一元二次方程的应用-几何应用

1、第11课时一元二次方程的应用（2）几何应用姓名1.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线 AC剪开，再把 ABC沿着AD方向平移，得到ABC, 若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离 AA等于多少？2.如图，要设计一幅宽 20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2： 1,如果要使彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条宽度为多少?75,另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长3.利用一面墙（墙的长度不限）4 .用一条长为60cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A . 240B. 225C. 60D.

2、 305 .如图，在 4ABC中，/ABC=90, AB=8cm, BC=6cm.动点P, Q分别从点A, B同时开始移动，点 P 的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cmz秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动.几秒后 4PBQ 的面积为15cm2 ?6 .如图所示，在 ABC中，ZB=90 , AB=6cm, BC=3cm,点P以1cm/s的速度从点 A开始沿边 AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点 P、Q分别从点A、B同时出发， 多少秒后P、Q之间的距离等于 472 cm.7 .在平面直角坐标系 xOy中，过原点 O及点A (0, 2)、C (6

3、, 0)作矩形OABC, / AOC的平分线交 AB 于点D.点P从点O出发，以每秒 J2个单位长度的速度沿射线 OD方向移动；同时点 Q从点O出发， 以每秒2个单位长度的速度沿 x轴正方向移动.设移动时间为 t秒，当t为多少时，4PQB为直角三角形.8 .直角4ABC中，斜边AB=5,直角边BC、AC之长是一元二次方程 x2 - (2mT) x+4 (m-1) =0的两 根，求则m的值.9 .等腰4ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作 直线运动，已知 P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时

4、间为t, APCQ的面积为S.(1)求出S关于t的函数关系式;(2)当点P运动几秒时，Sapcq=Saabc?DE的长度是否改变？证明你的结论.(3)作PEL AC于点E,当点P、Q运动时，线段10 .某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为 60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.m11 .女吧，四边形 ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a, b, c是RtAABC RtA BED边长，易知这时我们把关于 x的形如心源，&匚式+1=口的一元二次方程称为勾系一元二次方程”请解决下

5、列问题：(1)写出一个 勾系一元二次方程”；求证：关于x的勾系一元二次方程iJ+q/GK+bR必有实数根；(3)若x= - 1是勾系一元二次方程” ax 2十五匚汨bR的一个根，且四边形ACDE的周长是 正，求4ABC 面积.12 .已知：如图，在 4ABC中，/B=90, AB=5cm, BC=7cm.点P从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点 Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P, Q分别从A, B同时出发，那么几秒后，4PBQ的面积等于6cm2?(2)如果P, Q分别从A, B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中，4PQB

6、的面积能否等于 8cm2?说明理由.13 .如图，四边形ABCD为矩形，AB=16cm. AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s 的速度向B点移动，一直到达 B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动.(1) P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ的面积为33cm2?(2) P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离第一次是 10cm?(3)在运动过程中，点 P和点Q之问的距离可能是18cm吗？如果可能，求出运动时间 t,如果不可能，请说明理由.(J2取1.4)14.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm, P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D

7、出发沿 AD, BC, CB, DA 方 向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若 BQ=xcm (x0),贝U AP=2xcm, CM=3xcm, DN=x2cm.(1)当x为何值时，以PQ, MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形；(2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；(3)以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x的值；如果不能，请说明理由.A PN D参考答案1 .【解答】解：设CD与AC交于点H, AC与AB交于点G,由平移的性质知，AB与CD平行且相等，

8、/ACB=45, / DHA=/DA H=45, ADAH是等腰直角三角形， AD=DH,四边形AGCH是平行四边形， SAGCH=HC?BC= (CD DH) ?DH =1 ,DH=AD=1 , AA=AD - AD=1 .故答案为1.2 .【解答】解：设竖彩条的宽为 xcm,则横彩条的宽为 2xcm,则 （30- 2x） （ 20 - 4x） =30 20 X （1-工J）,75整理得：x2-20x+19=0,解得：x1=1 , x2=19 （不合题意，舍去）.答：竖彩条的宽度为 1cm.3 . x （58-2x） =200解得：x1=25, x2=4，另一边为8米或50米.答：当矩形长为

9、25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米.4 .【解答】 解：设围成面积为 acm2的长方形的长为 xcm,则宽为（60登-x） cm,依题意，得 x （60-x） =a,整理，得x2-30x+a=0, =900 4a 用，解得a 35,，a的值不可能为240;25 .【解答】解：设动点P, Q运动t秒后，能使4PBQ的面积为15cm , 则BP为（8-t） cm, BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得， ix (8-t) X2t=15解得t1=3, t2=5 （当t=5时，BQ=10,不合题意，舍去）.答：动点P, Q运动3秒时，能使4PBQ的面积为15cm2.6 .【解答】解

10、：设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于 4回cm, AP=1 ?x=x , BQ=2x ,BP=AB AP=6 x, bp2+bq2=pq2,即（6 x） 2+ （2x） 2= （4近）2, I Fl解得：xi=x2=2 （不合题意，舍去）.答：点P、Q分别从点A、B同时出发，|s后P、Q之间的距离等于 4叵cm.7.【解答】 解：作PGXOC于点G,在RtAPOG中, / POQ=45 ,/ OPG=45 ,.0P=、扬,.OG=PG=t,.点 P (t, t),又Q (2t, 0), B (6, 2),根据勾股定理可得：PB2= (6-t) 2+ (2- t) 2,

11、 QB2= (6 - 2t) 2+22, PQ2= (2t- t) 2+t2=2t2, 222若/PQB=90 ,则有 PQ +BQ =PB ,即：2t2+ (6- 2t) 2+22= (6-t) 2+ (2- t) 2,整理得：412 - 8t=0,解得：ti=0 (舍去)，t2=2,t=2, 若/PBQ=90 ,则有 PB2+QB2=PQ2, 29222. (6-t) + (2-t) + (6-2t) +2 =2t ,整理得：t2- 10t+20=0,解得：t=5力0:当t=2或t=5+JG或t=5 - J亏时， PQB为直角三角形.故答案为：2或5+加或5-。石.8.【解答】解：如图.设

12、 BC=a, AC=b.根据题意得 a+ b=2m- 1, ab=4 (m- 1).由勾股定理可知 a2+b2=25,29999/. a +b = (a+b) - 2ab= (2m- 1) - 8 (m- 1) =4m - 12m+9=25, 4m2 - 12m - 16=0,9即 m - 3m - 4=0,解得 mi= - 1, m2=4 .a+b=2m- 1 0,m=4.故答案为：4.9.【解答】 解：(1)当t10秒时，P在线段AB得延长线上，此时 CQ=t, PB=t- 10号 乂十乂 Ct-io) (t2- 10t)ILjh(2) Saabc=-AE*&C=5Q ri_当 tv 10

13、 秒时，s乙pcq= ClOt - t2)=50整理得t2- 10t+100=0无解（6分）当 t 10 秒时，SApcq=-2整理得t2- 10t- 100=0解得t=56再（舍去负值）（7分），当点 P 运动时,Sapcq=Saabc （8 分）（3）当点P、Q运动时，线段 DE的长度不会改变.证明：过Q作QMLAC,交直线AC于点M易证APEQCM , . AE=PE=CM=QM=t,2四边形PEQM是平行四边形，且 DE是对角线EM的一半.又 EM=AC=10-叵.DE=5/2，当点P、Q运动时，线段 DE的长度处会改变.同理，当点P在点B右侧时，DE=56综上所述，当点 P、Q运动时

14、，线段 DE的长度不会改变.10 【解答】解：设人行道的宽度为 x米，根据题意得, （18- 3x） （6- 2x） =60,化简整理得，（X- 1）（X- 8） =0.解得X1=1 , x2=8 （不合题意，舍去）.答：人行通道的宽度是 1m.11 .【解答】(1)解：当a=3二b=4, c=5时 勾系一元二次方程为 3x2+5 Jx+4=0 ;(2)证明：根据题意，得 = (!2c) 2-4ab=2c2-4aba2+b2=c2.2c2-4ab=2 ( a2+b2) - 4ab=2 (a-b) 2s0 即可 勾系一兀二次方程 目12=。必有实数根;(3)解：当 x= 1 时，有 a Jc+b

15、=0,即 a+b=c 2a+2b+6c=6Tl,即 2 (a+b) +J2c=6V2 -3-：c=6 二. c=2a2+b2=c2=4, a+b=2V2 (a+b) 2=a2+b2+2abab=2SJa abc=ab=1.212【解答】 解：(1)设 经过x秒以后4PBQ面积为6=X (5 - x) 2x=6整理得：x2 - 5x+6=0解得：x=2或x=3答：2或3秒后 PBQ的面积等于6cm2(2)当 PQ=5 时，在 RtA PBQ 中，BP2+BQ2=PQ2, (5-t) 2+ (2t) 2=52,5t2- 10t=0, t (5t- 10) =0,t1=0 , t2=2,当t=0或2

16、时，PQ的长度等于 5cm.(3)设经过x秒以后 PBQ面积为8,X (5 - x) 2x=83整理得：x2 - 5x+8=0 =25 - 32= - 76=33,2解得x=5;答：P、Q两点从出发开始到 5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;(2)设P, Q两点从出发经过t秒时，点P, Q间的距离是10cm, 作QEXAB,垂足为E,贝UQE=AD=6, PQ=10,PA=3t, CQ=BE=2t,PE=AB-AP-BE=|16- 5t|,由勾股定理，得(16-5t) 2+62=102,解得 t1=4.8, t2=1.6.答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm.(3)

17、漏18,，在运动过程中，点 P和点Q之问的距离不可能是 18cm.工|iD3CAD或14.【解答】解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ, MN为两边，以矩形的边（BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形._ 当点P与点N重合时，由x2+2x=20,得xi=/H-1, x2= -|21 - 1 （舍去）.因为BQ+CM=x+3x=4 （4五-1） 20,不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为恒-1.（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由 20 - （x+3x） =20 - （2x+x2）,解得x1=0 （舍去），x2=2.当x=2时四边形PQMN是平行四边形.当点P在点N的右侧时，由 20 - （x+3x） = （2x+x2） - 2