连续同假设的否定五

1、连续统假设的否定五（A）（简称否定五（A）一、摘要：本文用否定连续统假设某一个等价命题的方法来否定连续统假设。二、关键词：（一）单值函数；（二）函数序列；（三）可数集；（四）不可数集；（五）定义域；（六）值域；（七）无穷间断点；（八）映射；（九）连续；（十）有界。三、连续统假设的等价命题3（简称命题3）一存在着实变数的单值函数序列fn(x)（n为任意自然数），使得对任意不可数的实数集合E，序列中除了有限个函数外，所有的函数都映射E为全体实数集合。下面我们证明命题3不成立。四、证明过程引理一、设E为某一个有界不可数集，E1为E中所有凝聚点的集合，在E1上任意定义一个单值函数f(x),f(x)的值

2、域E2为（-，+）的必要条件一：f(x)在E1上存在两个异号无穷间断点。证：如果此结论不成立,必有以下四种可能：（一）f(x)在E1上连续由于E1为有界闭集二，f(x)既在E1上连续，则f(x)在E1上有界，即存在一个正数M，满足|f(x)|M，这就和f(x)的值域E2为（-，+）的假设矛盾，故此种可能性不存在。（二）f(x)在E1上只有一个无穷间断点（包括有两个同号无穷间断点的函数在内）在此情况下，f(x)的值域E2必为（a，+）或（-，b）（a、b为有限实数），这仍与f(x)的值域E2为（-，+）的假设矛盾，所以这种可能性也不存在。（三）f(x)在E1上存在跳跃间断点。（四）f(x)在E1

3、上存在可去间断点。出现以上两种情况时，都不能使f(x)的值域E2为（-，+），故只有一种可能，即f(x)在其定义域E1上存在两个异号无穷间断点。引理二、单值函数f(x)的值域E2为（-，+）的必要条件二：f(x)的定义域E1为不可数集。证：若f(x)的定义域E1不为不可数集，则E1为至多可数集（一），因f(x)为单值函数，对于f(x)定义域E1上任一点x，在f(x)的值域E2内只有一点f(x)和其对应，因f(x)的定义域E1为至多可数集，故在f(x)的值域E2内，也只有至多可数个值和其对应，这就和f(x)的值域E2为（-，+）的假设矛盾，此矛盾说明f(x)的定义域E1必为不可数集。定理一、设E

4、为某一个有界不可数集，E1为E中所有凝聚点的集合， fn(x)（n为任意自然数）为任意可数个单值函数序列，则至少存在一个有界不可数集E1或E10（E10E1E），使序列中的所有单值函数都不能把E1（或E10）映射到（-，+）中去（此种序列有无限个）。证：证明分以下四部分：（一）假设序列fn(x)（n为任意自然数）中所有的单值函数都在E1上连续，根据引理一（一），这些单值函数都在E1上有界，即存在一个正数M，满足|fn(x)|M，当M充分大时，此不等式就对序列中所有的函数在E1上一致成立，也就是说，序列中所有的单值函数都不能把E1映射到（-，+）中去。（二）假设序列中所有的单值函数在E1上都有间

5、断点，或为有限个，或为可数个，但其中没有无穷间断点，因此序列中所有的单值函数都是E1上的有界函数，故存在一个正数M，满足|fn(x)|M，则说明序列中至少有一个单值函数fn1(x)在E1上存在无穷间断点，和假设矛盾），即序列中所有的函数都不能把E1映射到（-，+）中去。（三）假设序列中所有的单值函数在E1上的间断点都是无穷间断点，下面分三种情况探讨：（a）假设序列中所有的单值函数在E1上都有两个异号无穷间断点，而且都是边界点，此时划分E1为三等分，设不含间断点的那一等分为E10，于是序列中所有的单值函数在E10上都没有间断点，也就是说，序列中所有的单值函数都在E10上连续，根据（一），序列中所

6、有的函数都不能把E10映射到（-，+）中去（f(x)=tgx+c属于此种情况）。（b）假设序列中所有的单值函数在E1上都有两个同号无穷间断点（或只有一个无穷间断点），根据引理一（二），此时这些函数的值域E2必为（a，+）或（-，b）（a、b为有限实数），也就是说，序列中所有的单值函数都不把E1映射到（-，+）中去（f(x)= |tgx|+c属于此种情况，c为任意有理数）。（c）假设序列中所有的单值函数在E1上都有有限个或可数个无穷间断点，这样的函数平时很难遇到，很可能这样的函数根本不存在，因此对这种情况，本文不作探讨。（四）、如序列中所有的单值函数情况不一，兼有以上两种或三种性质，也能得同样结

7、论。根据以上所述，可以看出，序列中所有的单值函数在各种不同 情况下，得到一个共同的规律：即至少存在一个有界不可数集E1或E10（根据连续统假设的否定（一）（简称否定（一）中的引理二，任何不可数集中的凝聚点集也是不可数集E1全由凝聚点组成，故E1为不可数集，E10为E1的有界子集，且全由凝聚点组成，根据否定（一）的引理三，E10也是不可数集），使得序列fn(x)（n为任意自然数）中所有的单值函数，都不能将E1或E10（E10E1）映射到（-，+）中去，于是命题3被彻底否定（此种序列共有无限个）。五、连续统假设的否定否定了连续统假设的推论，或者否定了连续统假设的等价命题，就等于否定了连续统假设，到

8、目前为止，笔者一共否定了连续统假设的两个等价命题，三个推论，否定连续统假设的工作已基本完成。注解（一）：我们这里假设a（可数集的势）和c（不可数集的势）之间没有中间势，即假设连续统假设成立，命题3是在连续统假设成立的假设下推导出来的，现在根据同样的假设又证出命题3不成立，这就发生矛盾，此矛盾说连续统假设不成立。参考文献（一）：连续统假设 （张锦文 王雪生）合著出版地点：沈阳辽宁教育出版社出版时间：1989年4月参考文献（三）：实变函数论 徐森林著出版地点：合肥中国科学技术大学出版社出版时间：2002年2月作者：陈守仁 河北大学数学系本科 六O届毕业生退休前担任天津市家电五厂职工业校 数学教师连

9、续统假设的否定五（B）（简称否定五（B）一、前言：在否定五（A）一文中，已对序列fn(x)（n为任意自然数）中所有的单值函数作了初步探讨，在各种不同的情况下，得到一个共同的规律：即至少存在一个有界不可数集E1或E10（E10E1），使序列中所有的函数都不能把E1或E10映射到（-，+）中去，本文是否定五（A）的继续，本文通过一个实例，把对一般单值函数的研讨结论用在一个特殊函数上去。二、摘要：本文通过对正切函数序列f(x)= tg(x)( 为任意非零有理数，x为角度，用弧度表示)的初步探讨，把否定五（A）中的部分结论用在正切函数序列上去。三、关键词：（1）正切函数序列 （2）定义域 （3）值域

10、（4）映射 （5）周期函数四、对正切函数序列f(x)=tg(x) (为任意非零有理数，x为角度，用弧度表示)的初步探讨。当0时，函数图象在第一和第三象限，当1时，图象较瘦，0时）、或为（-，0）（当0时），因此我们得一个结论：即在（-/2，/2）中，至少存在一个不可数子集（0，/2）（因（0，/2）（-/2，/2），使序列f(x)= tg(x) （为任意非零有理数）中所有的函数，都不能把（0，/2）映射到（-，+）中去。本文的定理二和否定五（A）中的定理一很类似，那是因为否定五（A）中的定理一是对一般单值函数来说的，正切函数序列中的函数都是单值函数，因此在相同的条件下，对一般单值函数能成立的定

11、理，对正切函数序列中的函数也能成立。正切函数序列f(x)=tg(x)是周期函数，周期为/（为任意非零有理数），当x=n/（n为任意非零整数）时，所对应的正切函数为f(x)=tg(x+ n/)，（n/，0）为f(x)=tg(x+ n/)的对称中心，f(x)=tg(x)的对称中心在原点），f(x)=tg(x+ n/)和f(x)=tg(x)的性质完全一样，只是所处的位置不同，对此本文不再详述。注解（一）：充要条件中的x=/2可改写成x=/2，这里的x为（-/2，/2）中右端点的横坐标，即右端点横坐标和的乘积必须等于/2，只有符合此条件的函数，才能把（-/2，/2）映射到（-，+）中去，例一中的那两个函数都符合此条件。作者：陈