关于数学习题课的思考

1、关于高中数学习题课的思考 任文文摘 要：能不能做好数学题是判断学生有没有学好数学的重要标准之一。我们经常看到这样的现象，课堂上老师反复讲的习题，学生在考试中仍然不得分。造成这样的结果,有教师的因素,也有学生自身的因素。通过不断地观察和实践,本文主要针对教师在选习题课,备习题课,上习题课过程中应遵循的原则和需要注意的问题进行了阐述，并配有相关的例题加以说明,使文章有理可循。文章最后对学生的学习方法提出了合理的建议，并强调了反思在学习中的重要性。 关键词：换位思考；思维性；规范性；针对性；反思背 景：数学习题是数学教学的重要内容。这是因为，数学习题可以使概念完整化，具体化。通过习题教学，可以培养学

2、生综合分析和抽象概括能力，获得教和学的反馈信息，从而不断检测和改进教学。如今，新一轮基础教育课程改革正在积极推进，新课程强调对学生数学能力的培养，而习题课正是通过训练学生解题锻炼学生多方面的数学能力。所以在数学教学中，上好习题课是至关重要的一个环节。但是好多教师们反映上习题课的效率低，虽然在课堂上教师讲得抑扬顿挫，学生也配合默契，但是在课后学生再做相关问题时，却像老虎吃天，无法下手，这种现象被称为“假繁荣”。经观察发现，上课回答问题声音越大，越应和老师的学生，往往对知识的接受效果很差。所以，教师不应该被课堂气氛活跃这些表面现象迷惑，课堂“高效”未必就是“有效”，这取决于学生获取的知识量和学生的

3、思维训练量。关于习题课的相关文献研究 在翻阅大量资料及网络搜索后，笔者发现与习题课直接相关的著作很少，较多见的是中学一线教师根据自己的教学经验撰写的发表在中学数学类的杂志上的文章，主要研究集中在具体课例上，以介绍习题课的授课经验为主。由于大多数教师谈得是自己的经验及心得体会，内容有些零散。笔者将之前学者的研究成果进行一个系统的总结，并提出了一些合理的建议。1 教师在习题课中要做到以下几点1.1习题的选取体现教学的目的性目的性亦即针对性，指依据教学目的，又从这个目的出发来精选习题。一方 面，习题必须配合教材，依据教学大纲，针对基础知识的掌握和基本技能的培 养，帮助学生深刻地理解和掌握基础知识；另

4、一方面，习题要针对班级中学生的实际情况，实际问题进行配置。要实现习题的目的性，一般要围绕三个方面安排： 1.1.1是以使学生牢固掌握基础知识和熟练基本技能为教学目的 这类习题难度不大，但概念性强。对于学生容易混淆的概念和学生容易不 顾条件而乱用的公式、定理、性质、法则，教师可有意识地设计一些反例，以 加深学生的理解。 如在指数函数概念的学习中，要求满足形式为y=ax(a>0,a1)的函数是指数函数，注意ax的系数是1。有些函数貌似是指数函数，实际上却不是，例如函数 y=ax+ka>0,a1,kZ，它的解析式可以等价化归为y=ak×ax(a>0,a1,kZ),由于ax

5、的系数ak1,所以不是指数函数；而有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y=a-xa>0,a1，它的解析式可以等价化归为y=1ax，其中1a>0,1a0,满足指数函数的定义。为了让学生深刻理解指数函数的概念，可列出以下函数来让学生判断是否是指数函数：（1）y=0.2x (2)y=-2x (3)y=x2 (4)y=23x (5)y=21x (6)y=3x-21.1.2是以熟练掌握某一种重要的数学方法或某一类数学专题的解法为教目的的习题课通过这样的习题课，促使学生的知识转化为能力，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。这类习题课，常常安排在复习课中，往往对于某种重要的数学方法，

6、如待定系数法，数学归纳法，二次函数的判别式法等等进行专题训练。如下面一道例题比较下列各组数的大小：（1）1.12.1 与 1.12.11 （2）log3.11.1 与 log3.11.11 （3）2.01+2.01 与 2.011+2.011这三个问题的解决方法非常相似，第（1）题通过构造函数y=ax来解决，第（2）题通过构造函数y=logax（x>0)来解决，第（3）题通过构造函数y=x+x(x0)来解决。综合看，三道小题都是先将代数问题转化为函数问题，再根据对应函数的单调性来进行判断，即把它们化归为函数的单调性问题。对这类专题进行集中的讲解和训练，可以帮助学生开拓解题思路，提高解题能

7、力，学生以后碰到这类问题就有法可循了。1.1.3是以使学生理解数学的内在规律，沟通数学各部分知识之间的联系，提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力。这类习题课的特点是综合性强，涉及知识面广，要沟通数学不同部分的知识和方法，尤其要特别注意代数，函数及几何之间的综合应用例如这样一道习题：求函数y=3+sinx4+2cosx的最大值和最小值解：方法一：y=3+sinx4+2cosx可以化为2y=sinx-3cosx-(-2)以下先求k=sinx-(-3)cosx-(-2)的最大值、最小值，然后分别除以2. 如图一所示：构造两个点P-2，-3 ，Qcosx,sinx 这时点Q的轨迹是单位圆x12+x

8、22=1,切线PQ1，PQ2 的斜率就是k的最大值、最小值。 设直线PQ的方程为y1+3=kx1+2，即kx1-y1+2k-3=0 由圆心到直线的距离等于半径，得2k-3k2+-12=1,k=6±233 所以y的最大值，最小值分别为ymax=12kmax=3+33 ymin=12kmin=3-33 方法二：如图二所示，构造两个点，即点P-4，-3和点Q2cosx,sinx,这时y=sinx-32cosx-4=kPQ点Q在椭圆x124+y12=1上设直线PQ的方程为y1+3=kx1+4，即kx1-y1+4k-3=0由直线和椭圆相切的条件A2a2+B2b2=C2，得： 4k2+1=4k-

9、32 解得：k=3±33， 所以函数的最大值和最小值分别为3+33和3-33这两种方法都是将函数问题转化为几何问题，再将几何问题转化为代数问题。在方法一中，把问题转化成了直线与圆相切的问题，其中对y与k的处理，技巧性极强。在方法二中，使用了直线Ax+By+C=0A2+B20与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0相切的条件是A2a2+B2b2=C2 这道题的两种解法，灵活应用了三角函数，斜率，解析几何等知识，体现了数形结合思想和转化思想。 1.2上习题课前要认真备课 新授课的备课已为大家所重视，但往往会忽视习题课的备课。有时会看到，由于准备不充分在习题课上出现了一些不应当

10、产生的现象。或是题目缺少条件而解不下去；或是数据不当而使解题繁琐；或是解题杂乱，思路不清，甚至中途推到重讲等等。这样不仅会浪费学生的时间，降低习题课质量，还会引起学生对数学习题课的排斥和厌烦。 所以，习题课与新授课一样，要认真备课，精心设计课堂教学，是上好习题课的根本保证。1.2.1教师要学会换位思考新课标提倡教师要与学生进行换位思考。“换位思考”就是换个角度思考问题，进而解决问题。这种思维方式有很大的益处，教师一旦用“学生的眼光”去看待问题，用“学生的大脑”去思考问题，那么与学生的沟通将变得容易。习题课是新课的拓展和延伸，学生刚学习了新课，对新概念的理解还不深入，对应用新知识解决相关问题还不

11、熟练。有时候教师觉得简单的习题对于学生来说很难，教师认为讲得很透彻的问题对于学生来说可能还无法理解。所以，教师要及时了解学情，如：要解决此类问题，学生都学过哪些知识？这些知识对解决问题有什么帮助？解决问题的方法和步骤应向学生已有的知识靠拢。有时候，同一道习题，对于处在不同阶段的学生，可能要采用不同的方法，看下面一道例题：例1：已知一元二次函数，求自变量的取值范围，使得函数图象在轴下方 对于这道题，解决方法有很多种，但是采用何种方法讲解，就要看面对的学生群体处于什么样的水平。对于高一年级的学生，刚学过一元二次函数图象及其性质，所以应当用图象法解决，即用“五点法”画出函数图象，再根据函数图象，判断

12、的取值范围。这种方法不仅随时巩固所学新内容，向学生灌输先画出函数图象再研究其性质的基本方法，还培养了学生数形结合的思想。 但对于高三学生，用上述方法略显繁琐，可用简洁的方法。高三的学生已学习过一元二次函数与对应方程的关系，一元二次不等式的计算，所以用下述方法更简单：解：令 则 故当的取值范围为时，函数图象在轴下方。1.2.2要认真考虑习题课的教学方法对于所选题目及其它有关习题，教师在备课时要认真解过，比较各种解法，寻求最优解。不但要研究习题解法，而且要认真研究例题的讲授法。比如：如何启发学生积极思维？如何在解题过程中做到层层剖析，步步诱导，条理分明，推理严谨，书写合理？哪些地方该详讲，哪些地方

13、可略讲？讲练如何结合等等问题。下面举出一节习题课备课的实例：在教完柱体，椎体的体积（高中课本第二册）以后，为了熟悉体积公式，进一步培养学生空间想象能力，安排了一节习题课，着重解决已知柱、椎体的侧面展开图来求体积的问题。备课精选例题时，对课本上提供的习题认真解过，并经过挑选，整理，加工和延伸，确定才用下面几题： 例一：已知圆柱体的侧面展开图是边长为a的正方形，求这个圆柱的体积（课本76页第10题）。把“圆柱”改为正三棱柱，正四棱柱，正六棱柱，再由学生分别求它们的体积。然后比较上述所得到的体积的大小关系，得出侧面积相等的等 高正棱柱中，棱数越多，体积越大，但都小于等高圆柱的体积。例二：边长为a的正

14、方形薄铁板，以它的一个顶点为圆心画一个最大的扇形，用这扇形围成一个圆锥筒，求它的容积（课本79页的例题经加工而得来，即把原例的数字换成字母）。例三：把边长为a的正方形截去四角的相等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体容器，若小正方形的边长为16a，求这容器的体积。由学生分析，解题后提出：当小正方形的边长变化时，长方体的容积将如何变化？为以后利用导数来求最大值和最小值做铺垫。例四：把边长为a的正方形截去如图的阴影部分后做成一个棱锥，求它的容积。备课时在考虑习题课的教学方法时，由于柱、锥体积公式并不复杂，所以可以采用讲讲练练师生共同活动的教学方法。在具体教授法中抓住两条：一是求体积方法，先写出体积

15、公式，然后“要什么，找什么”，求出公式中未知字母的量数。二是分析清楚侧面展开图围成几何体时，柱、锥的度量元素反映了展开图中得什么量以及相互之间的关系。1.3教师在上习题课应注意的问题1.3.1讲解过程要思维性和紧凑性相结合解题信息来源于题目的已知与结论，已知提供解题条件，结论提供解题方向。习题课上学生思路是否清晰，取决于教师能否教会学生剖析问题。教师在习题教学中，要讲清楚为什么这样思考？依据在哪里？因为我们最终目的是要培养学生分析问题和解决问题的能力，不是只解决这样一个问题。如果忽视剖析问题的过程，那么换一个题目，学生可能又无从下手。因此，教师在习题教学中一定要体现解题的思维过程。例2：如图，

16、已知平面两两相交，且， ， 直线与直线不平行。 证明：直线相交于一点。 对于此类证明题，教师一定要细致地剖析其条件与结论。如：要证明 三条直线交于一点，则要证明两个问题：（1）其中两条直线交于一点；（2） 第三条直线也通过这个交点。对于问题（1），两条直线选为直线，由条件知不平行，要使交于一点，则要证明直线在同一个平面上（依据：两条直线在同一个平面上，它们要么相交，要么平行）故我们分析出解决问题的第一步，即证明直线在同一个平面上。证明过程如下： 证明： 直线在同一个平面上，又不平行 相交，设其交点为点P 同理： 又 故三条直线交于一点1.3.2解题方法要具有常规性 一个习题往往有很多种解法，有

17、通解，巧解。在习题教学中，思路新颖的解法会给学生带来一定的吸引力，对激发学生兴趣有一定的好处。但是，在习题教学中，不能一味地追求或过分强调习题解答的新，奇，巧，而忽视对常规题与常规解法的训练。习题的常规解法和基本解法，能更好地突出教材和课程标准所要求的数学思想方法。所以，通解更容易合乎常规逻辑，更容易让学生接受。 例如：有位教师在讲授高三数学的一节复习课时，讲授了如下一道传统题目： 已知：，证明： 有的老师说：由容易想到，于是有下面证法： 证明：令，则 又 但是，这个方法对于大多数学生来说是不易想到的，教师应该向学生介绍这道习题的基本解法不等式法，这样效果会更好。 证明：由不等式可得：1.3.

18、3.要体现总结性，将习题内容进行归类 我在教学过程中发现，好多学生的数学记录本上写得满满的，但是成绩总是提不上去。经观察发现，这些学生不善于反思所学知识，知识得不到归纳和分类。所以，在教学过程中，教师一定要培养学生及时总结和反思的习惯，讲完一种方法后，要及时归纳总结，总结思维过程，总结解题步骤，总结方法适用范围等等。这样，学生学到的知识才能及时得到归类，学生接受的知识才是条理清晰的。如：在讲解函数内容时，有这样一个问题：例4.求函数在上的最大值，最小值。 解： 教师在讲完这道题后，应该向学生总结：求一元二次函数在区间上的最值时，处理方法是：先判断函数图象开口方向，再判断对称轴是否穿过区间，最后

19、判断区间边界距对称轴的距离。总结：（1）若开口向上，对称轴穿过区间，则在对称轴上取到最小值，自 变量距对称轴越远，函数值越大。 （2）若开口向下，对称轴穿过区间，则在对称轴上取到最大值，自变 量距对称轴越远，函数值越小。1.3.4体现解题过程的规范性 有很多学生，虽然他们清楚如何解决这个习题，但是表达得毫无头绪，步骤乱而杂。并且在解题过程中，出现很多数学语言或者数学符号的错误，导致学生因为忽略解题步骤的规范性而丢失分数。因此教师在教学过程中，教会学生解题时要呈现出有序的解题步骤，要有准确而严谨的数学表达符号。如：在学习函数的单调性时，教师为了书写方便，增函数用来表示，减函数用来表示。所以在作业

20、中，学生也模仿教师的写法。但这种写法是错误的，在数学中，函数的增减性要用语言来表述。在期中考试中，出现了这样一道题，引起了我的注意例5.已知对数函数，求该函数的定义域。本来这道题很简单，但好多同学却被扣掉3分，因为他们给得是如下解题步骤。解：由对数函数的性质，得： 而满分解答过程是：解：由对数函数的性质，得： 故该函数的定义域是 比较以上两种解答过程，前一种解法仅比后一种解法少一个步骤“故该函 数的定义域是”，很多同学觉得这个是可有可无的。其实并非如此，题目要求我们求定义域，那我们就必须把x的取值范围表示成区域的形式，即用区间或集合来表示。而第一种解法则显然是答非所问。 所以，培养学生养成规范

21、作答的习惯，就要求数学教师在平时的课堂教学中写例题解答过程要有规范性。1.3.5.讲题过程中要及时对学生进行考察 前面也说过，习题课上会出现“假繁荣”现象。所以教师讲题过程中，要随时观察学生对知识的掌握程度，考察的方法有很多种：如观察法，观察学生的表情，如果他们的表情是困惑的，说明他们对这个环节的理解还存在问题；提问法，在讲题过程中，适当地对学生进行提问，可以提问概念知识，也可以问他们对某个问题的想法，不仅对知识进行考核，还可以提高学生的注意力，有效提高课堂纪律；练习法，让学生进行适当地练习，教师监督学生的完成状况，及时发现学生做题过程中的遗漏或错误。虽然教师在教学过程中起了主导作用，但学生才

22、是学习的主体，只有学生提高主观能动性，养成积极良好的学习习惯，才能使得教学效果“事半功倍”。学生在学习过程中，不光要勤学，多练，最重要的就是学会反思。2.学生在学习过程中要学会反思2.1高中生数学反思的现状古人云：学而不思则罔。学生如果不知道反思，就会永远读死书。我们在教学过程中经常发现有的学生上课积极发言,即使课后不按时完成作业，成绩依然很好。然而有些同学上课认真踏实，课后把作业做得整整齐齐，成绩却不能提升。大多数人认为这是因为学生思维的差异，其实主要是学习方式的不当。积极发言的同学比较善于反思，在老师讲授知识的时候，不断在头脑中进行自我提问，自我反思。比如：为什么要这样做？还可以怎样做等等

23、。这有助于他们对所学内容有更深刻的理解和把握，促进知识更好地内化。高中学生的反思性数学学习的调查结果： 1. 你是否有科学的数学学习方法? 有 没找到 没有 31.9% 47.5% 20.6%2. 你建立了数学错题本吗？建立了 正准备建立 从未想过 15.6% 36.3% 48.1%3. 你在学完数学新课后能主动总结反思吗？ 能，始终坚持 偶尔能 从来不 16.1% 13.7% 70.2%4. 你解完一道数学习题后 及时回顾解题方法技巧 丢在一边不过问 35.6% 64.4%5. 你在解题时会寻求不同的方法 做出一种即可以 14.1% 85.9%6你是否觉得听懂了老师的讲解，自己却总是做不出来

24、是 有时是 不是26.9% 46.9% 26.2%7. 你会对所学的知识进行方法总结吗？ 会 不会 26.1% 73.9%8. 你觉得在数学学习过程中自己欠缺哪方面的能力？ 分析能力 创新能力 反思能力 解决能力 19.8% 30.2% 35.9% 14.1% 9. 在数学学习时，你遇到难题时是如何处理的？ 反复思考，知道弄懂为止 马上询问别人 放弃这道题 312% 45.0% 23.8%2.2数据结果分析上述调查结果表明：有70.2%的学生没有主动反思的习惯，学生急于知道问题的答案，而不再寻求分析思路和解题方法。 第6,7，8题的调查结果表明35.9%的学生反思能力较差，学生的解题思路，方法

25、都是教师课堂上列举的，“依葫芦画瓢”，一旦出现新类型的题目便无计可施了。 第9题的调查结果表明88.8%的学生反思毅力不够强。学习上遇到困难的时候，很少有学生会主动通过查阅资料，教学参考等自主学习方式，普遍缺乏自主学习的意识和探究学习的精神。 2.3 学生不善于反思的原因分析 造成学生在数学学习中不善于反思主要有四个原因：1. 没有质疑反思的习惯，老师说什么就是什么；2.一般需要反思的地方是知识点较难，学生容易产生困惑和不解的问题。而面对这些复杂的问题时，学生往往会知难而退。比如：试卷发下来后，学生们最不喜欢看那些打错的地方，这就导致学生将从前不懂的地方忽略，思维就永远得不到提升；3.学生做过题之后，往往不喜欢回过头再看一遍，他们觉得这个过程枯燥乏味；4.学生养成了惰性，只做自己会做的题。毕竟脑力劳动是个苦力活，除了个别同学特别感兴趣之外，大多数学生觉得老师讲出来的要比自己想出来更简单。所以，渐渐地，学生在思维上产生了惰性。2.3 提高学生反思的策略2