数学 压轴题 解答案

1、1、（据荆州资料第58页第2题改编）在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。（1）       求过A、D、C三点的抛物线的解析式。（2）       求ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求M的半径。（3）       E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当EDECFDFC最小时，EF的长。（4） 

2、;      设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的与ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。2、如图,是圆的直径,为圆心,、是半圆的弦，且. 延长交圆的切线于点(1) 判断直线是否为的切线，并说明理由；(2) 如果，求的长。（3）将线段以直线为对称轴作对称线段,点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形 3、已知点A（-1，-1）在抛物线（其中x是自变量）上.（1）求抛物线的对称轴；（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛

3、物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由.4、如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，（1）求A点和B点的坐标（2）求k的值和Q点的坐标5、如图，将腰长为的等腰RtABC（=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限， 使点C的坐标为（，0），点A在y轴上，点B在抛物线上（1）写出点A，B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置请判断点、是否在该抛物线上，并说明理由 6、已知如图，矩形OABC的长OA

4、=，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得APC。（1）求点P的坐标；（2）若P，A两点在抛物线y=-x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）（2）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标7、如图，O1、O2相交于P、Q两点，其中O1的半径r1=2，O2的半径r2=过点Q作CDPQ，分别交O1和O2于点CD，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交O1和O2于点AB，连接AP、BP、ACDB，且AC与DB的延长线交于点E（1）求证：；（2）若PQ=2，试求

5、E度数8、如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由9、    如图13，四边形ABCD是梯形，PC是抛物线的对称轴，且.（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）求直线AD的函数表达式；    （4）PD与AD垂直吗？10、如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y

6、轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 11、如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标12、如图，是边长为6的等边三角形， 是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长

7、线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于. （1）当时，求的长； （2）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果发生改变，请说明理由13、已知：如图，为平面直角坐标系的原点，半径为1的B经过点，且与轴分交于点，点的坐标为，的延长线与B的切线交于点（1）求的长和的度数；（2）求过点的反比例函数的表达式 14、古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在算术中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解。在欧几里得的几何原本中，形如（a>0,b>0）的方程的图解法是：如图，以和b为

8、两直角边做RtABC,再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的解。（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长。（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处。15、已知直线分别交轴、轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）（1）直接写出1秒时C，Q两点的坐标；（2）若以Q，C，A为顶点的三角形与AOB相似，求的值 16、在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2

9、上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y轴于点M作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m（1）如图1，当m=时，求线段OP的长和tanPOM的值；在y轴上找一点C，使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形ODME是矩形17、如下图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得  =bcsinA     即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如下图（2），在

10、ABC中，CDAB于D，ACD=， DCB= ， 由公式，得ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin，即 ACBCsin(+)= ACCDsin+BCCDsin   你能利用直角三角形边角关系，消去中的AC、BC、CD吗？不能，说明理由；能，写出解决过程参考答案一、综合题1、解：（1）由题意知C（3, 0）、A（0, 3）。过D作x轴垂线，由矩形性质得D（2, 3）。由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（1，0）。设抛物线的解析式为y=a（x1）（x3）.将（0， 3）代入得a = 1，所以y=x22x3.（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点

11、。由等腰直角三角形性质得OM平分AOC,即yOM = x， M（1,1）。连MC得MC = ，即半径为。（3）由对称性可知：当EDECFDFC最小时，E为对称轴与AC交点，F为BD与Y轴交点，易求F（0,9/5）、E（1,2）EF = 。（4）可得ADC中，AD = 2，AC = ，DC = 。假设存在，显然QCP<900，QCP = 450或QCP = ACD 。当QCP = 450时，这时直线CP的解析式为y = x3 或y = x3.当直线CP的解析式为y = x3时，可求得P（2，5）,这时PC = 5.设CQ = x，则， x = 10/3或x = 15.Q （1/3,0）或（

12、12,0）。当y = x3即P与A重合时，可求得CQ = 2或9， Q （1,0）或（6,0）。当QCP = ACD时，设CP交y轴于H，连ED知EDAC， DE = ，EC = 2，易证：CDECHQ，所以HQ/ = 3/ 2， HQ = 3/2 。可求 HC的解析式为y = 1/2 x3/2.联解，得P（3/2，9/4），PC = 。设CQ = x，知， x = 15/4或x = 27/4 ， Q（3/4,0）或（15/4,0）。同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y = -1/2 x+3/2. P（1/2,7/4），PC = 。 ， CQ = 35/12或21/4， 所以Q（1/12

13、,0）或（9/4,0）。综上所述，P1（2，5）、Q1（1/3,0）或（12,0）；          P2（0,3）、    Q2（1，0）   或（6,0）；              P3（3/2，9/4）、Q3（3/4，0）或（15/4,0）；      

14、60;       P4（1/2,7/4）、Q4（1/12,0）或（9/4,0）.2、解：（1）直线为O的切线 1分证明：连结OD    是圆的直径     ADB=90°   2分ADO+BDO=90°     又DO=BO       BDO=PBD      &#

15、160;         BDO=PDA   ADO+PDA=90° 即PDOD      点D在O上， 直线为O的切线.        （2）解： BE是O的切线      EBA=90°    P=30°  

16、0; 为O的切线   PDO=90°在RTPDO中，P=30°        解得OD=1           PA=PO-AO=2-1=1             （3）（方法一）证明：依题意得：ADF=PDA  PAD=DAF  ADF

17、=ABFADF=PDA=PBD=ABF       10分是圆的直径     ADB=90°  设PBD=，则DAF=PAD=，DBF=四边形AFBD内接于O   DAF+DBF=180°即    解得               ADF=PDA=PBD=ABF=30°

18、    BE、ED是O的切线      DE=BE   EBA=90°DBE=60°BDE是等边三角形。BD=DE=BE  又FDB=ADBADF =90°-30°=60°   DBF=60° BDF是等边三角形。   BD=DF=BF    DE=BE=DF=BF    四边形为菱形   

19、;（方法二）证明：依题意得：ADF=PDA  APD=AFD  ADF=ABF  PAD=DAFADF=AFD=BPD=ABF  AD=AF  BF/PD    DFPB  BE为切线  BEPB  DF/BE四边形为平行四边形 PE 、BE为切线  BE=DE 四边形为菱形3、解：（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上则，           即 解得 ， &#

20、160;     当时，函数为一次函数，不合题意，舍去当时，抛物线的解析式为   由抛物线的解析式知其对称轴为  （2）点B与点A关于对称，且A（-1，-1），B（）  当直线过B（）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，此时的直线为    当直线过B（）且不与y轴平行时，设直线与抛物线只交于一点B则，    即 把代入，得，即     &#

21、160;   由=0，得  由，得                                 故所求的直线为     4、解：（1）设A点的坐标为，B点坐标为分别代入  解方

22、程得             （2）解法一：PC是AOB的中位线    轴，可设        点Q的坐标为     解法二：PC是AOB的中位线    轴，即又在反比例函数的图象上， ， PC是AOB的中位线  可设   在反比例函数的图象上，点Q的坐标为5、（1）A

23、（0，2）， B（，1）；2（2）将B（-3，1）代入函数式得a=,解析式为；4（3）过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作 轴于点P5    在RtABM与RtBAN中， AB=AB， ABM=BAN=90°-BAM， RtABMRtBAN6 BM=AN=1，AM=BN=3， B（1，）7同理ACPCAO，CP=OA=2，AP=OC=1，可得点C（2，1）；8当x=1时=1，  当x=2时=1，可知点B、C在抛物线上106、解：（1）在RtOAC中，OA=，OC=1，则OAC=30°，OCA=60°；根据折叠的性质知：O

24、A=AP=，ACO=ACP=60°；BCA=OAC=30°，且ACP=60°，PCB=30°过P作PQOA于Q；RtPAQ中，PAQ=60°，AP=；OQ=AQ=，PQ=，所以P（，）；（2）将P、A代入抛物线的解析式中，得：， 解得；即y=-x2+x+1；当x=0时，y=1，故C（0，1）在抛物线的图象上（3）若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD平行x轴，过点D作DMCE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1） 把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（，0）M（，0）；N点即为C点，坐

25、标是（0，1）；若DE是平行四边形的边，过点A作ANDE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形， DE=AN=2，=， EAN=30°，DEA=EAN， DEA=30°，M（，0），N（0，-1）； 同理过点C作CMDE交y轴于N，四边形CMDE是平行四边形，M（-，0），N（0，1）7、考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。解答：（1）证明：O1的半径r1=2，O2的半径r2=，PC=4，PD=2， CDPQ， PQC=PQD=90°， PCPD分别是O1、O2的直径，在O1中，PAB=PCD， 在O2中，PB

26、A=PDC， PABPCD，=， 即=（2）解：在RtPCQ中，PC=2r1=4，PQ=2，cosCPQ=， CPQ=60°， 在RtPDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，sinPDQ=， PDQ=45°， CAQ=CPQ=60°，PBQ=PDQ=45°，又PD是O2的直径， PBD=90°， ABE=90°PBQ=45°在EAB中，E=180°CAQABE=75°，答：E的度数是75°8、考点：二次函数综合题。解答：解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=

27、4， A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3） 当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0）， BD2=OB2+OD2=18，AB2=（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2， ABD=90°，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点A（0，5），交x轴于点F（5，0）OE=OF=5， 又OB=OD=3 OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD 则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y

28、轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x15），则G（1，x15） 则PC=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1| PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2，4P（2，7），P（4，1）存在点P（2，7）或P（4，1）使以点ABDP为顶点的四边形是平行四边形9、（1）.       （2）BM=3，CM=2， 点D的纵坐标为2. 解，得.（3）DN=2， AD=3， .设，代入点D的坐标，得       

29、60;    ， .（4），CP=5，CPDDAN， PD与AD不垂直. 10、（1）点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上，× (-1 )2 + b× (-1) 2 = 0，解得b =抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,顶点D的坐标为 (, -). （2）当x = 0时y = -2,       C（0，-2），OC = 2。当y = 0时，  x2-x-2 = 0，  

30、0;   x1 = -1, x2 = 4,     B (4,0)OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.AB2 = 25,    AC2 = OA2 + OC2 = 5,    BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2.            

31、60;   ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.EDy轴, OCM=EDM,COM=DEMCOMDEM. ，m =解法二：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2,  . . 当y = 0时， ， .     .11、【考点】二次函数综合题【专题】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由AOC为等腰直角

32、三角形，确定CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用BMNBPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令

33、x=0，得y=3， C（0，3），OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形， CAB=45°，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答图1所示，连接O1B、O1B，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90°，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=BC=（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1，顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x= -2又A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，D（-4，3）又点M为BD中点，B（-1，0），M（，），BM=；在B

34、PC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：，MN设N（x，y），由两点间的距离公式可得：， 解之得，点N的坐标为（，）或（，）【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标12、解: (1)(6分)解法一：过P作PEQC      

35、                   则是等边三角形，P、Q同时出发、速度相同，即BQ=APBQ=PF , BD=DF =,BD=DF=FA=AB=2, AP=2.解法二： P、Q同时同速出发，AQ=BQ设AP=BQ=，则PC=6-，QC=6+在RtQCP中，CQP=,C=   CQP=QC=2PC,即6+=2（6-） =2 AP=2（2）由（1）知BD=DF而APF是等边三角形，PEAF, AE=EF 又DE+(BD+AE)=AB=6, DE+(DF+EF)=6， 即DE+DE=6 DE=3为定值，即  DE的长不变13、解：（1），是B的直径， 又点的坐标为，  ， （2）如图，连接，过点作轴于点 为B的切线， ， 在中， 在中， 点的坐标为 设过点的反比例函数的表达式为  二、实验,探究题14、答案：（1）