27.2相似三角形同步练习新人教版

1、27.2 相似三角形专题一 相似形中的开放题1 如图，在正方形网2 格中，点 A、B、C、D都是格点，点 E 是线段 AC上任 意一点 如果 AD=1，那么当 AE=时，以点 A、D、E 为顶点的三角形与 ABC相似1 已知：如图， ABC中，点 D、E分别在边 AB、AC上 . 连接 DE并延长交 BC 的延长线于点 F，连接 DC、BE， BDE+BCE=180°.(1) 写出图中三对相似三角形(注意：不得添加字母和线)；(2) 请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由专题二 相似形中的实际应用题3如图，已知零件的外径为 a，要求它的厚度 x，需先求出 内孔的直径

2、AB，现用一个交叉卡钳 （两条尺长 AC和 BD相 等）去量，若 OA: OC=OB: OD=n，且量得 CD=b，求厚度 x.专题三 相似形 中的探究规律题 4某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩 纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt ABC中， C90°， AC 30 cm，AB50 cm，依次裁下宽为 1 cm 的矩 形纸条 a1、a2、a2若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是A 24BD2725 C 265如图，在 Rt ABC中， C=90°， AC=4，BC=3（ 1）如图，四边形 DEFG为 ABC的

3、内接正方形，求正 方形的边长；（2）如图，正方形 DKHG，EKHF组成的矩形内接于 ABC， 求正方形的边长；（3）如图，三个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长；（4）如图， n 个正方形组成的矩形内接于 ABC，求正方形的边长专题四 相似形中的阅读理解题6某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方，请你协助他们探索下列 问题：(1) 写 出 判 定 扇 形 相 似 的 一 种 方 法 ： 若 ，则两个

4、扇形相似；(2) 有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为 2a，则它的弧长为；(3) 如图 1，是完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和 AC的夹角为 120°， AB为 30cm,现要做一个和它形状相同，面 积是它的一半的纸扇（如图 2），求新做纸扇（扇形）的圆 心角和半径 .图图2专题五 相似形中的操作题7宽与长的比是 52 1的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感 现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳 如下（如图所示） ： 第一步：作一个正方形 ABC；D 第二步：分别取 AD， BC的中点 M，N，连

5、接 MN； 第三步：以 N 为圆心， ND长为半径画弧，交 BC的延长线 于 E； 第四步：过 E 作 EFAD，交 AD的延长线于 F 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF为黄金矩形8如图，将菱形纸片 AB（ E）CD（ F）沿对角线 BD（EF） 剪开，得到 ABD和ECF，固定 ABD，并把 ABD与 ECF 叠放在一起（1）操作：如图，将 ECF的顶点 F固定在 ABD的 BD 边上的中点处， ECF绕点F 在 BD边上方左右旋转，设旋转时 FC交 BA于点 H（ H点不与 B点重合），FE交 DA 于点 G（ G点不与 D点重合）求证： BH?GD=B2；F （2）操作：如图， EC

6、F的顶点 F在 ABD的 BD边上滑 动（ F点不与 B、D点重合），且 CF始终经过点 A，过点 A 作 AGCE，交 FE于点 G，连接 DG 探究： FD+DG= DB，请给予证明专题六 相似形中的综合题9正方形 ABCD的边长为 4， M、N 分别是 BC、CD上的两个 动点，且始终保持 AMMN当 BM=时，四边形 ABCN的面积最大10如图，在锐角 ABC中， AC是最短边，以 AC的中点 O 为圆心， 1 AC长为半径作 O，交 BC于 E，过 O作 ODBC 2交 O于 D，连接 AE、AD、DC1）求证： D是 AE的中点；2）求证： DAO= B +BAD；（3）若 S C

7、EFS OCD 长.1 ，且 AC=4，求 CF 的2【知识要点 】 1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所 得对应线段成比例 .2平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线） 所得的对应线段的比相等 .3平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似 .4 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三 角形相似 .5如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹 角相等，那么这两个三角形相似 .6如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 .7相似三角形周长的比等于相似比 . 相似多边形周长的比等 于相似比 .8

8、相似三角形对应高的比等于相似比 .9相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方 .【温馨提示 】 1平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.2当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似时，比例式常有两种情 况，考虑不全面是遗漏解的主要原因 .3数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发 现与提出需要从特殊到一般的数学归纳思想，平时要养 成观察、分析问题的习惯 .方法技巧 】1相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比 .2在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首 先通过观察找出图形中相似的

9、三角形，再从理论上证明 观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题参考答案1 2 2或 24AACE ，即13 6AE2 ，解析】根据题意得 AD=1，AB=3，AC= 62 62 =6 2，A=A，若 ADE ABC时， AD AB解得 AE=2 2若ADEACB时， AD AE ，即 1 AE，解得 AE= 2.AC AB 6 2 3 4当 AE=2 2或 2 时，以点 A、D、E为顶点的三角形与4ABC相似2解：（1）ADEACB，CEFDBF，EFBCFD（ 不 唯一 ）.（2）由 BDE+BCE=180°，可得 ADE=BCE. A=A，ADEACB;AD = AEA

10、=A，AEBADC;BDE+BCE=180BCE+ECF=180°，ECF=BDF，又F=F， CEF DBF; EFBFCDFF ， 而 F=F，EFBCFD.3解： OA: OCOB: ODn 且AOBCOD, AOBCO.D OA:OCAB:CDn ,又 CDb, AB=C·D nnb， xaABanb24 C【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n，且每条纸条的长度都不小于 5cm， BC AB2 AC2 40(cm) 设矩形纸条的长边分别与 AC、 AB交于点 M、N，因为 AMN ACB，所以 AM MN 又因为 AM=AC-1· n=30-n ， AC B

11、CMN 5 cm，所以 30 n 5 ，得 n26.25 ，所以 n 最多取整30 40数 26 5解：( 1)在题图中过点 C作 CNAB于点 N，交 GF于点 M因为 C=90°，AC=4，BC=3，所以 AB=5 因为 1 ×5CN=1 22 ×3×4，所以 CN=12 5因 为 GFAB， 所 以 CGF=A， CFG=B， 所 以CGF CAB，所以 CM GF CN AB设正方形的边长为12x x，则 51255x，解得53607所以正方形的边长为 60 3712 同( 1)，有 512512 x 同( 1)，有 5 x12512 x同( 1

12、)，有 5125(1) 答案不唯一，2)3)4)6解：25x ，解得535x，解得xnx ，解得 x5604960616025 12n如“圆心角相等”半径和弧长对应成比例”设另一个(2) 由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例， 扇形的弧长为 x，则 a =m , x=2m.2a x(3) 两个扇形相似，新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于 120° .设新做扇形的半径为 ，则 30=21 ， =15 2 ，即新做扇2形的半径为 15 2 .7证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a， N为 BC的中点，1 NC BC a.2 在 Rt DNC中， ND NC2 CD 2

13、a2 (2a)2 5a.NE=ND， CE NE CN ( 5 1)a .CD2aCE ( 5 1)a 5 1 ，故矩形 DCEF为黄金矩形 .8解：（1）证明：将菱形纸片 AB（ E）CD（ F）沿对角线 BD（ EF）剪开， B=D.将ECF的顶点 F固定在 ABD的 BD边上的中点处， ECF绕点 F 在 BD边上方左右旋转， BF=DF. HFG=B， GFD=BHF， BFH DGF，BF BH ，DG DFBH?G=DBF2.（2）证明： AGCE， FAGC. CFE=CEF， AGF=CFE， AF=AG.BAD=C，BAF=DAG，ABFADG，FB=DG， FD+DG=D，B9210解：（1）证明：AC是 O的直径，AEBC. ODBC， AEOD， D是 AE的中点 .（2）方法一：证明：如图，延长 OD交 AB于 G，则OGBC. AGD= B. OA=OD， DAO= ADO. ADO= BAD+AGD ， DAO= B +BA