2021年中考数学一轮复习训练20相似三角形问题(原卷版)

1、专题20相似三角形问题专題知礁概述一、比例1. 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a、b、c、d,如果英中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或3： b=c: d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作 b d为比例内项的是两条相同的线段，即-=-或4： b=b： C,那么线段b叫做线段8, C的比例中项。b C2. 黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之 比，则可得出这一比值等于0618o这种分割称为黄金分割，分割点P叫做线段AB的黄金分割点，较长 线段叫做较短线段与全线段的比例中项。3. 平行线分

2、线段成比例左理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。4. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。5. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。2. 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。3. 三角形相似的判泄方法（1）左义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和英他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（

3、3）两个三角形相似的判泄泄理判左左理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判左左理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定泄理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简 述为三边对应成比例，两三角形相似。4. 直角三角形相似判左定理： 以上各种判左方法均适用 左理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角三角

4、形相似。 垂直法：直角三角形被斜边上的髙分成的两个直角三角形与原三角形相似。5. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应髙的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形而积的比等于相似比的平方。例Mf与对点练习【例题1】（2020河北）在如图所示的网格中，以点0为位似中心，四边形月况P的位似图形是（）5【对点练习】（2019广西北海）如图，在平而直角坐标系中，遊的三个顶点分别为月（-b 1）, 5（4, 1）, CJ-2、3）.（1）画出月庞关于点0成中心对称的 HftG;（2）以点月为位似中心，将月

5、證放大为原来的2倍得到恣G，请在第二象限内画出血G：（3）直接写岀以点凡，久G为顶点，以/1広为的平行四边形的第四个顶点D的坐标【例题2】（2019 广西贺州）如图，在個:中，D、疋分别是為 肚边上的点，DE/BC.若AD=2, AB=39 DE=4,则證等于（）【对点练习】（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、尸分别是厶4氏边的 M上的点，ADE= ZACB.若肋=2, AB=6, JC=4,则胚的长是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【例题3】（2020lU东泰安模拟）如图，矩形月万e中，AB=BC=I2,疋为出?中点，尸为M上一点,将月/沿疗折叠后，点月恰好落到G7上的点G处，则折痕矿的

6、长是【对点练习】2019黑龙江省龙东地区）一张直角三角形纸片初G Z必方=90° , AB=I0. AC=6.点。为肚边上的任一点，沿过点Q的直线折叠，使直角顶点Q落在斜边扎5上的点疋处，当万血是直角三角形时，则d的长为.【例题4】（2020杭州）如图，在丽C中，点D, E、尸分别在BU /1Q边上，DE/AC. EF/AB.（1）求证：BDEs'EFC.AF 1 = 若NT=求线段处的长； 若的而积是20,求磁的而积.【对点练习（2019四川省凉山州）如图，ABD= ABCD=W ,宓平分ZADC,过点S作BM/CD交肋于M.连接仙交场于再.（1）求证：Blf=Ai>

7、 CD(2) 若 CD=d Ap=8,求 MV的长.D一.选择题1（2020重庆）如图，HABC勾HDEF位似，点0为位似中心.已知Qh OD=Xx 2,则月證与耐的而积比为（）A. 1： 2B. 1： 3C. 1： 42. （2020浙江绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2： 5,且三角板的一边长为8皿.则投影三角板的对应边长为（）A. 200/2?B. IQCnIC. 3cmD32cm3. （2020遂宁）如图，在平行四边形MG?中，Z遊的平分线交EC于点氏 交AD于点、F,交G?的延长线于点G若AF=2FD则=的值为（2C.3A. -B.-234. （202

8、0-遂宁）如图，在正方形M仞中，点E是边證的中点，连接血、DE,分别交勿、AC于点P、Q、 过点尸作旳_肚交仿的延长线于只 下列结论： ZAEBZEAGZEDB=90° , AP=FP.®AE=学Ea 若四边形莎滋的面积为4,则该正方形的而积为36, CE EF= E0 DE.其中正确的结论有（）A. 5个B4个C. 3个D. 2个DE 15. （2020潍坊）如图，点尸是昂Q的边血上的一点，K=-连接亦并延长交Q的延长线于点尸, AE 2A. 21B. 28C. 34D. 426（2020-天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆亦测量建筑物的髙度，已知标杆庞髙15皿测得

9、AB=.flm. BC= 12. 8m,则建筑物 G?的髙是（）DA BA. 17. 5 加B. 17/nC. 16. 5功D. 18Zn7. （2019海南省）如图，在RtABC中，ZC=9Qo , AB=5. Bc=4.点尸是边M上一动点，过点F作 AB交Be于点、Q、Q为线段因的中点，当加平分/磁时，廿的长度为（）A. 131325 13D.3213二、填空题28（2020-郴州）在平而直角坐标系中，将月防以点0为位似中心，孑为位似比作位似变换，得到加沬 O已知A （2, 3）,则点扎的坐标是9. （2020乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点疋为肋的中点

10、，连结亦交/1Q于点尸.则；77=10. （2020-绥化）在平而直角坐标系中，磁和 AG的相似比等于?并且是关于原点0的位似图形,若点月的坐标为（2, 4）,则其对应点儿的坐标是 三、解答题11. （2020泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平而上，抽象岀如图（2）的平面图形，AACB与ZECD恰好为对顶角，ZABC=ZCDE=9QQ ,连接助，AB=BD,点尸是线段CE上一点 探究发现:（1）当点尸为线段少的中点时，连接莎（如图（2）,小明经过探究，得到结论：BDLDF.你认为此结论是否成立？.（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDLD

11、F.则点尸为线段6F的中点.请判断此结论是否成立.若成 立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由.问题解决：（3）若AB=6. CE=9、求肋的长.12. （2020达州）如图，在梯形丽G?中，AB/ CD. Z万=90° , AB= 6cm. CD=2cm. F为线段 證上的一动 点，且和万、Q不重合，连接用，过点尸作PELPA交射线G?于点£聪聪根据学习函数的经验，对这个问 题进行了研究：（I）通过推理.他发现如-请你帮他完成证明.（2）利用几何画板，他改变庞的长度，运动点只得到不同位置时，CE、歹的长度的对应值:当BC= 6cm时，得表1：BPfCm1CE/ Cm0.

12、 83当BC=Scm时，得表2：BP/ cm 12CE/ cm 1. 172. 00234一O1.331.501.330. 83345672. 502. 672. 502. 001. 17这说明，点P在线段證上运动时，要保证点厅总在线段Q上，氏的长度应有一泄的限制. 填空：根据函数的立义，我们可以确左，在费和比的长度这两个变量中，BP的长度为自变量,EC的长度为因变量： 设BC= men当点F在线段庞上运动时，点疋总在线段少上，求加的取值范围.13. （2020枣庄）在遊中ZACB= 90。,少是中线，AC=Ba 一个以点0为顶点的45°角绕点P旋转,使角的两边分别与月G氏的延长线相

13、交，交点分别为点E F, DF与AC交于点如DE与BC交于点、$S2(1)如图 1,若 CE=CF.求证：DE=DFX（2）如图2,在/妙绕点。旋转的过程中，试证明 少=CECFb成立：（3）若 CD=2、CF= 2,求 Zw的长.14. （2020上海）已知：如图，在菱形個S中点忒尸分别在边丽、初上，BE= DF,防的延长线交场的 延长线于点G, b的延长线交BA的延长线于点H.（1）求证：'BECs'BCH;（2）如栗求证：AG=DF.15. <2020甘孜州）如图，初是00的直径，。为。上一点，肋和过点C的切线互相垂直，垂足为。(1) 求证：ACAD=ACABX4D 2(2) 若詬=一，AC= 216.求 的长.AB 316. （2020-宁波）【基础巩固】（1）如图1,在磁中，Q为上一点，ZACD=ZB.求证：AC=AD9AB.【尝试应用】（2）如图2,在O救P中，E为BC上一点,尸为Q延长线上一点，乙BFE=ZA.若BF= 4, BE=3、求肋的长.【拓展提高】（3）如图3,在菱形救刀中，E是A巧上一点,尸是遊内一点，EF/AC, A