K清风无穷级数知识点

1、无穷级数知识点无穷级数1 .级数收敛充要条件：局部和存在且极值唯一，即：Sn lim Uk存在，称级数收敛。n k 12 .假设任意项级数Un收敛，发散，那么称Un条件收敛，假设 囚收敛，那么称n 1n 1n 1n 1级数 un绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. n 13 .任何级数收敛白必要条件是nim Un 04 .假设有两个级数Un和 Vn , Un S, Vnn 1n 1n 1n 1那么 （Un Vn） S ,Un Vn S on 1n 1n 1 Un收敛，Vn发散，那么（Un Vn）发散。n 1n 1n 1假设二者都发散，那么（Un Vn）不确定，如 1,1发散，而 1 1 0

2、收敛n 1k 1 k 1k 1n ar六，收敛,|r1n 0发目攵，r 11收敛，p 1n 1 np发放，p 11收敛，p 1n 2 nlnp n发放，p 14 .三个必须记住的常用于比拟判敛的参考级数:a）等比级数:b） P级数：c）对数级数:5 .三个重要结论（an an1）收敛lnim an存在壬项不变号级数an收a2收,n 1反之不成立， a2和b2都收敛|anbn|收，n或 回收nn6 .常用收敛快慢正整数 ln n n （0） an（a 1） n!nn由慢到快由慢到快连续型 lnx x (0)ax(a 1)xx7.正项不变号级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法limnUn

3、1Unl 1,收l l 1,发（实际上导致了 lim n 0） nl 1,单独讨论（当n为连乘时）2.柯西根值法lim unln y1,收1,发（当n为某n次方时）1,单独讨论3.比阶法代数式unVnvn收敛 n 1Un n 1I收敛，un发散Vn发散 n 1极限式lim %A,其中:vnunn 1和Vn都是正项级数n 11 . n 1Tn 一n 2 . n n 1un 3n21n1 0 1dx xundx x1, 1 、，一.4,也可选用基准级数 口就可知原级2n * 12n2n28、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧莱布尼茨判交错级数【任意项级数的特例这是个必要条件，如果不满足，那么（ “

4、m Un 0 Un Un 1（ 1）n Unn 01Un必发散，假设只有不满足，那么n收敛。不一n 0定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。任意项级数判敛的两个重要技巧:a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。b k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法,圆域X0内绝对收敛；如果级数anXn当XX1点发散，那么级数在圆域|xn 0Xi外发散。由阿贝尔Abel定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是弓 入幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意

5、，除 X X0 X0 0外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好事级数的关键。如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有 n 0确定的正数R存在，使得：10.幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域an(X X0)n ,假设 n 0anlim n an ;那么根据比值判敛法有: n -limnan 1anX0XX0limn1收敛X0R=limnanan+1收敛。收敛半径R: Ranan 1全平面收敛， 只有一个收敛点=00,收敛区间X0R,X0:级数在X X0X0R, X0 R收敛；幕级数的收敛区间是非空点集，对an(x x0)n至少

6、在x X0处收敛，对 nn anX0至少在X 0处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点R上收敛性待定，故收敛域是收敛域：由于级数在收敛区间的端点上收敛半径R四种情况之X0R,X0R、X0R,X0R、X0R,X。R 或凡 R,X。3 .在收敛区域内的性质anxn的和函数f X连续并有任意阶导数;n 04 4) anxn绝对收敛。n 011.利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项包括拉氏余项，佩亚假设余项为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。1,1) sin uScosu ln(11)nuu ( 1,1)nuu0 n!1)n1

7、)u)(1 u) tanun2n 1u u (2n 1)!2n 1 n u I u(2n)!n1)n1-n(1)( n!2n 1u0 2n 1ln2(1)n 1u ( 1,1 nu ( 1,1)0 arctanun 2n 1(1) un 0 2n 1u 1,1nnxn 1n 0 n!付立叶级数1 .周期函数展开成付里叶级数? f (x)为在l, l上周期为21的周期函数，那么?特别地，当l 时?当f(x)是偶函数 ?当f(x)是奇函数2 .非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0, l或 0,，两种区间可以令t 丁 x相互转换,为了利用付里叶级数展开，必须将 f x拓展，其方式有两种，即:1偶拓展令F(x)f(x)0f( x)l使F(x)成为上的周期偶函数，展开后取0 x l上的函数值即为x的付里叶展开。2奇拓展令F(x)f(x)0f( x)l;使F(x)成为l, l上的周期奇函数，展开后取0 x l上的函数值即为f x的付里叶展开。3.狄利克雷收敛定理设函数f x在l, l上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点,那么f x的付里叶级数收敛。并且:9.帚级数an(x x0)nn 01 .阿贝尔Abel定理如果级数anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛 点收敛，那么级数在可逐项微分 f ,(x) (anx