(山东专用)2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案(含解析)

1、第七讲抛物线ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测回回国网知识点一抛物线的定义抛物线需要满足以下三个条件：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离世室_ 定点F与定直线l的关系为点F?l_.知识点二抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2 = 2px (p0)y2= - 2px (P0)x2 = 2py (P0)x2= - 2py (P0)p的几何意义：焦点 F到准线l的距离图形Trar诟市顶点O(0,0)对称轴y= 0x= 0焦点F (p, 0)F (-p, 0)F (0, o)F (0 , - p_离心率e = _1_准线方程Px= 一

2、 2P x=2pP y=2_范围x0, yCRx0, xC Ry0)的焦点F,交抛物线于A(xi, yi) , Rx2, y2)两点，如图.2(1) yiy2= - p2, X1X2 = p4.(2)| AB=xi + X2+p, xi+ X22JxiX2= p,即当 xi = X2时，弦长最短为 2P.-1.12 |AF +|BF - p。2p(4)弦长AB= ( a为AB的倾斜角).、，sin a ，(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A, B在准线上射影的张角为 90 .A、Q D三点共线；R Q C三点共线.回四叵回题组一走出误区1 .(多选题)下列结论正确的是(CD )A

3、.平面内与一个定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线、一 2 一 .、 ， . 一 aB.方程y = ax2(aw0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线，且其焦点坐标是q, 0),准C. AB为抛物线 y2= 2px(p0)的过焦点 F(p, 0)的弦，若 A(xb y。，B(X2, v* ,则 XiX2 = 2p4，y1y2=p2,弦长 | AB = X1+X2+pD.过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2=2ay(a0)的通径长为2a题组二走进教材2.(必修2P69例4)(2019 甘肃张掖诊断)过抛物线y2=4x的焦点的直

4、线l交抛物线于RX1, y, QX2, y。两点，如果 X1 + X2=6,则 |PQ等于(B )A. 9B. 8C. 7D. 6解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=1.根据题意可得，|PQ = |PF-10 -十 | QF = X1 + 1 + X2+ 1 = X1 + X2+ 2=8.3.抛物线y= 4x2上的一点M到焦点F的距离为1,则点M的纵坐标是（B ）17 A16B.1516D.解析c c 1y= 4x ? x =4丫？抛物线准线方程为1 、y=一而.设M点坐标为（xo, yc）,则由抛物线定义可知115丫。+ 16=1, yo=16.故选 B.题组三考题再现4

5、. (201922课标全国n ）若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆3p十2=1的一个焦点，则p=(D )A. 2B.C. 4D.解析,一抛物线y2= 2px（ p0）的焦点坐标为p(2, 0),22x y p，椭圆3p+p=1的一个焦点为（2，0），2，3pp=*,，p=8.故选 D.5. （2019 广东广州天河综合测试 ）已知抛物线 C: y2=8x的焦点为F,直线y=V3（ X-2）与C交于A, B（A在X轴上方）两点，若XF= mFB则实数 m的值为（B ）A. .：3B. 3C. 23D- 2解析y=8x,2得 3X -20x+12=0,y=*/3 X- 22 _xb=又 AF

6、= mFEBL F(2,0),3一 一 2 .2 6=m2) , . m= 3,故选 B.3KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一抛物线的定义及应用一一多维探究角度1到焦点与到定点距离之和最小问题2 例1 （2019 江西赣州模拟）若点A的坐标为（3,2） , F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时，使|MF + |MA取得最小值的 M的坐标为（D ）B.A. (0,0)D.(2,2)解析如图，过M点作准线的垂线，垂足是N,则| MF + | MA= | MN+ | MA,所以当 AM N三点共线时，| MF + | MA取得最小值，此时

7、M（2,2）.角度2至IJ准线与到定点距离之和最小问题例2已知圆C： x2+y2+6x+8y + 21 = 0,抛物线y2= 8x的准线为1,设抛物线上任意一点P到直线1的距离为d,则d+|PQ的最小值为（A ）B. 7D. 9A.41C. 6解析由题意得圆的方程为（x+ 3）2+（y + 4）2=4,圆心C的坐标为 物线定义知，当d + | PC最小时为圆心与抛物线焦点间的距离7 3 2 + 4 2=41 .角度3到两定直线的距离之和最小问题）*例3 （2019 湖南省三湘名校联考）已知直线l 1： x=- 1, l 2：x y+ 1 = 0,点 P为抛物线y2=4x上的任一点，则 P到直线

8、l 1,l 2的距离之和的最小值为（A. 2B.C. 1D.解析抛物线y2=4x,其焦点坐标F（1 , 0）,准线为x= 1也就是直线l 1,故P到直线l 1的距离就是P到F的距离，如图所示,P到l 1 , l 2的距离之和的最小值等于焦点F到直线12的距离.设P到直线12的距离为d,则|1-0+1|_ d+|PFj忑=42,当且仅当P,E, F三点共线时等号成立，故选 B.名师点拨？求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最 短”，使问题得解.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的

9、连线中 垂线段最短”原理解决.变式训练1(1)(角度1)(2020 吉林省吉林市调研)已知抛物线y2=4x的焦点F,点A(4,3) , P为抛 物线上一点，且 P不在直线AF上，则 PAF周长取最小值时，线段 PF的长为(B )A. 1B.13C. 5D.21T(2)(角度3)(2019 上海虹口区二模 )已知直线11： 4x3y+6=0和直线l 2： x= 1,抛 2物线y=4x上一动点P到直线1 1和12的距离之和的最小值为(D )37A 1611 了C. 2D.4解析(1)求 PAF周长的最小值，即求| PA + | PF的最小值，设点 P在准线上的射影 为D,根据抛物线的定义，可知|

10、PF = | PD ,因此，| PA + I PF的最小值，即| PA + I PD的最 .一 ,.9. 小值.根据平面几何知识， 可得当D, P, A三点共线时| pa +I PD最小，此时P(-, 3),且I PF913 .=T+ 1= 丁，故选 B.44(2)直线12： x=1是抛物线y2=4x的准线，抛物线 y2=4x的焦点为F(1,0),则点P到直线12： x=1的距离等于PF,过点F作直线11： 4x- 3y+6 = 0的垂线，和抛物线的交点就是点P,所以点P到直线11： 4x3y+6=0的距离和到直线12： x=- 1的距离之和的最小值、, 一，|4 -0+6|就是点F(1,0)

11、到直线11： 4x3y+6=0的距离，所以最小值为E+42 =2,故选C.考点二抛物线的方程及几何性质一一自主练透修 例4 (1)(2019 安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y轴上,其上的点Rm 3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为(D )A. x2= 8yB. x2= 4yC. x2=4yD. x2=8y(2)(2019 江西省九校联考)抛物线y = ax2的焦点是直线 x+y1 = 0与坐标轴交点，则 抛物线的准线方程为(D )B. x= - 1-1c y= - 4d. y=- 1(3)(2019 山东荷泽期末)已知等边 AOBO为坐标原点)的三个顶点在抛物线r : y2

12、=2Px(p0)上，且 AOB勺面积为 93,则 p=( C )A. J3B. 3C. -23D. 2 口222 ，一 一， x y(4)已知抛物线y =2px(p0)的焦点F与双曲线124 = 1的一个焦点重合，直线y = x 4与抛物线交于 A, B两点，则| AB等于(B )A. 28B. 32D. 40C. 202(5)如图，过抛物线 y =2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A B, G若|BC=2|BF ,且|AF =3,则抛物线的方程为(B ).232 cA. y =2xB. y = 3xC. y2 = 2xD. y2= 9x2解析(1)由题意可知抛物线的焦点在y轴

13、负半轴上，故设其万程为 x =- 2py(p0),所以3 + p=5,即p=4,所以所求抛物线方程为x2=8y,故选D. 一,一，.， p (2)抛物线焦点在y轴上，即直线x + y1 = 0与y轴的交点F(0,1) , 2= 1, 抛物线 方程为x2 = 4y,准线方程为y= - 1,故选D.(3)根据抛物线和等边三角形的对称性，可知 A B两点关于x轴对称，不妨设直线 OB y = H3x,与y2=2px联立，解得 R6p, 2g3p),故| AB = 4p.因为 AOB勺面积为93,所 3以X (4 p) 2= 9-3,解得 p=).故选 C. 22(4)双曲线x2 (= 1的焦点坐标为

14、(4,0),故抛物线的焦点F的坐标为(4,0).因此p=8,故抛物线方程为y2=16x,易知直线y=x 4过抛物线的焦点.设 A B两点坐标分别为(x1, y1) , (x2, y2) . 2y =16x,2由可得 x - 24x +16=0,故 Xi+X2 = 24.y= x 4,故| AB = Xi + X2+ p= 24 + 8= 32 .(5)如图，分别过点 A B作准线的垂线，分别交准线于点E, D,设|BF = a,则由已知得|BC = 2a,由定义得|BD = a,故/ BCD= 30在直角三角形 ACE中， |AE=|AF = 3, |Aq=3+3a, 2|AE=|Aq, -3

15、+ 3a= 6,从而得 a= 1.BD/FG .-77D-=77cc-,即1=2,求得p=*因此抛物线的方程为 y2=3x. | FG | FC p 32名师点拨？1 .求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定p值即可.(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2 .确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程.(抛物线焦点在其标准方程中一次项所对应的坐标轴上)(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.变式训练2(2020 福

16、建漳州质检)已知抛物线y2=2px(p0)上的点M到其焦点F的距离比点 M到1y轴的距离大则抛物线的标准方程为(B )A. y2=x2.C. y =4x(2)(2019 吉林市五地六校适应性考试1)2+(y2) 2=16 相切，则 p= (D )A. 6C. 3p 1斛析(1)由抛物线的7E义可知2=2,2B. y = 2x2.D. y = 8x)已知抛物线 C： x2=2py(p0)的准线l与圆M (xB. 8D. 42,一 ，p=1,，抛物线万程为 y =2x,故选B.(2)因为抛物线 C: x2=2py的准线为y=-p,又准线l与圆M (x1)2+(y2)2= 16相切，所以p+ 2 =

17、 4,则p = 4.故选D.考点三直线与抛物线的综合问题一一师生共研* 例5 (1)(2019 黑龙江省大庆市模拟)已知F是抛物线C： y2=2px(p0)的焦点，过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A B两点，R为线段AB的中点，若| FA +1 FB| =5,则 直线l的斜率为(B )A. 3B. 1-1C. 2D.二2(2)(2019 陕西省汉中市模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于 A B两点，交准线于点 C,若|BC=*|BF,则|AB等于(C )A. 12B. 14C. 16D. 28(3)(2019 金华模拟)已知抛物线 C: y2=2px(p0)在第一

18、象限内的点 P(2 , t)到焦点F的5| QF Q求局的值;距离为2.- i若N2, 0),过点n, P的直线ii与抛物线相交于另一点若直线12与抛物线C相交于a B两点，与圆 M (xa)2+y2=1相交于D, E两点，O为坐标原点，OA! OB试问：是否存在实数 a,使得| DE为定值？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明由.解析(1)由于R(2,1)为AB中点，根据抛物线的定义|FA+|F4=xa+ xb+ p = 2X2+p=5,解得p=1,抛物线方程为y2=2x.设丹Xi,yi),B(X2,y?),则y2=2xi,y2= 2x2,两式相 j i y2 yi22, 、，减并化简得y

19、一y- = = i ,即直线l的斜率为i ,故选B.x2xi yi+y22(2)抛物线y2 =8x, p=4,分另1J过A, B作准线的垂线，垂足为 M N,如下图：则|BN = |BF,|BC=|BF, |BC=+|BN,，直线AB的方程为y=x-2,y=x2由 2得 x I2x + 4= 0,y = 8xxa+ xb= I2,| AB = xa+ xb+ p= i6.故选 C.5点R2, t)到焦点F的距离为万，p 5-2 + 2=2,解得 p=i,故抛物线C的方程为y2 = 2x, P(2,2),，li的方程为y = 5x + 5,4 , 2r y = /+1， r i联立得 55可解得

20、xq= i，28y =2x,又| QF = xq+ l，| PF=5, 2 825旦8=!| PF| 1,2设直线l 2的方程为x=ny+mm0),代入抛物线方程可得y2 2ny2m= 0,设 A(xi, yi), B(X2, y2),则 yi + y2=2n, yiy2 = 2m 由 OA! OB导,(nyi + m( ny?+m)+yiy2= 0,整理得(n2+i)yiy2+nn( yi +y2)+ m2= 0,将代入解得 m= 2或m= 0(舍去),满足 = 4n2+ 8m0,，直线 l2： x=ny+2,圆心 Ma,。)到直线12的距离d=f=3, Ji + na-2 21 _i +

21、n2-，显然当a=2时，|DE = 2, .存在实数a= 2,使得|DE为定值. 名师点拨？(i)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联 立，消元，用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB=Xi + X2+p,若不过焦点，则必须用一般 弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求” “整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练32(i)(2020 甘肃诊断)直线l过抛物线

22、y = 2px(p0)的焦点，且交抛物线于 A, B两点, 交其准线于 C点，已知|AF=4, CB= 3BF,则p=( C )4A. 2B3C. 8D. 43(2)(20i9 合肥模拟)已知抛物线 G: y2= 4x和G: x2= 2py( p0)的焦点分别为 Fi, F2, 点P( i, i),且FiF2,OpO为坐标原点).求抛物线。的方程；过点O的直线交C的下半部分于点 M交G的左半部分于点 N,求 PM丽积的最小值.解析(i)过A, B分别作准线的垂线交准线于 E, D两点，-i11 -设| BF = a,根据抛物线的性质可知，| BD = a,| AE| = 4,根据平行线段比例可知|BD_|CB iAE一两，即4=3a3a+ a+ 4,解得a=2,又!，即p=4l,-48 ，斛得p=a = .,故选C.33(2)Fi(1,0) , F2(0, P),#2=( 1, P).能.据(-1 , p) (-1, - 1) = 1-p=0,p= 2,2二.G的方程为x =4y.y= kx,设过点O的直线为y=kx(k0),联立 2y = 4x,4 4y=kx，得M/ k-jy2.得 N4 k, 4k )(