【精选】2020中考数学难点突破：动点问题专题训练(含答案)

1、2020中考数学动点问题专题训练例题1.抛物线y x2 2x 3与x轴相交于A、B两点(点A在B的左侧)，与y轴相交 于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴； 连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点P作 PF II DE交抛物线于点F ,设点P的横坐标为； 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平 行四边形？设BCF的面积为S,求S与m的函数关系式.【答案】A 1,0, B3,0, 0 0,3.抛物线的对称轴是：x 1 .设直线BC的函数关系式为：y kx b.把B 3, 0 ,00,3分别代入得：3k

2、b 0'解得：kb 3.所以直线BC的函数关系式为：y x 3.当 x 1 时，y 1 3 2,E 1 , 2 .当 x m 时，y m 3 , .Pm, m3.在 yx2 2x 3 中，当 x 1 时，y 4. D 1, 4当 x m 时，y m2 2m 3 . . F m, m2 2m 3 .线段 DE 4 2 2 ,线段 PF m2 2m 3 m 3 m2 3m . : PF II DE 当PF ED时，四边形PEDF为平行四边形.由 m2 3m 2解得：mi 2, m2 1 .(不合题意，舍去)因此，当m 2时，四边形PEDF为平行四边形.设直线PF与x轴交于点M,由B3, 0

3、 , 00,0,可得：OB OM MB 3., SS BPFS CPE 1 111即 S-PFBM-PF OM -PF BM OM -PF OB.2 222c 12 S 3 m2 3m 2例题2.如图，已知抛物线y a(x 1)2 3s/3(a0)经过点A( 2, 0),抛物线的顶点为D ,过O作射线OM / AD .过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴373(a0)经过点A2，0 ， 二次函数的解析式为:3 2238.3y x x 333正半轴上，连结BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P 运动的时间为t(s

4、) .问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直 角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB ,动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个 长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时 另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为 t (s),连接PQ ,当t为何 值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时 PQ的长.【答案】(1)二.抛物线y a(x 1)1J3"：/3363- Sbcpq6 3 3(6 2t) -1 = t -3 222280 9a 3第a 旦3(2) V D为抛物线的顶点. D 1 ,3底过D作DN贝 1 DN 3氢

5、,AN 3 , AD ,32 343 2 6DAO 60OM II AD当AD OP时，四边形DAOP是平行四边形 OP 6 . . t 6 s当DP OM时，四边形DAOP是直角梯形过 O作 OH AD 于 H, AO 2,贝(J AH 1(如果没求出 DAO 60° 可由 RtzXOHAs Rt/XDNA 求 AH 1) OP DH 5 , t 5 s当PD OA时，四边形DAOP是等腰梯形 OP AD 2AH 6 2 4 . . t 4 s综上所述：当t 6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰 梯形.(3)由(2)及已知， COB 60°, OC O

6、BAOCB是等边三角形则 OB OC AD 6 ,OP t, BQ 2t ,OQ 6 2t 0 t 3过P作PE OQ于E,则PE立t2当t 3时， SBCPQ 的面积最小值为63 3 28. .此时 OQ 3 ,OP=3 ,OE 3. .QE 3 3 9PE 33244 44pq麻F" I述屋空442经过点A的直线与。O、。P例题3.已知。的半径为3, OP与。相切于点A,分别交于点B、C, cos/ BAO= 1 .设。P的半径为x,线段OC的长为y.3(1)求AB的长；(2)如图1,当。P与。O外切时，求y 与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)当/OCA= /OPC

7、时，求。P的半 径.图1【答案】(1)如图2,作OEXAB,垂足为 在 RtzXAOE 中，cos/ BAO=JAE(2)如图 2,作 CHXAP,AO垂足为由 AOABs APAC,7日AOWAB在 RtAACH 中,所 AH gACP-E,由垂径定理，得 AB=2AE.1 3， H.会所以cos/ CAH = L 得 32 2:,CH AC3AO=3,所以 AE=1.所以 AB = 2.所以ACAC32.2AH AC CH4.2 x .9在 RtAOCH 中,(3“OPC.2、29X) .由 oc2=oh2+ch2,得y2(詈x)2因此 OA OC.所以 OC2 OA OP .OC OP解

8、方程36x2 4x 9 3(3 x),得x 15.此时。P的半径为15 . 81344如图4,图5,当OP与。内切时，同样的 OABs/XPAC, ac如图 5,图 6,如果/ OCA=/OPC,那么 ACOs/XAPC.所以JAO处.因此AC 2 AO AP .AC AP解方程(2x)2 3x ,得x 巴.此时。P的半径为 巴. 344图4图5图6例题4.如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(0,4),点B的 坐标为(4,0),点C的坐标为( 4,0),点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交 于点D,连结BD.过P、D、B三点作。Q,与y轴的另一个交点为 E,延长DQ 交。

9、Q于F,连结EF、BF.(1)求直线AB的函数解析式；(2)当点P在线段AB (不包括A B两点)上时.求证：/ BDE=/ADP;设DE = x, DF =y,请求出y关于x的函数解析式；(3)请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1?如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理 由【答案】(1)直线AB的函数解析式为y= x+ 4.(2)如图 2, / BDE=/CDE = /ADP;如图 3, / ADP = /DEP+/DPE,如图 4, / BDE= / DBP + / A, 因为/ DEP=/DBP,所以/ DPE=/A=

10、45° .所以/ DFE = / DPE=45° .因此 DEF是等腰直角三角形.于是得到 y V2x.图2图3图4(3)如图5,当BD ： BF = 2 ： 1时，P(2,2).思路如下：由DMBs/XBNF,知 bn -DM 2 .2设 OD=2m,FN=m,由 DE=EF,可得 2m+2 = 4m.解得 m再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2).因此 D(0,4) .P(8,4).思路同上.例题 5.在 RtzXABC 中，/C = 90° , AC = 6, sin b 3,。B 的半径长为 1, OB 交 5边CB于点P,点。是边AB上的动点.(1)

11、如图1,将。B绕点P旋转180°得到。M ,请判断。M与直线AB的 位置关系；(2)如图2,在(1)的条件下，当 OMP是等腰三角形时，求OA的长；(1)(3)如图3,点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的。N和以OA为 半径的。外切，设NB = y, OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.图1图2图3【答案】在 RtzXABC 中，AC = 6, sin b -, 5所以 AB=10, BC=8.过点M作MD LAB,垂足为D.在 RtBMD 中，BM=2, sin b 理 3 ,所以 MD £.BM 55因止匕 MD > MP , O M 与直线 AB离.图

12、4(2)如图4, MO>MD>MP,因此不存在MO = MP的情况.如图5,当PM = P。时，又因为PB=PO,因此 BOM是直角三角形.在 RtBOM 中，BM=2, cosb 空 4 ,所以 BO -.此时 OA BM 555如图6,当OM = OP时，设底边MP对应的高为OE.在RDBOE中，BE=3, cosb 空 4 ,所以bo竺.此时OA丝. 2BO 588图5图6(3)如图7,过点N作NFXAB,垂足为F.联结ON.当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON = x+y.在 RtBNF 中，BN=y, sinB 3, cosB ,所以 NF 3y , BF 岂. 55

13、55在 RtzXONF 中，OF AB AO BF 10 x 4y ,由勾股定理得 ON2=OF2+NF2.5于是得到(x y)2 (10 x y)2 (3y)2 .55例题6.如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点.甲沿AO 方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点.(1)请说明甲、乙两人到达点 。前，MN与AB不可 能平行；(2)当 t 为何值时，OMNs/XOBA?(3)甲、乙两人之间的距离为 MN的长.& s=MN2, 求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最 小化【答案】当M、N都在0右侧时，黑2/12J黑

14、V/，所以0M ON.因此MN与AB不平行.0A 0B(2)如图2,当M、N都在。右侧时，/ 0MN>/B,不可能 OMNs oba.如图3,当M在0左侧、N在0右侧时，/M0N>/ BOA,不可能 0MN“OBA.如图4,当M、N都在0左侧时，如果OMNsOBA,那么 受 O0M 0B所以4L_6 2,解得t=2.4t 2 6图3图42(1(3)0H 1MH2t).图2如图2, 0M2 4t,2t ,NH ON OH (6 4t) (1 2t) 5 2t.如图 3, 0M 4t 2, OH 2t 1, MHV3(2t 1).NH ON OH (6 4t) (2t 1) 5 2t.

15、如图 4, 0M 4t 2, OH 2t 1 ,MHV3(2t 1).NH OH ON (2t 1) (4t 6) 5 2t.综合、，s MN2 MH 2 NH2 3(2t 1) 2 (5 2t)216t2 32t 28 16(t 1)2 12 .所以当t=1时，甲、乙两人的最小距离为12千米.例题7.已知点(1, 3)在函数y -(x 0)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E xk是对角线BD的中点，函数y - (x 0)的图像经过A、E两点，若 ABD 45 , x求E点的坐标.【解析】点(1, 3)在函数y k的图像上，kx3.又E也在函数y k的图像上，故设x3E点的坐标为(m,

16、) m过E点作EFX轴于F ,则EF m又E是对角线BD的中点，AB CD2EF -故A点的纵坐标为6,代入y 3中，得A点坐标为（m, -6）. mx2 m因止匕 BF OF OB m m m.由 ABD 45 ,得 EBF 45 , BF EF .22即有m 3.解得m 76 .而m 0,故m灰.则E点坐标为（加，豆）. 2 m2【答案】（旗,苴）2例题8.如图，POA、 PAA2都是等腰直角三角形，点R、P2在函数y -（x 0）的图 x像上，斜边OA、AA2、都在x轴上，求点A2的坐标.【解析】分别过点P、B做x轴的垂线，根据题意易得 RC OC , BD AD ,PC OC 4, P

17、，D OD 4,得 OA 4J2 ,所以 A2(4V2, 0).【答案】A2(4 2, 0).例题9.如图所小，Pi,y1,P2x2,y2, ,Pnxn, yn在函数y - x 0的图象上,xOPA , SAA ,PAA,，pAiA,都是等 腰直角 三角形，斜边OA , AA2，A A都在x轴上,则y1 V2【解析】由已知易得Pi 3, 3，则H3,点巳横坐标为6 V2,那么可得6 y2 y2 9,解得y2 3<2 3,同理点P3横坐标为6&y3,那么可得672 y3 y3 9,解得 y3 3 3 3 .2,依此类推，Pn的纵坐标为yn 3而3"!. yi y2 Vn

18、3 3夜 3 3褥 3J2 3而 3/nl 3亦.【答案】3 n1例题10.如图，P是函数y (x 0)图象上一点，直线y x 1父x轴于点A,父y轴 2x于点B, PM Ox轴于M,交AB于E, PN Oy轴于N ,交AB于F .求AF BE的 值.yiO M ax【解析】设点P(x, y),过点E、F分别作x轴的垂线，易得AF 2y , BE 72x ,AF BE 2xy 1 .【答案】1例题11.已知：在矩形AOBC中，OB 4, OA 3.分别以OB, OA所在直线为x轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上的一个动点(不与B, C重合)，过F点的反比例函数y k(k 0

19、)的图象与AC边交于点E. x(1)求证：4AOE与BOF的面积相等；(2)记S Sa oef Sa ecf,求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？(3)请探索：是否存在这样的点F ,使得将4CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：设E(。y1) , F(x2, y2), AAOEAFOB的面积分别为S , & ,XiX2 c11 , ci1 , , S二 Xiyi k, S2 x2y2二 k-2222S S2,即AOE与FOB的面积相等.(2)E, F两点坐标分别为SA AOESA BOFSA ECF12k,3 3

20、1 k24k4，SA ECF 12 kSA ECF二 S1 .2,k k . 1212 6时，S有最大值.12 1 "T12(3)解：设存在这样的点F ,将沿EF对折后,C点恰好落在OB边上的M点,ENMB3MBMB _ _ 2 Q MB 解得kBF过点E作EN OB,垂足为N .1由题意得：EN AO 3, EM EC 4 -k , MF 3EMN FMB FMB MFB 90o EMN MFB .又; ENM MBF 900, AENM smbf .EMMF1143k41酋31k31k412942_ 2BF MF ,21*8k 2j4 32存在符合条件的点F,它的坐标为4,短例题12.如图，点Am,m 1 , B m 3,m 1都在反比例函数y k的图象上. x（1）求m,k的值;（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，