《空间向量在立体几何中的应用》教学设计教学教材

1、1 空间向量在立体几何中的应用教学设计 一. 教学目标 （一） 知识与技能 1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值； 2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题. （二） 过程与方法 1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程； 2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程. （三） 情感态度与价值观 1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量 解决平行与垂直问题的过程，让学生体会几何问题代数化，领悟解析几何的思想; 2. 培养学生向量的代数运算推理能力； 3. 培养学生理解、运用知识的能力. 二. 教学重、难点 重点：用空间向量求

2、线线角、线面角、二面角的余弦值及解决平行与垂直问 题. 难点：用空间向量求二面角的余弦值. 三. 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法. 四. 教学用具：电脑、投影仪. 五. 教学设计 （一） 新课导入 1. 提问学生： （1） 怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？ （2） 能否用代数运算来解决平行与垂直问题？ （二） 新课学习 1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值 . （1）设hh是两条异面直线，A,B是11上的任意两点，C,D是直线12上的任意 （2）设 AB 是平面 的斜线，且B ,BC是斜线 AB 在平面 内的射影，则 AB?BC r 斜线 AB 与平

3、面 所成的角的余弦值为 一: - r .设n是平面 的法向量，AB AB ? BC 是平面 AB ?n 的一条斜线，则 AB 与平面 所成的角的余弦值为|. |AB| 期 两点，则11,12所成的角的余弦值为 AB?CD 3 2 ir uu (3) 设口也是二面角 平面角或补角的余弦值. 例 1:在棱长为a的正方体 ABCD ABCD中，EF 分别是BC,AD的中点, 分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA，建立空间直角坐标系 A-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到所求的结果. 解：(1)如图建立坐标系，则 A(0,0,a),C(a

4、,a,0), D(0,a,0), E(a,|,0). uuu a (a,a, a), DE (a, |,0). (2) Q ADE ADF ,所以 AD 在平面 BEDF 内的射影在 EDF 的平分线 上，又 BEDF 为菱形， DB为 EDF 的平分线，故直线 AD 与平面 BEDF 所成 的角为 ADB，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B(a,0,a),D(0,a,0)， uuu UULU uuu uuu DA (0, a,0), DB (a, a, a)， cos DA, DB 故 AD 与平面 BEDF 所成角的余弦值为 .uuur unr AC ?DE ucu AC ? u

5、uu D.15 15 uuu unr AC, DE uur uiuu DA?DB uur D? uuuu n1 ? n2 n1 ? n2 uuir cos 故AC 与 DE所成的角的余弦值为 、15 就是二面角的 l 的面，的法向量，则 3 3 a (3)由 A(0,0,0), A(O,O,a),B(a,O,a),D(O,a,O),( (勺勺, ,。) )，所以平面 ABCD 的 ir unr 法向量为 m AA (O,O,a),下面求平面 BEDF 的法向量， 设 n (1,y, z)，由 uuu a uur, ED ( a, ,O), EB 2 r UUT a n?ED O (O, -,a

6、)， r uur 2 n?EB O y 2 z 1， n (1,2,1). 所以，平面BEDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 . 6 课堂练习： 1. 如图，PA 平面 ABC , AC BC,PA AC 1,BC ,2，求二面角 cos A PB C 的余弦值. n, m 3 4 参考答案: 解：建立如图所示空间直角坐标系 C xyz，取 PB 的中点 D，连DC,可证 LULT UUU DC PB，作 AE PB 于 E，则向量DC与 EA的夹角的大小为二面角 A PB C 的大小。Q A(1,O,O), B(O.2,O), C(O,O,O), P(1,O,1)，D 为 PB 的中

7、点, 12 1 PE (2，丁2)，在 RtvPAB 中, EEAP AB2 uuu 1 E 分 PB 的比为丄， E(汀 3) EA(丄$刍 4 4 4 1 uuu 2， UULT DC 1 UUU UULT 2)，EA?DC 3 5 二面角 A PC C 的余弦值为二. 3 引导学生归纳： 用空间向量求二面角的余弦值时，是将求二面角的余弦值问题转化为求两平 面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确： （1） 当法向量懵与儘的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等 ir in 于法向量口与阳的夹角的大小； n uu （2） 当法向量山与 rb 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面

8、角的大小 ur uu - r uu 等于法向量厲与 r2的夹角的补角 ri,r2 . 2. 利用向量向量解决平行与垂直问题 例 2:如图,在直三棱柱 ABC- ABiC 中，AO3，BO4，AA= 4，AB 5,点 D 是 AB 的中点， （I ）求证：AC 丄 BC; （II ）求证：AiC/平面 CDB 分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC,建立空间直角坐标系 C-xyz，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就 可以得到两条直线垂直或平行. 解：直三棱柱 ABC- ABC 底面三边长 AO3，BO4, A 吐吐 5,二 AC BC C1C 两两垂直

9、，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA CB GC 分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系，则 C （0,0，0），A（ 3,0，0），G （0,0，4），B （0,4，0）， 3 B1 （0,4，4），D （ 3，2,0 ） 2 （1）v AC =（ 3,0，0），BC； =（ 0，- 4,0 ），二 AC?BC； = 0,二 ACL BC.uuur DC 1,cos urn uur EA,DC _3 3 6 (2)设 CB 与 CB 的交战为 E,则 E (0,2 , 2) . v DE , 0,2 ), AG = 2 uur 1 uuuu 十 十 (3,0 , 4),二 D

10、E -AC,，二 DE/ AC. v DE 平面 CDB, AC 平面 CDB 2 ACi/ 平面 CDB 引导学生归纳： (1) 垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零； (2) 平行问题转化为：面面平行 线面平行 线线平行. 课堂练习： 2. 在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AC 3,BC 4, AB 5, AA1 4, (1)求证AC BCi； (2)在 AB 上是否存在点 D 使得ACi CD? (3)在 AB 上是否存在点 D 使得AC/平面 CDB1. B1 参考答案： 解：直三棱柱 ABC A1B1C1，AC 3, BC 4, AB 5,AC,BC,CC1 两两垂直，以

11、 C 为坐标原点，直线CA,CB,CC1分别为x轴 y 轴，z轴，建立空间直角坐标系, 则 C(0,0, 4), A(3,0,0), G(0,0, 4) , B(0,4,0), BO, 4,4). UULT UUUU (1) Q AC ( 3,0,0), BG (0, 4,4), UUU UUUU AC ? 0, UUU UUUU AC BC1 AC BC. UUUUU (2)假设在 AB 上存在点 D，使得AC1 CD，则 AD AB ( 3 ,4 ,0) UULT UUUU 其中 0 1，则D(3 3 ,4 ,0)，于是CD (3 3 ,4 ,0)由于 AC1 ( 3,0,4), 且 AC

12、1 CD . 3 7 所以 9 9 0 得 1，所以在 AB 上存在点 D 使得AC1 CD，且这时点 D 与 点 B 重合. UULT UUU (3) 假设在 AB 上存在点 D 使得AG平面 CDB1，则AD AB ( 3 ,4 ,0)8 uuun ujir 其中 0 1 则 D(3 3 ,4 ,0)，B1D (3 3 ,4 4, 4)又 B1C (0, 4, 4). jjjj 由于 AC1 ( 3,0,4) ， AG 平面 CDB1 ， 所以 存 在 实 数 jjjj uu uur m, n,使 mB1D nBC 成立，m(3 3 ) 4) 4n 0, 4 4n 4, 1 所以 2，所以在 AB 上存在点 D 使得AC1 平面 CDB1，且 D 使AB 的中点. 引导学生感悟： 空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运 算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的夹角、平行与垂直等问题中体现出 巨大的优越性 (二)课外作业 ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90