一元二次不等式的解法教案宁龙

1、学习必备欢迎下载3.23.2 一元二次不等式及其解法3.2.13.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 教学重点 1从实际问题中抽象出一元二次不等式模型2围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程；2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；3.会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.二、过程与方法1采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.

2、发挥学生的主体作用，作好探究性实验；3. 理论联系实际，激发学生的学习兴趣.三、情感态度与价值观1通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的 数学思想；2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、 相互转化的，树立辩证的世界观.教学过程 导入新课上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司( In ternet ServiceProvider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家 ISP 公司可供选择，公司 A 每小时收费 1.5 元；(不足 1 小时按

3、 1 小时计算)；公司 B 的收费原则是在用户上网的第一小时 内收费1.7 元，第二小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元.(若用户一次上网时间 超过 17 小时，按 17 小时计算)一般来说，一次上网时间不会超过 17 小时，所以，不妨一次上网时间总小于 17 小 时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A 的上网费用小于或等于选择公司 B 所需费用？师生互动过程假设一次上网 x 小时，则 A 公司收取的费用为 1.5x,那么 B 公司收取的费用为多少？ 怎样得来？B 公司收取的费用的结果是X(35一x)元，因为是等差数列，其首项为 1.7,公差为-0.1,20项数为 x

4、 的和，即1.7x血 珥一0.1) =x(35_x).2 20如果能够保证选择 A 公司比选择 B 公司所需费用少，则如何列式？由题设条件应列式为x(35-x) 1.5x，(00 0 或 axax2+bx+c+bx+cv0 0 (a a0. . 那么如何求解呢？ 二次函数 y=x2-5x 的图象如下： 由函数图象(如上图)可知： 当 x=0 或 x=5 时，y=0，即 x2-5x=0 ；当 Ovxv5 时，yv0，即X2-5XV0； 当 xv0 或 x5 时，y 0，即 x2-5x0. 这就是说，若抛物线 y=x2-5x 与 x 轴的交点是(0，0)与(5，0), 则一元二次方程 x2-5x=

5、0 的解就是 xi=0，X2=5. 一元二次不等式 x2-5xv0 的解集是x|0vxv5; 一元二次不等式 x2-5x 0的解集是xx 5.教师精讲一元二次不等式的解法步骤：一求解，作为一元二次方程求解；二画图，作为一元二次函数画图； 三写解集，作为一元二次不等式写解集。我们知道，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，其判别式为=2-4ac,它的解按 照0,A=0Av0 分为三种情况， 相应地， 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的相关位 置也分为三种情况(如下图)，因此，对相应的一元二次不等式 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+cv0 (a0)的解集我们也分这三种

6、情况进行讨论.学生活动过程 =b2-4ac0=0v0二次函数2y=axy=ax +bx+c(a+bx+c(a 0)0)的图象I1u0s50151 若A0， 此时抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点 图(1) ，即方程 ax +bx+c=0(a0)有两个不相等的实根 xi，X2(xivx2),则不等式 ax2+bx+c0 (a0)的解集是x|xvxi，或 xX2； 不等式 ax2+bx+cv0 (a0)的解集是x|xivxvX2.2若A=0 此时抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴只有一个交点图(2),、2b即方程 ax +bx+c=0(a0)有两个相等的实根 xi

7、=x2=,2a,2b则不等式 ax +bx+c0 (a0)的解集是x|x 冷；2a不等式 ax2+bx+cv0 (a 0)的解集是.若Av0，此时抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴没有交点图 ，即方程 ax +bx+c=0(a 0)无实根，则不等式 ax2+bx+c0 (a0)的解集是 R； 不等式 ax2+bx+cv0 (a 0)的解集是.学习必备欢迎下载方程 axax2+bx+c=0+bx+c=0 的根-b士X1 2 =2abX1=X2=-2a0axax2+bx+c+bx+c 0 0 的解集x|xvX1或 xX2xQ-養2aRaxax2+bx+c+bx+cv0 0 的解集 X|

8、X1vxvX200对于二次项系数是负数（即 av0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解 例题讲解【例 1 11解不等式 4x2 4x + 10解：因 4x2 4x+ 1 = 0 对应的= 16 16= 0,则方程 4x2 4x+ 1 = 0 的解是 Xi= X2=-2所以，原不等式的解集是x | x 工12【例 2 21解不等式-x2+2x-30.解：整理化简，得 x2-2x+3v0.因为0.解：因为0，2X2-3X-2=0的解是 X1= -1,x2=2.所以解集是x|xv-丄，或 x2.2 2【练 2 21解不等式 2x2-3X-20，2x-3x-2=0的解是X1=,x2=2.所以

9、不等式的解集是x|vxv2.2 2【练 31解不等式x2-3x 50解：Tx23x+5=0,其4=920v0故 x2 3x + 5 = 0 无实数解原不等式的解集为 R【练 4 41解不等式3x-3 x-43 或xv-1，求 b 与c方法引导上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课 程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇 于探索的精神.课堂小结1. 一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二 次不等式，它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+cv0 (a0.2.求解一元二次不等

10、式的步骤和解一元二次不等式的程序. 布置作业1. 完成第 80 页的练习.2. 完成第 80 页习题 3.2 第 1 题.板书设计一元二次不等式及其解法多媒体演示区一元二次不等式概念【练 6 6】已知不等式宀px+q 3x .解：原不等式等价于 3x2 x-2V0,解方程 3x2x 2=0 得两根：捲二-2, X2=1.原不等式的解集为(, 1).332.解下列不等式：(1) 2+3x2X2V0; (2) x2+2x 3x 0; (3) x2 4x+4 0.解：(1)原不等式等价于 2x2-3x-2 0.由 2x? 3x 2=0 得 xix4=0，方程 x -4x+4=0 有等根 X1=X2=

11、2,原不等式的解集为 蚀 R,且汁2.点评: :1.要严格按 解法步骤”求解.2.最后要用集合表示法表出解集.如本例(1)用区间表示出解集；本例(3)用大括号表 示解集，该题的解集也可用区间表为(-8,2U(2,+8,)但有的同学把第(3)题的解集表 示为 x 工2这是错误的二、阅读材料法国数学家韦达韦达，1540 年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈他早年学习法律，曾以律师身份 在法国议会里工作，韦达不是专职数学家，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇 研究数学，并作出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意 识地和系

12、统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带来了代数学理论研究的重大 进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把 叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为韦达定理”.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进.他在 1591 年所写的分析术引论是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的 原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用他还写下了数学典则，1579 年，韦达出版应用于三角形的数学定律这是欧洲第一本使用六种三 角函数的系统的平面、球面三角学主要著作还有论方程的识别与修正分析五章 等.韦达的著作以独特

13、形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成 韦达 文集于 1646 年出版.韦达 1603 年卒于巴黎，享年 63 岁.由于韦达作出了许多重要贡献，成为 16 世纪法 国最杰出的数学家，在欧洲被尊称为代数学之父”.中国在一元二次方程方面的成就从九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就. 九章算学习必备欢迎下载术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正像我们现在学习初等代数时从 正负数的四则运算学起一样，负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方程在公元前 1世纪的时候已有多元方程组、

14、一元二次方程及不定方程几种一元二次方程是借用几何图 形而得到证明.不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年.具有 x3+px2+qx=A 和 x3+px2=A 形式的三次方 程，中国在公元七世纪的唐代王孝通缉古算经”已有记载，用 从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改 动他著作内的一个字可酬以千金.11 世纪的贾宪已发明了和霍纳(17861837)方法相同的 数字方程解法，我们也不能忘记 13 世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界 数学史上对方程的原始记载有着不同

15、的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了 .四元术是天元术发展的必然产物.级数是古老的东西，二千多年前的周髀算经”和九章算术”都谈到算术级数和几何级数.14 世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高 的评价，他的有些工作欧洲在十八九世纪的著作内才有记录.11 世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法.历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术 是由中国传往欧洲的.内插法的计算，中国可上溯到 6 世纪的刘焯，并且 7 世纪末的僧一 行有不等间距的内插法计算.14 世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一 .就是到十八九 世纪由李锐(17731817)，汪莱(1

16、7681813)到李善兰(18111882)，他们在这一方面的 研究上也都发表了很多的名著.学习必备欢迎下载从容说课本节课是人民教育出版社 A 版必修数学 5 第三章不等式第二大节 3.2 元二次不等 式及其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时，第一个学时先由师 生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、 求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概 念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析 和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元 二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念 后，再回归到先前的具