新北师大版八年级数学 第七章 平行线的证明2 教案

1、课 题： 第七章 平行线的证明 1为什么要证明教学目标：(一)知识与技能：运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等(二)过程与方法：经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识(三)情感态度与价值观：教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：验证活动（1） 某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数你认为呢？与同伴交

2、流参考答案：列表归纳为n01234567891011n2-n+1111111317233141536783101121是否为质数是是是是是是是是是是是不是第二环节：猜想并验证活动（2） 如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？ 参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ： 它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头第三环节：归纳与总结 通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进

3、行肯定也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步， 有根有据的推理 举例说明“推理意识”与推理方法第四环节：反馈练习 1.如图中两条线段a与b的长度相等吗？请你先观察，再度量一下. 答案：a与b的长度相等.第1小题图 第2小题图 2.如图中三条线段a、b、c,哪一条线段与线段d在同一直线上？请你先观察，再用三角尺验证一下.答案：线段b与线段d在同一直线上.3.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？答案：经验证：当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数.第五环节：课堂小结今天这节课你学到了什么知识？ 要说明一个数学结论是否正确，无论验证多少个特殊的例

4、子，也无法保证其正确性 要确定一个数学结论的正确性，必须进行一步一步、有根有据的推理课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 2定义与命题（第1课时）教学目标：(一)知识与技能：.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题 用比较数学化的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。(二)过程与方法：(三)情感态度与价值观：通过对某些语句特征的判断学会严谨的思考习惯教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：情景引入小亮和小刚正在津津有味地阅读我们爱科学.小亮说：小刚说：“是的，现在因特网广泛运

5、用于我们的生活中，给我们带来了方便，但”小亮说：“”小刚说：“”小亮说：“哈！，这个黑客终于被逮住了.”坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：一人说：“这黑客是个小偷吧？”另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”一人说：“那因特网肯定是一张很大的网.”另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网.”在这个小品中，你得到什么启示？（人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此，我们需要给出它们的定义.） 关于“黑客”对话的片断来引入生活中交流时必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行； 对定义含义的解释；对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定

6、义； 举例说明生活中和数学学习中所熟知的定义第二环节：命题含义（情景引入） 如果B处水流受到污染，那么_处水流便受到污染;如果C处水流受到污染，那么_处水流便受到污染；如果D处水流受到污染，那么_处水流便受到污染； 学生自编自练：如果_处水流受到污染，那么_处水流便受到污染同学们在假设的前提条件下，对某一处受到污染作出了判断.像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子.如：熊猫没有翅膀. 对顶角相等.议一议：想一想：.随堂.练习：.课时小结: 定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义； 命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个

7、句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 2定义与命题（第2课时）教学目标：(一)知识与技能：(二)过程与方法：(三)情感态度与价值观：教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：回顾引入 什么叫做定义？举例说明 什么叫命题？举例说明第二环节：读一读 介绍几何原本、公理、定理等知识在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里德（公元前300前后）编写了一本书，书名叫原本，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认

8、的真命题作为证实其它命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面原本问世之前，世界上还没有一本数学书籍象原本这样编排，因此，原本是一部具有划时代意义的著作 公理、定理、概念和证明的关系    介绍本教材的公理 1.两点确定一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 5.过直线

9、外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 8.三边对应相等的两个三角形全等此八条基本事实前面已详细探索过，不必验证它们的正确性，可以直接用来证实其它命题的正确性，另外一条我们将在以后认识它。此外等式和不等式的有关性质也可看作公理比如：如果a=b，b=c，那么a=c.例题讲解：.练习：.课时小结: 本节课的重点是了解命题中的公理、定理的含义，理解反例、证明等概念.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 3平行线的判定教学目标：(一)知识与技能：熟练掌握平行线的判定公理及定理；能对平行线的判定进行灵活运用，并把它

10、们应用于几何证明中(二)过程与方法：通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力，逐步掌握规范的推理论证格式(三)情感态度与价值观：通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想 教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：情景引入回顾两直线平行的判定方法前面我们探索过直线平行的条件两条直线在什么情况下互相平行呢？在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的上节课我们谈到了要证实一个

11、命题是真命题除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨第二环节：探索平行线判定方法的证明 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，1和2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且1与2互补，求证：ab 证明：1与2互补（已知） 1+2=180°（互补

12、定义）1=180°2（等式的性质）3+2=180°（平角定义）3=180°2（等式的性质）1=3（等量代换）ab（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据用来证明新定理（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内 证明：内错角相等,两直线平行小明用下面的方法作出了平行线，你认

13、为他的作法对吗？为什么？从图中可知：CFE与FEB是内错角“内错角相等，两直线平行”下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程已知，1和2是直线a、b被直线c截出的内错角，且1=2求证：ab证明：1=2（已知） 1+3=180°（平角定义）2+3=180°（等量代换） 2与3互补（互补的定义）ab（同旁内角互补，两直线平行）这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行 借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？1：已知，如图，直线ac,bc求证：ab证明：ac,bc（已知） 1=90°2=90°（垂直的

14、定义）1=2（等量代换） ba（同位角相等，两直线平行）由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论 .练习： .课时小结: 这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明同学们来归纳一下完成下表： 由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角 注意：证明语言的规范化推理过程要有依据.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 4平行线的性质教学目标：(一)知识与技能：1.认识平行线的三条性质。 2.能熟练运用这三条性质证明几何题。 3.进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法 4.了解

15、两定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程(二)过程与方法：(三)情感态度与价值观：进一步发展学生的合情推理能力，培养学生的逻辑思维能力。教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：情境引入 一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角B是130°，第二次拐的角C是多少度？这是一个实际问题，要求出C的度数，需要我们研究与判定相反的问题，即已知两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质第二环节：探索与应用 画出直线AB的平行线CD，结合画图过程思考画出的平行线，被第三条直线所截的同位角的关系是怎样的？ 平行公理：两直线平行同位角相等

16、两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？.例题讲解：.练习：.课时小结: 归纳两直线平行的判定与性质 总结证明的一般思路及步骤.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 5三角形内角和定理（第1课时）教学目标：(一)知识与技能：1掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。 2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。 3.用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。 4.对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用(二)过程与方法：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用(三)情感态度与价值观：教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:

17、教学过程：第一环节：情境引入（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图638（1）然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3），最后得图（4）所示的结果（1） （2） （3） （4）试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？第二环节：探索新知 用严谨的证明来论证三角形内角和定理方法一：过A点作DEBC DEBCDAB=B，EAC=C（两直线平行，内错角

18、相等）DAB+BAC+EAC=180°BAC+B+C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CEBA CEBAB=ECD（两直线平行，同位角相等）A=ACE（两直线平行，内错角相等）BCA+ACE+ECD=180°A+B+ACB=180°(等量代换)想一想：.例题讲解：.练习：.课时小结: 证明三角形内角和定理有哪几种方法？辅助线的作法技巧.三角形内角和定理的简单应用.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 5三角形内角和定理（第2课时）教学目标：(一)知识与技能：1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、

19、格式、方法、技巧 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。(二)过程与方法：进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。(三)情感态度与价值观：通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣 教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节：情境引入 在证明三角形内角和定理时，用到了把ABC的一边BC延长得到ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质 引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。第二环节：探索新知 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边

20、的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：(1)顶点在三角形的一个顶点上(2)一条边是三角形的一边(3)另一条边是三角形某条边的延长线 两个推论及其应用由学生探讨三角形外角的性质：问题1：如图，ABC中，A=70°，B=60°，ACD是ABC的一个外角，能由A、B求出ACD吗？如果能，ACD与A、B有什么关系？问题2：任意一个ABC的一个外角ACD与A、B的大小会有什么关系呢？ 由学生归纳得出：推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 例题例1、已知：BAF，CBD，AC

21、E是ABC的三个外角求证：BAF+CBD+ACE=360°分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证证明：(略)例2、.练习：.课时小结: 由学生自行归纳本节课所学知识：推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.课后作业: 板书设计: 课后反思:课 题： 回顾与思考教学目标：(一)知识与技能：（1）了解命题的概念与命题的构成；（2）使学生进一步熟悉平行线的性质定理与判定定理，三角形内角和定理及三角形的外角的性质等概念； （3）进一步体会证明的必要性；(二)过程与方法：(三)情感态度与价值观：（1）培养学生的

22、逻辑思维能力，发展学生的合情推理能力； （2）掌握证明的步骤与格式教学重点：教学难点:教学方法:教具准备:教学过程：第一环节 知识回顾1.什么是定义？什么是命题？命题由哪两部分组成？举例说明！ 2.平行线的性质定理与判定定理分别是什么？ 3.三角形内角和定理是什么？ 4.与三角形的外角相关有哪些性质？5.证明题的基本步骤是什么？第二环节 做一做 1.下列语句是命题的有（ ） （1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等；（4）花儿在春天开放；（4）对应角相等的两个三角形是全等三角形； 2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举

23、出反例. （1）同角的补角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）若|a|=|b|，则a=b.3. 如图，AD、BE、CF为ABC的三条角平分线,则：1+2+3=_. 4. 用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_。5. 如图所示，ABC中，ACD=115°，B=55°, 则A= , ACB= 6. ABC的三个外角度数比为345，则它的三个外角度数分别为 _.7. 已知，如图，ABCD，若ABE=130°, CDE=152°，则 BED=_. 第3题图 第5题图 第7题图第三环节 想一想1、已知，如图，直线a,b被直线c所截，ab。求

24、证：1+2=180°证明：ab（已知） 1+3=180°（两直线平行，同旁内角互补）3=2（对顶角相等） 1+2=180°（等量代换） 第1小题图 第2小题图2、已知，如图，1+2=180°,求证：3=4.证明：2=5（对顶角相等）1+2=180°（已知）1+5=180°（等量代换）CDEF（同旁内角互补，两直线平行）3=4（两直线平行，同位角相等）第四环节 试一试3、已知，如图，直线ABED.求证：ABC+CDE=BCD.（1） （2）本题有多种证法.证法一：（如图（1）过点C作CFAB.ABC=BCF（两直线平行，内错角相等）ABED（已知）EDCF（两直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行）EDC=FCD（两直线平行，内错角相等）BCF+FCD=EDC+ABC（等式性质）即：BCD=ABC+CDE证法二：（如图（2），延长BC交DE于F点ABDE（已知）ABC=CFD（两直线平行，内错角相等）BCD是CDF的一个外角（已知）BCD=CFD+CDE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）BCD=ABC+CDE（等量代换）4、将正方形的