第4章机械振动A(完全版001)第一节

1、1第第 4 章章(Vibration)(6)(Vibration and wave)2 一般地说一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为时间作周期性变化都可以称为振动振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动振动有机械振动、电磁振动、光振动.。本章着重研究机械振动。本章着重研究机械振动。 而振动中最简单最基而振动中最简单最基本最有代表性的是本最有代表性的是简谐振动简谐振动，这将是我们学习的，这将是我们学习的重点。重点。学习中的重点和难点是：学习中的重点和难点是：相相(phase)3一一 .简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 一质点沿一

2、质点沿x轴作直线运动，取轴作直线运动，取平衡位置为坐标平衡位置为坐标原点原点，若质点对平衡位置的位移，若质点对平衡位置的位移(坐标坐标)x随时间随时间t按按余弦变化余弦变化,即即则称质点作则称质点作简谐振动简谐振动(谐振动谐振动)。上式称为振动方程。上式称为振动方程。 上式中上式中: A, , 为谐振动的三个特征量为谐振动的三个特征量,均为均为常量。常量。x =Acos( t+ )xmko(平衡位置平衡位置)x4x =Acos( t+ )三三.谐振动的特征谐振动的特征22TA 振幅振幅 (对平衡位置最大位移的绝对值对平衡位置最大位移的绝对值)。 角频率角频率 初相初相(t=0时的相时的相)。等

3、幅振动，等幅振动，A不变；不变；周期振动，周期振动，x(t)=x(t+T)。)( t+ ) 相相(位相，相位，周相位相，相位，周相 )。二二 .三个特征量三个特征量周期振动，周期振动，x(t)=x(t+T)。T表示完成一次全振动所需要的时间表示完成一次全振动所需要的时间 表示一秒完成全振动的次数表示一秒完成全振动的次数5加速度：加速度：)cos(2tAdtda四四.质点的振动状态完全由相位确定质点的振动状态完全由相位确定)sin(tAdtdxx =Acos( t+ )质点的简谐振动状态由下面两个物理量确定：质点的简谐振动状态由下面两个物理量确定：速度：速度：)sin(tAdtdx显然，它们都是

4、谐振动。显然，它们都是谐振动。, m= A, am= 2A显然，它们由相位唯一确定。显然，它们由相位唯一确定。6五五 .振动的超前与落后振动的超前与落后设有两个设有两个同频率同频率的谐振动：的谐振动： x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)振动振动x2超前超前x1( 2 - 1) ；振动振动x2落后落后x1( 2 - 1) ；振动振动x2和和x1同相同相 ；振动振动x2和和x1反相反相 。相差相差 = 2 - 1例例1 x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )= Acos( t+ + /2 )a =- 2Acos( t+ )= 2Acos( t+ + )=

5、- 2x 超前超前x /2； a 超前超前 /2； a与与 x反相反相。 0,=0,0,= ,7例例2 x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t )23x2 超前超前 x123 =0.4cos( t )2x1 超前超前 x2212)(81.解析法解析法：角频率角频率 由由谐振系统确定。谐振系统确定。对弹簧振子：对弹簧振子： 振幅振幅A和初相和初相 由由初始条件初始条件(即即t=0时刻物体的运时刻物体的运动状态动状态)来确定：来确定：当当t=0时，时，xo =Acos o = - Asin 222ooxAooxtg =- Asin( t+ )x =Acos( t+ )x =Ac

6、os( t+ )mk/9 例题例题一质点沿一质点沿x轴作谐振动，周期轴作谐振动，周期T= s, t=0时，时，,2mxo,/22smo求振动方程。求振动方程。解：解：22T2222ooxA4+ 43mtx)432cos(2得代入：代入：x =Acos( t+ ), 1ooxtg10oM =A 矢量矢量oM绕绕o点以角速点以角速度度 作作逆时针逆时针的的匀速匀速转转动动, 端点端点M在在x轴上的投轴上的投影点影点(p点点)的位移：的位移： x =Acos( t+ ) 显然，显然，p点的运动就点的运动就是简谐振动。是简谐振动。 矢量矢量oM与与x轴正方向轴正方向间的夹角：间的夹角：( t+ ) 相

7、相 =- Asin( t+ )MAox oM转一圈转一圈,就是谐振就是谐振动的一个周期动的一个周期T 。( t+ )pxtAV2.旋旋转转矢矢量量法法11ox例题例题 求简谐振动质点的初相求简谐振动质点的初相 。 (1)t=0时，质点经过平衡时，质点经过平衡位置正向位置正向x轴正方向运动轴正方向运动, 则则 =3 /2(或或- /2)。 (2)t=0时，时， xo=A/2，质点，质点正向正向x轴负方向运动轴负方向运动, 则则 =xo =Acos (3)t=0时，时， 质质点正向点正向x轴正方向运动轴正方向运动, 则则 =,22Axo /3。5 /45 /4 or -3 /4简谐振动速度简谐振动

8、速度上负下正上负下正旋转矢量在旋转矢量在x轴的上方，轴的上方，对应简谐振动的速度小于零对应简谐振动的速度小于零。注意：注意：平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置 /3AA12 例题例题 一质点作简谐振动，一质点作简谐振动，T=2s, A=0.12m, t=0时，时，xo=0.06m, 向向x轴正方向运动，求：轴正方向运动，求： (1)振动方程；振动方程； (2)t=0.5s时的速度和加速度；时的速度和加速度； (3)在在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的速度和加轴负方向运动时刻的速度和加速度速度; (4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡

9、位置所需的最短时间。置所需的最短时间。解解 (1) x=0.12cos( t )m3(2)3sin(12. 0tdtdx -0.19 (m/s)t= 0.5)3cos(12. 02tdtda-1.03(m/s2)t= 0.5xA23 13 (3)在在x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻的速度和加轴负方向运动时刻的速度和加速度速度:)3cos(12. 02tdtda)3sin(12. 0tdtdx32ox2A32将相位代入得：将相位代入得：)3sin(12. 0tdtdx=-0.33(m/s)3cos(12. 02tdtda=0.59(m/s2)。)3(t关键是找出相位：关键是找出相位：

10、14 (4)从从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时刻回到平衡位轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：置所需的最短时间：旋转矢量转过的角度：旋转矢量转过的角度：653223旋转矢量转动的角速度：旋转矢量转动的角速度： = 旋转矢量转动过程所用的时间：旋转矢量转动过程所用的时间：st65 这就是谐振动质点从这就是谐振动质点从x=-0.06m,且向且向x轴负方向运动时轴负方向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。刻回到平衡位置所需的最短时间。 x=0.12cos(3 t )mox2A3215 例题例题 一质点一质点 在在x轴上作简谐振动轴上作简谐振动,t=0时该质点正通时该质点正通过过A

11、点并向右运动，经过点并向右运动，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，再经点，再经过过2s质点第二次通过质点第二次通过B点，若质点在点，若质点在A、B两点的速率两点的速率相同相同，且，且AB=10cm，求质点的振动方程。，求质点的振动方程。 解解 由于由于 A、B两点的速率相同，两点的速率相同，所以坐标原点应在所以坐标原点应在AB的中点，因的中点，因为只有对坐标原点为只有对坐标原点o对称的两点速对称的两点速率才是相同的。率才是相同的。 因因t=0时，质点正通过时，质点正通过A点点并并向右运动向右运动，所以，所以t=0时的旋转矢时的旋转矢量应在第三象限。量应在第三象限。t=0t=2t=4 从

12、从t=0开始，经过开始，经过2s质点第一次通过质点第一次通过B点，点，周期周期T=8s。BxA.o再经过再经过2s质点第二次通过质点第二次通过B点点。1642T 由于周期由于周期T=8s，所以从，所以从t=0到到t=2s，旋转矢量应转过，旋转矢量应转过90。可见，可见， t=0时的旋转矢量与时的旋转矢量与y轴轴负方向成负方向成45。由图可知，初相由图可知，初相 =-3 /4。 因因OA=5cm, 由等腰直角三由等腰直角三角形角形OAC可求出振幅：可求出振幅：)(255522cmA振动方程为振动方程为cmtx)434cos(2545BAxt=0t=2t=4CoA173.曲线法曲线法)cos(8

13、. 00tx20oxt=01x(m)ot(s)0.8三点法（式）B O (xo,vo)位置零点位置零点 (x,)2/cos(8 . 0t18cos6x( )cmt1253ox65,t=2t125/363t=02x(cm)ot(s)6319oxx=8cos( )cm43t43A22 /443,t=1t,431x(cm)ot(s)824t=0,24oxA22t=0t=120 如图所示如图所示,取取平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点，物体对平衡，物体对平衡位置的位移为位置的位移为x时时,所受的弹性力为所受的弹性力为xmko(平衡位置平衡位置)xkxF式中式中:k为弹簧的倔强为弹簧的倔强(劲度劲度)

14、系数系数;负号表示力与位移的负号表示力与位移的方向相反。方向相反。 根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的力学方程是力学方程是22dtxdmmakx,2mk令xdtxd2223 .简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程21xdtxd222上式就是上式就是简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程。 简谐振动的动力学方程描述的是简谐振动的普遍简谐振动的动力学方程描述的是简谐振动的普遍规律规律. 注意注意:研究简谐振动时研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置坐标原点只能取在平衡位置。平衡位置平衡位置: 0M, 0外外或Fox(原长原长)m(平衡位置平

15、衡位置)k这个方程的解为这个方程的解为 x =Acos( t+ )这正是这正是简谐振动的运动学方程。简谐振动的运动学方程。22x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )振动势能：振动势能：振动动能：振动动能： 对弹簧振子对弹簧振子(任何一个谐振动也都可以等效为一个任何一个谐振动也都可以等效为一个弹簧振子弹簧振子)，有，有 k=m 2221mEk)(sin21222tAm221kxEp)(cos2122tkA=恒量恒量221kAEEEpk总能：总能：ox(原长原长)m(平衡位置平衡位置)k23 (1)由上面可以看出由上面可以看出,谐振系统的动能和势能都随时谐振系统的动能和势能都随时间

16、间t作周期性的变化；而且作周期性的变化；而且, 动能和势能的周期为其振动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。动周期的二分之一。势能最大时势能最大时,动能最小动能最小;动能最大动能最大时时,势能最小势能最小。但系统的但系统的总机械能守恒总机械能守恒。)(sin21212222tAmmEk)(cos2121222tkAkxEpEkAdtETETpP2141120(2)平均势能：平均势能：平均动能：平均动能：EkAdtETETkk2141120221kAEEEpk=恒量恒量24(3)振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能与弹性势能一般是不相同的。振动势能：振动势能：,212kxEp其中其中x是

17、对平衡位置的位移。是对平衡位置的位移。弹性势能：弹性势能：,212kxEp其中其中x是弹簧的伸长量。是弹簧的伸长量。221kxEp振2)(21xxkEop弹例例221kxEEpp振弹xo(原长原长)(平衡位置平衡位置)xmxomxo(原长原长)(平衡位置平衡位置)x25 例题例题如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的如图，有一光滑水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数倔强系数k=24N/m, 物体的质量物体的质量m=6kg, 静止在平衡位静止在平衡位置。设以一水平恒力置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体，使之由向左作用于物体，使之由平衡位置向左运动了平衡位置向左运动了s=0.05m, 此时撤去外力此时撤去外力F。取物。取物体运动到左方最远处开始计时，求：体运动到左方最远处开始计时，求：(1)物体的运动方物体的运动方程程; (2)何处何处Ek=