原点)，所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题 中抓住A 1,0 ,B 1,0 ,关于y轴对称。从而得到圆心在 y轴上，设其坐标为 H 0,y再根据BHCH,即可解出y值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程由ABC外接圆为圆H可得:H在AB

17、垂直平分线上Q A 1,0 ,B 1,0H在y轴上 设H 0,yQ|BH |CH|BH 2 |CH|21 y2 32 y 2 2 ,解得:y 3 H 0,3 r BH Vwe H : x2 y 3 2 10(2)思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过C从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可设 l:y 2 k x3 kx y 2 3k 0由弦长为2和r 闻可得：dH l Jr2 12 33 2 3k|dH l k2 132413k9 k2 1 ,解得：k 34x 3y 6 0当斜率不存在时，l : x3,联立方程:22x y 310x 3弦长为2,符合题意综上所述：l的方程为4x

18、3y 6 0和x 3(3)思路一:(代数方法)由 B,H坐标可求出BH的方程：3x y 3 0,其线段上一点P m,n，设N x,y ,则中点M，由M ,N在圆C上可得(设圆C的半径为r)：x 3 2 y2m x 322 2 r2,则存在M , N即方程组有解。方程组中的2r方程为两个圆22222y 2 r , x m 6 y n 4 4r ,只需两个圆有公共点即可。所以r . 33r ,再由3m n 3 0整理后可得：r2 10m2 12m 10 9r2对任意 m232r0,1恒成立。可得： 5 ,再有线段BH9r2 102222与圆C无公共点，即m 3 n 2 r在m 0,1恒成立。解得：

19、r102 32一 r2 一,即可求得r的范围95解：Q B 1,0 ,H 0,3 BH 的方程为：x y 1 3x y 3 0 3设P m,n Q P在线段BH上3m n 3 0 且 m 0,1 n 3 3m设N x, y Q M为PN中点K1 m x n y m x 3 3m yN ,-,2222设圆C : x 322,一 .iy 2 r2 ,由M, N在圆上可得:222x 3 y 2 r22mx333m y22222x3y2r22xm6y3m 1整理后可得:4r2若M ,N存在，则方程组有解m,3m 1 ,半径为2r的圆有公共点即圆心为C 3,2 ,半径为r的圆与圆心为C' 6根据

20、两圆位置关系可知：2r r CC 2r r ,即：22,I、rj 36m2 3m 1 3r 在 m 0,1 恒成立2222r m 3 3m 1 9r ,整理后可得：9r22_10m12m 10 2在m10m2 12m 100,1恒成立22_r210m2 12m 10min=22_9r 10m12m 10max2332设 f m 10m12m 10 10 m - 一5532,10 5232r529r2 10”2 32,解得：叵r/9535若M为PN中点，则P在圆C外n 2 r2即 m 3一 ，223m 1 r在m 0,1恒成立r210 m2 12m 10min3254.10综上所述：r,而 4.

21、10,35思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段BH上任意一点P均满足题意，则需CBH , CHB为锐角，从而C在达到两个条件：第一，P在圆外，可先利用坐标判定出BH上的投影位于线段 BH上，所以r de bh ;第二，P到圆上点的最小距离（记为dm.）1应小于或等于到圆上点最大距离（记为 dmax ）的一半，即 dmin dmax ,否则，若21dmin-dmax当圆上取其他M ,N点时，PMdmin, PNdmax,由不等式的传递性可知：21PM - PN , M不可能为PN中点。因为P在圆外，所以可知在圆上任意一点中， 2 _rdCBH dmin PC r , dmaxPC r

22、 ,代入可得PC 3r恒成立。综上即可求I I 111 I/ I I I V</v/3r PC出r的范围 解：B 1,0 ,H 0,3 ,C 3,2 ,若对任意P点，已知条件均满足则P在eC外ujLruuirurnrujitBH 1,3 ,BC 2,2 ,HB 1, 3 ,HC 3, 1uuir uur uur uurBH BC 0,HB HC 0CBH , CHB为锐角C在BH上的投影位于线段 BH上rdC BH3 3 2 3,32 12依题意，若对任意 P点，均存在M,N使得PM设P到圆上点的最小距离为 dmin,到圆上点最大距离为 dmax ,则有:d 1ddmin dmax2一

23、一 1否则若d dminmax2Q PMdmin,PNd maxPM导致不存在满足条件的M , NQ P在圆外dminPCraaxPCr ,代入可得:PCPCPC3rPCmax由图可知:Q CH3 210BCCHBCPCmax10r 3综上所述：r103三、历年好题精选一一一 21、设圆C :x2一 ,一y23 ,直线l占P八、IX0,先若存在点A.OPQ 60o（O为坐标原点），则Xo的取值范围是（2,1B.0,fC.0.1D.2、已知Ax,y|x x 11 y ,BI 2 x,y |x则实数a的取值范围是（A. 0, 2B.C. 2,D.-222223、（2015,广东）平行于直线2x y

24、 1 0且与圆x y5相切的直线的万程是（）A. 2x y 55 0 或 2x y 在 0C. 2x y 5 0或2x y 5 04、（2015,江苏）在平面直角坐标B. 2x y V5 0或2x y 75 0D. 2x y 5 0 或 2x y 5 0系xOy中，以点1,0为圆心且与直线mx y 2m 10mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 5、（2014,湖北）直线 11 : y x a 和 l2: yx b将单位圆C : x22y 1分成长度相等的四段弧，则a2 b2 6、（2014,全国卷）直线11和12是圆x2 y2 2的两条切线，若11与12的交点为1,3 ,则11与12

25、夹角的正切值等于 7、（2016 , 吉安一中高三期中）已知圆 C:22_2_x y（62m）x 4my 5m6m0,直线 1经过点（1,1）,右对任意白实数 m,直线1被圆C截得的弦长都是定值，则直线 1的方程为 228、已知 M a,b ab 0 是圆 O : x y和直线1 : ax by r2 ,则（）A. m / 1 ,且1与圆相交C. m / 1 ,且1与圆相离9、（2015,广东）已知过原点的动直线AB（1）求圆Ci的圆心坐标；（2）求线段 AB的中点M的轨迹C的方程;2r内一点，现有以 M为中点的弦所在直线 mB. m 1 ,且1与圆相交D. m 1 ,且1与圆相离2y 6x

26、5 0相交于不同的两点1与圆Ci : x2（3）是否存在实数k ,使得直线L:y k x 4与曲线C只有一个交点？若存在， 求出k的取值范围；若不存在，说明理由 .习题答案:l可得：yo6 Xo31、答案：B解析：依题意可知 OP2 x2 y；,由P %,y0Q OPQ在PQ与圆相切时取得最大值若OP变长，则 OPQ的最大值将变小当 OPQ 600且PQ与圆相切时， PO 2若存在点Q C ,使得OPQ 60°，则 PO 26 Xy03 ,解得:Xo0,622,5X0 V。 42、答案：C2221斛析：A: x x y y 0 x211 1、21即A为以为圆心，22 22为半径的圆A的内部，集合B为圆心在原点,半径为ja的圆b的内部。则aB表示圆A在圆B的内部，在坐标系中作出圆 A,数形结合即可得到圆B半径的范围为,2,a的范围为2,3、答案：D解析：由平行关系可设切线方程为2x y c 0,则d 子 V5,解得：c5,所以切线的方程为2x y 5 0或2x y 5 0.22 c4、答案：x 1 y2 2解析：方法mx y 2m 1 0 x 2 m y 1 0可知动直线过定点 2, 1 ,所以可算出