高三数学思想方法专题成都37中吴兴国

1、函数与方程、化归与转化思想教案知识梳理函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；它包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换元法、转换法和构造方程法四个方面。函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)0

2、就是求函数yf(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数yf(x)与y=g(x)的图像的交点或交点个数；合参数的方程f(x, y, t)=0和参数方程更是具有函数因素，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想 等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已

3、知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。 转化有等价转化与不等价转化 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。应用转化化归思想解题的原则应是：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化，常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。 1显化函数关系 在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而使用函数知识或函数方法使问题获解 【例1】在数列an中，a115，以后各项由

4、an+1an，求数列an的前n项和的最大值 分析：由题设易知数列an为等差数列，其通项的一个充要条件形式就是 n的一次函数，an= AnB，(A、BR）欲求前n项和Sn的最大值只需利用an的单调性转化为ano，an+10即可获解解： an+1=an, d=an1an=, a1=15, an=15 (n1), ,解得（n N）,即n23故数列an的前23项的和最大点拨解疑：数列是定义在自然数集N上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成n的函数在解等差数列、等比数列问题中，有意识地凸现其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题，不仅常能获得简便优

5、秀的解法，且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平【变式】设等差数列的前n项的和为，已知。1、 求公差d的取值范围； 2、指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由。【分析】 问利用公式与建立不等式，容易求解d的范围；问利用是n的二次函数，将中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时取最大值的函数最值问题。【解】 由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：<d<3。 Snan(n1)d因为d<0，S是关于n的二次函数，对称轴为。由<d<

6、3得6<<6.5，故正整数n6时S，所以S最大。注：本题的另一种思路是寻求a>0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>>a，由S13a<0得a<0，由S6(aa)>0得a>0。所以，在S、S、S中，S的值最大 2转换函数关系 在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解【例2】(江西卷)若不等式x2ax10对于一切x(，成立，则a的最小值是(). . .

7、. 解析：与x2ax10在上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：. 分离变量，有a(x)，x(，恒成立.右端的最大值为，故选.2. 看成关于a的不等式，由f(0)0，且f()0可求得a的范围.3. 设f(x)x2ax1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)x21，g(x)ax，则结合图形(象)知原问题等价于f()g()，即a.5. 利用选项，代入检验，不成立，而成立.故选.【变式】设不等式2x1>m(x1)对满足|m|2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以

8、m为变量，即关于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)(x1)m(2x1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在-2,2内恒为负值时参数x应该满足的条件。【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，设f(m)(x1)m(2x1),则 解得x（,）3、构造函数关系在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论、通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联

9、想的因素，促进思维迁移【例3】如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC2，求点B到平面EFG的距离 分析：距离的概念常由最小值定义，故可设法将点B到平面的距离通过构造函数关系，建立一个二次函数关系式，转化为二次函数的最值解决 解：连接EC、AC、BD、EF、FG，分别交AC于H、O，连CH因ABCD为正方形故BDAC，由已知易得BD与平面GEF内的直线GH是异面直线，由此可将点B到平面GEF的距离转化为两异面直线BD、GH的距离，建立两异面直线上任意两点距离的一个二次函数关系式在GH上任取一点K，作KLAC，垂足为L，连结KO，设K

10、Lx，利用RtKLHRtGCH，可得LO2=, KO2=x2+=+,(其中0x2)，所以KO的最小值为，即点B到平面EFC的距离【变式】在中，O是中线AP上任意一点，若,则的最大值= 解：设,则,当时，取最大值为8，所以4 、构造方程法分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面【例4】已知a,b,cR，a+b+c=0,a+bc-1=0，求a的取值范围. 方法一 （方程思想）： 因为b+c=-a,bc=1-a，所以b,c是方程x2+ax+1-a=0的两根，所以=a2- 4(1-a)0，即=a2+4a-

11、40, 解得或 法二：（函数思想）由已知 得b+c-bc+1=0,如果c=1，则b+1-b+1=0, 即2=0,不成立，因此c1,在，上递减，在，上递增。函数的图象如图所示. 所以， 或 所以a的范围是 . 【变式】已知ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA·tanC2，又知顶点C的对边c上的高等于4,求ABC的三边a、b、c及三内角。【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。【解】 由A、B、C成等差数列，可得B60°；由ABC中tanAtanBtanCtanA·tanB·tanC，得tanAtanCtanB

12、(tanA·tanC1) (1)设tanA、tanC是方程x(3)x20的两根，解得x1，x2设A<C，则tanA1，tanC2， A，C由此容易得到a8，b4，c44。点评：方法是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异. 5、函数思想与方程思想的联用 在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的联用例如函数思想与方程思想的联用它们间的相互

13、转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数十方程十函数，或方程十函数一方程 【例5】1、若抛物线 yx2十mx1和两端点 A(0, 3)，B(3, 0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围 分析：先由方程思想将曲线的交点问题转化的方程的解的问题再由方程有解转化为二次函数的实根分布问题，再通过解不等式（组）得到所求范围解：线段AB的方程为=1 (0x3)代入yx2十mx1得x2(m+1)x+4=0, (0x3), 原命题等价于f(x)= x2(m+1)x+4在0, 3上有两个不等的实数根，故应有, 解得3<m, 故m的取值范围是(3, .2、对任意实数k，直线：ykxb与椭圆： (0

14、2)恒有公共点，则b取值范围是 .解析：方法，椭圆方程为，将直线方程ykxb代入椭圆方程并整理得 .由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则12(b1)24(b1)20，即b.方法，已知椭圆与y轴交于两点(，)，(，).对任意实数k，直线：ykxb与椭圆恒有公共点，则(，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有1，得1b3.【变式】(湖北卷)关于x的方程(x21)2|x21|k0，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是(

15、 ).A. 0B. C. D. 解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令x21t(t0)，则方程化为t2tk0，(*)作出函数tx21的图象，结合函数的图象可知当t0或t1时，原方程有两上不等的根，当0t1时，原方程有4个根，当t1时，原方程有3个根.(1)当k2时，方程(*)有一个正根t2，相应的原方程的解有2个；(2)当k时，方程(*)有两个相等正根t，相应的原方程的解有4个；(3)当k0时，此时方程(*)有两个不等根t0或t1，故此时原方程有5个根；(4)当0k时，方程(*)

16、有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x21|t的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)(x21)2|x21|的图象(如下图)及动直线g(x)k可得出答案为A.3. 设t|x21|(t0)，t2tk0，方程的判别式为14k，由k的取值依据0、0、0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)，利用数轴标根法得出函数与x轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A6、常量与变量的转化与化归【例6】 设是定义在R上的单调增函数，若对任意a-1，1恒成立，求x的取值范围解：因为f(x)是R上的增函数， 所以，a-1，1即转化为：a(x

17、-1)+x2+10, 对a-1，1恒成立. 令g(a)=(x-1)a+x2+1.（转化成a的函数） 则当且仅当时，原问题成立 解之，得x0或x-1. 即实数x的取值范围是x-1或x0【变式】设,若t在-2，2上变化时,恒取正值,求的取值范围. 解 设, 则f(t)是一次函数，当t-2，2时，f(t)>0恒成立. 解得,即7、正难则反的转化与化归【例7】 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交，求 实数a的取值范围.解：先求反面：令y=0得满足题意的a的取值范围是【变式】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送

18、他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：（1）该车在某停车点停车； （2）停车的次数不少于2次；解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”P（）=，P（A）=1P（）=1=答：该车在某停车点停车的概率（2）记“停车的次数不少于2

19、次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件，则P（B）=1P（）=1=1=答：停车的次数不少于2次概率。8、以换元为手段的转化与化归【例8】 已知aR，求函数的最小值解 函数可化为 设原问题化归为求二次函数在上的最值问题.（1）当时， （2）当时， 在上单调递减，（3）当 时，在上单调递增. 【变式】设x、yR且3x2y6x，求xy的范围。【分析】 设kxy，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。【解法一】三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：由3x2y6x得(x1)1，设，则xy12coscossin12co

20、scoscos2cos0,4 ，所以xy的范围是：0xy4。【法二】由6x3x2y0得0x2。设kxy，则ykx，代入已知等式得：x6x2k0 ，即kx3x，其对称轴为x3。由0x2得k0,4。所以xy的范围是：0xy4。【法三】 数形结合法（转化为解析几何问题）：由3x2y6x得(x1)1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。xy的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为xyk，代入椭圆中消y得x6x2k0。由判别式368k0得k4,所以xy的范围是：0xy4。强化训练：1. 已知函数f(x)loga(2a

21、)x对任意x，都有意义，则实数a的取值范围是(). (， . (，). ，) . (，)解：考查函数y1和y2(2a)x的图象，显然有02a1.由题意得a，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：B.2. 函数f(x)定义域为，且x1，已知f(x1)为奇函数，当x1时，f(x)2x2x1，那么当x1时，f(x)的递减区间为(). ，) . (，. ，) . (，2. 解：由题意可得f(x1)f(x1).令tx1，则x1t，故f(t)f(2t)f(2x).当x1，2x1，于是有f(x)f(2x)2(x)2 ，其递减区间为，).答案：3. 已知f(x)asinxb(a，bR)，且f(lglog310)5，则f(lglg3)的值是(). . . . 3解：因为f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，即f(x)f(x)，而lglg3lglg310， f(lglg3)f(lglg310)(lglg310)8583.故选. 设(x，y)是椭圆x24y2上的一个动点，定点(，)，则|2的最大值是(). . . . . 解： .