分式和绝对值不等式的解法

1、(一)分式不等式:型如：f(x) 0或丄0(其中f(x)、(x)为整式且(x) 0)的不等式称为分式不等式。(x)(x)(1) 分式不等式的解法：x 1解关于x的不等式03x 2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：x3x120x 1 0或03x 2 0(x 1)(3x 2)0变式一：-一103x2等价转化为：(x1)(3x 2)03x 20x比较不等式-1-0 及 x 1-0的解集。(不等式的变形，强调等价转化，分母不为零)3x 2 3x 2(2 )归纳分式不等式与整式不等式的等价转化:11 艺 0 f(x) (x) 03)出 0 f(x) (x) 0f(x) (x)0(x) 0f (x)

2、0 f(x) (x)0(x)(x)0(3)小结分式不等式的解法步骤:(1)移项通分，不等式右侧化为“0”左侧为一分式(2) 转化为等价的整式不等式因式分解，解整式不等式(注意因式分解后，一次项前系数为正)练一练：解关于x的不等式25x例1、解关于x的不等式：x 2x 3x2解：2 0x3x22(x 3)0x3x8小即，0x30 （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）等价变形为：(x 8)(x 3) 0x 3 0原不等式的解集为8, 3x 8例2、解关于x不等式一2x2 2x 3方法一：x2 2x 3恒大于o,利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元

3、一次或一元二次不等式。a例3、解关于x的不等式：1x解:移项 a 10x通分 Jx 0即，乞工 0xx等价转化为,x(x a) 0x 0当a>0时，原不等式的解集为（0,a当a<0时，原不等式的解集为a,0）当a=0时，原不等式的解集为(二)绝对值不等式a理解绝对值的几何意义：a (a 0)0 (a 0)a (a 0)其几何意义是数轴上的点A(a)离开原点o的距离OA(一)注意绝对值的定义，用公式法即若a °，凶 a，则 a x a ；若 a 0， |x| a，则 x a 或 x a。 例1.解不等式px 3| 3x 1解：由题意知3x 1 0，原不等式转化为(3x 1)

4、 2x 3 3x 1即:即：对于形如"x" a|f(x) 1 a(a R)型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法, 当 a>0时，|f(x)l a a f(x) a ； |f(x)| a f(x) a或f(x) a。 当 a=0 时，|f(x)| a，无解；|f(x)| af(x) 0。 当 a<0 时，|f(x)| a，无解；|f(x)| af(x)有意义。拓展：形如a |f(x)| b(b a 0)型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即:a |f (x) | b(b a 0) a f (x) b或 b f (x) a。例1解以下不等式：(1)1

5、2x3 15 ；(2)|2x110 o解：(1)由原不等式可得：2x 3 5或2x 35，即x>4或x 1。所以原不等式的解集是x|x 4或x1(2)因为左边为非负值，而右边为0,故不等式无解，即解集为2 2|x| x(二)注意绝对值的非负性，用平方法 等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到例2解不等式|x 11 |2x3|两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。2 2 2 2解：原不等式|x 1| Px 3| (x 1)(2x 3)(2x2 23) (x 1)0即：对于 形如|f（x）| |g（x）|型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法,即:

6、2 2|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|例2解不等式|x 11 |2x3|。解：原不等式等价于：|x 1 1 |2x 3f，即23x 10x8 0，解得（三）注意分类讨论，用零点分段法不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。例3解不等式|x 2| |x 113解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令于是，可分区间（，2), 2，1，1,讨论原不等式x 2,(x 2)(x1)x 1,2 (x1)或X人3 x 2 (x1)3解得x 1或x综上不等式的解为2)(1,即：对于形如a不等式，用零点分段法1 解不等式（1）利用绝对值不等式的几何意义这个不

7、等式的几何意义是：数轴上到(2)零点分段讨论：（即去掉绝对值）对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合注:(3)构造函数，求函数解集温馨提示：令f （x）x 3画出函数图像进行研究x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式总结：绝对值不等式的解法(1)x a (a 0) a x a(3)f(x)a (a0)a f (x)a ；(4)f(x)a (a0)f (x)a或f (x) a ；(5)f(x)g(x)g(x)f(x)g(x)(6)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f (x)g(x)；(7)a x b (ba 0)a xb或b xa ；f(

8、x)a(a0)f (x) ag(x)|f(x)2 ag(x)(8)g(x)1g(x)0g(x)0o(9)f(x)|g(x)|2|f(x)|2|g(x)|f(x)| |g(x)|f(x)g(x)| 0(2)xa (a 0)xa 或 xa(10)对于形如xax b m等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义求解课后练习1、不等式1 (2x1)0的解集为2、不等式1 (2x1)0的解集为6、|x m| < 1成立的充分非必要条件 是1< xv 13则实数m的取值范围是。7、不等式x 2x 13的解集是。8关于x的不等式x 1 m的解集为R的充要条件是A. m 0B . m1 C .m 0 D . m9、不等式| x2-x-6 | >3-x的解集是()A. (3,+ o)B.(-o，-3) U (3,+ o)C. (- o，-3) u (-1，+o)D. (- o ,-3) u (-1,3) U (3,+10、解不等式 |2x11 |x 4| x1o11、设函数f (x) ax 2，不等式| f (x) |6的解集为(已知不等式oo )试求不等式提高题12、13、14、15、f(x)1的解集。用或 < 或或填空:abababab已知已知已知1, 2)I )。h 0，设命题甲为两个实数h，那么甲