化二次型为标准型的方法

1、化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax2 +2bxy+ cy2 = f.（1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。，作转轴（反时针方x = x cosO-y sin。向转轴）（2）V = x sinC + v coSo把方程（1）化成标准方程，在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线 性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现， 而且数学的其他分支以及物理、力学屮也常会碰到。现

2、在就来介绍它的一些最基本的性质。设P是一数域，一个系数在数域P上的X“X2, .,Xn的二次齐次多项式f （X,xA, ,Xn） = a.eX.2 +2a“XX, +. + 2a.x.xn +. + 2a. x?xn +. + an xn2 J xn ii Ii i *in i n匕.n 二 nnil n称为数域P上的一个n元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。设xpx2,.jxn； y,y2, : yn是两组文字，系数在数域P中的一组关系式Xi=C|yi+Ci2y2+Clnynx2=c2iyi+c22y2+-c2ny nx3=c3iyi32y2-c3nyn（4）/n=cniy2*cn2y

3、2+-cnnyn称为由X|,X2,Xn到力必，,yn的一个线性替换，。如果|cJ#。，那么线性替换（4）就 称为非退化的。在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。另,ivj.由于 XjXj=XjXi，所以f （ XpX2,.,Xn） = 3llXi +23l2X!X2 +. +2ainX!Xn +322X2 + + 232nX2Xn +. + SnnXnn n=Z»,jXjXjj-1它的系数排成一个nF矩阵ail a!2<>w ainA a2l a22*e a2n A=. <anl an2/ * anm>它就称为二次型的矩阵。

4、显然它是对称矩阵。令乂=知<xn>于是二次型可写成f(XpX2, -,Xn) = XAX非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。证明：下而的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。我们 对变量的个数做数学归纳法。对于n=l,而二次型就是f(x,) = anxf已经是平方和的形式了。现假定对n-l元二次n n型,定理的结论成立。再假设 f(X,X2Xn) = ££aijXiXj (ajj=ciji) i-1 j-1分三种情况来讨论：

5、1) au(i=l, 2,，n)中是少有一个不为零，例如aH*Oo这时f(xx2,.,xn) = aHxA +SaUxixj +nEanx.x>+EEr a.xj j-2i-2i-2 j=2nn n+2ZH|Xj + ZZ %x,Xjj-2i-2 j=22 n nan X|+Na (&jXj -a； ； 2>jXj''j-i-2 j=2JIj 272 n nX|+EaH ajjXj +EE %x/j,i - 27i-2 j=2这里EE bijXjXj=.a <+££ aui-2 j=2是一个X",X的二次型。令X IIV

6、j-27i-2 j=2y 产 xi+EanVj xi = yi-Xana«jxj j-2j-2v y2 =X2即=y2丫 n =Xn这是一个非退化线性替换，它使f(xg,.,Xn) = ,aM+±文bg。1-2 J=2有归纳法假定，对寺君枣出尸)有非退化线性替换z2=c22y2+c23y3+-c2nyn« z3=c32y2+C33y3+.c3nyn 能使它变成平方和 d,z； +d 近+.以。Zn =Cn2y2+Cn3y3+.Cnny n于是非退化的线性替换z = *Z2=C22y2+C23y3+n C2nyn< Z3=C32y2+C33y3+.C3nYn.

7、zn=c 门2丫2山 n3y3c nnyn就使 f(XpX2,Xn)变成 f(XX2,.,Xn) = d2Z； +dZ；+，dnZ；由归纳法，即证。2) 所有舄都等于0,但至少一 a9(j>l),不是一般性，设a12A0o令X = Zj + Z2<2 厂它是非退化线性替换，且使f(XpX.,.,Xn) = 2ai2XiX7+.Xn = Zn n n=2aP(Z| +Z D (Z-z D+ 二2a”zS+这时上式右端是Z|,Z”.,Zn的二次型，且Z的系数不为0,属于第一种情况，定理成立。3) au =ai2 = .ain = 0 由于对称性，右 S2i =比2 = .a2n =0这

8、时f(XpX2,.,Xn)二旋心是门1元二次型。根据归纳假设，它能用非退化线性替*1 0 0*rl-1 2、因此D=0 1 00 1 -1<0 0 -3;<00 1 >令X=CY,得/W,Xj,也）二对+府3片五、化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n级是对称矩阵A,都存在一个n级是正交矩阵T,使TtAT=T*AT成对角形。n n定理 任意一个实二次型 f(x“X2,Xn) = ££aijXjXj(a'a”)j-1都可经过正交的线性替换变成平方和f （XpX2,.Xn）=d2ZUd3Z

9、j+.dnZ；其屮平方项系数dd,.,dn就使矩阵A的特征多形式全部的根。因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。正交变换更具实用性。女口：典型例 题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲而？x1 +2y2 +3z2 一解：此方程左端的二项式部分为：/（x,y,z）+2尸+3N4xy4yz下把它正交替换成标准型：*1 -2 2-1它的矩阵 A= -2 2 -2 |2E-A|= 2202-22=(A-2)(2-5)22-3（2 + 1） ,A的全部特征值是2, 5,1 .对于特征值2,求出（2EA） X=0的一个基础解系:3£3；对于特征值5,求出（5

10、E.A） X=0的一个基础解系:2J >a2 = -2把。2单位化，得二<2>32一 ；对于特征值1,求出（ E.A） X=0的一个基础解系:2<3 >%=2,把。3单位化，得二3133(20 0二，则T是正交矩阵，且T"AT= 05133。0,石2 1则 ra, y,z)=2x"+5y,-zP所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：2x+5产一广二1由此看出，这是单叶 双曲而。六、化二次型为标准形方法之四：雅可比方法(一)相关定义1、双线性函数定义V是数域P上一个线性空间，f(a,B)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量Q、8, 根据f都

11、唯一地对应于P中一个数f(a,B)呦果f(a,B)有下列性质：1) f(a, k”i + k2A )=kif(a,/7i) + k2f(6Z,/72)2) f (k,A +k2a2/?) =kif(a, /?)4畑(比 fl)其中a,/,%,昆4用是V屮任意向量，心屜是卩中任意数，则称f(«,的一个双线性函数。例如：欧式空间V的内积是V上双线性函数。2、对成双线性函数的定义f(a, 6)线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量a, 6都有f (。，B) =f(6, a),则称f(a, B)为对称双线性函数。3、度量矩阵定义设f(o , B)是数域P上n维线性空间V上的一个

12、双线性函数。上,%是V的一组'f点). f(£|,%)基，则矩阵入二：叫做f(a, 6)在习下的度量矩阵。、f(%，勺.f(£n, %,结论：双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵。(二)化二次型为标准型的雅可比方法设V是数域P上一个n维线性空间，取定V的一组基切，先，令n、凸 二 m IX= (Xy= (Yp-Myn),那么给定一个F上的n元二次型xAy (其屮A是n阶对称矩阵),则由A可以定义一'f(弓，勺.f(gn)A二 J .:个V上对称双线性函数f(a, p )= xSy,其中勺 反之亦然。在固足的基£2，上下，二

13、次型X】、Ax和对称双线性函数f( a, p) =xTAy是互相唯一确定的(都是由A确定的)o这种方法的屮心问题是：对在V的基玲虬，.,下游二次型xAx确定的对称双线性函数f(a,B)=xAy,满足条件f(7/, j)=0,对 i#j(i,j=l,2,n)我们知道，设是V的另一组基，而B=(bij) nxn =(f( i. j)是6)关于这个基的矩阵，又设C=(%)n“是由基习，勺，与到基如， n的过渡矩阵， 即n 1 = £%勺,i=l,.,n j i那么 B=C*AC,(1)即一个双线性函数关于V的两个基的两个矩阵式合同的。由于任一对称矩阵必能合同于对角矩阵。设可逆矩阵C使C*

14、AC成对角阵，.0、B=“(2)再设C是基时2,与到基如，n的过渡矩阵，由(1)式知，f(a,B)关于基,， n的矩阵是对角矩阵9)式，即f (如 o =° ,对 iHj(iJ=l,2,.,n)这表明，对于每一个对称双线性函数f(a,B),都存在一个适当的基“，：亿，使它可以写 成如下形式HPf(a, 6)=Z Bu二bZU +b”Z,ll, +. +bnnZnUn,其屮a二立，“二文叩/，从而它所确定的二次型ZTBZ可以写成标准形i-1 i-1ZtBz = buZ +b22z2 * "nnZn且二次型xAx化为zBz所作的非退化线性替换为x=C乙其屮C是由基弓，马，到基如

15、，n的过渡矩阵，它使CrAC =Bo于是，化二次型xAx为标准形的问题就可以归结为上述关于对称双线性函数的“中心问题”，为此，需要寻找满足条件(2)得V的一个基亿。在Rn中，从一个基y,出发，利用施密特正交化方法，可以构造一个与之等价的正交基，"该方法的实质就是设功=C£,% 二勺 2 切 +%&,% = CM+M+. + %,然后用待定系数法求使得(7j)=0 (其中i勺，i,j=l,2,n)的系数。为此我们先解决下问题：1)设V是数域P上一个n维线性空间，f(a, p)=xTAy使V上对称双线性函数，其屮nn与点，： 是V的一组基，a=B=£任，i=l

16、x=(Xp.,xn) ,y=(y“.,y。'A是n阶对称矩阵，那么从基勺弓，勺出发，是否能构造如下形式的基h., ”=C£,%二。口司722八艺使得f (%, j)=0,对 i 勺(iJ=1,2,.,n)解：将研二Ci, + c猝+ %与代入f(%,?)得f ( i, i) =f ( Mi = &卢 i +c.2 + .+ c 萨)=%f) + c?jf (的卄+ 6f (巩弓)，所以,若对任意的i及jvi有f(% £j)=0,则对jvi,也有f（ i. j）=。，又因双线性函数f（a,B）是对称的，则对j>i,有f （印 7j） = f （%. ,）

17、=0,即，,n是所求的基。于是，问题归结为求待定系数C|j,C2i,i=ci/|*cg卢2 + +%£（3）满足条件f（罔）= f（£j j）=0,j=l,2,i1（4）显然，若满足f（i£j） =O,WJ%的数量倍C i也满足f（ci,与）=0,故为了确定，我们再要求/满足条件f（77j,£j）=O = l.这样，可以利用条件（4） （5）唯一确定了，将式代入和，得到关于外的线性方程组chf（££） +C2if （BT2）+ +中（砧）二。c.f （”i） + Sif （”） + +。仃（"i）=。%f （切）+C2if（

18、% 克）+ +（%*） = 0CHf （§ £） + %f（£j &） + . + cuf £. £.） = 1这方程组的系数行列式为«(£,勾f(J、（6）A i= :-:O、f(«).f(£i, M因此，当A,。0时,方程组(6)由唯一解，从而可求得向量/。于是，当A=(aij)nxn=(f(£|*) ail ain的顺序主子式 A,=aii, A2=aH a*2, Anha'% A21 A22:anl an2' ' ' anm都不等于。时，可以由方程

19、组(6)求出向量j,i=l,2,，n2)由1)可知，在Aj=O, i=l, 2, n的情形下，由方程组(6)可求出上三角矩阵<CU .M>C=(Cij)nxn= :, :,<0.Cnn>从而由(3)式求得, i=l, 2, n,它们满足bii = f( Mj)=o ,对 i”j, i,j=12.,n使得双线性函数f(a , B )关于基, :劣的矩阵为，膈.0、B= C1 AC = :.：,是对角矩阵，由此可见，二次型xAx可经非退化线性替换x=C乙化成标准形z1 Bz = bnZf + b22Z2 + + bnnZ n其中 X=(X,.,Xn)T,Z=(Z,.,Zn)

20、'.下面计算bii = f(% %)i=l, 2,.» n,由(5)可得庇二f (时 i) = f ( i.C*| + c*2 + + 5= % = f 解)再由克拉默法则，由方程组(6)可解得% 二+。22,2（其屮令 Ao = I） oZi因此，如二少三，j=i, 2,，nd综上所述，我们可得以下结论:设二次型£Z>jXiXj （其屮二气）中，顺序主子式与，都不等于零，iiji 则该二次型必可化为下面的标准形：土 z?+ +%»z其中A0=l.这个化二次型为标准形的方法称为雅可比方法。典型例题：用雅可比方法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。f （玉，工？，当）=+Xg + + 3%易 + 4%土解：由于矩阵人=,它的顺序主子式A|=2, A3 = 4都44不等于零，故可用雅可比方法。8）关于基2冷点）3（M） =-f （G或2，勺的矩阵为A.则1（£|,功）f （司,郊）A= “勺上）f （&, £?）J （费）此勺妈）,7C3S