比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理

1、黄金分割及平行线分线段成比例一、黄金分割黄金分割AC BC如图，点C把线段AB分成两条线段 AC和BC,如果AB AC，那么称线段 AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.AC与AB的比叫做黄金比.黄金比黄金比值的求法:AC BCAC因为 AB AC，且 BC = AB AC,所以 ABAB ACAC ab些旦解得AC =2，或AC P.618AB，即得黄金比 AB 2 或0.618求作黄金分割点求已知线段AB的黄金分割点。法一：如图；AB1、经过点 B作BD丄AB，且BD=2、连接 AD，在DA上截取 DE = DB .3、在AB上截取 AC = AE,所以点C是线段AB的黄金分割

2、点.5.5 13 一 5理由：设 AB = 1，贝U BD = 1/2,AD = 2 , AC =2, BC =2AC BC .51所以AB AC 2 ，所以点C是线段AB的黄金分割点. 法二：如图3、延长DA至F，使EF= EB.4、以线段AF为边作正形AFGH .所以点H是线段AB的黄金分割点.理由:设 AB = 1 ,1贝U AE = 2，所以BE 迪 EF2宀AF5 13 BC,那么AC是AB与BC的比例中项 如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且 AB=2，则AC=、5 1其中正确的判断有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、已知P为线段AB的黄金分割点，且 AP V PB

3、,则（）A、AP2 AB PB ； B、AB2 AP PB ； C、PB2 AP AB ； D、AP2 BP2 AB23、 已知点M将线段AB黄金分割（AM BM）,则下列各式中不正确的是 （）A. AM : BM = AB : AMB. AM =亠ABC. BM =亠ABD. AM 7618 ABA.1个B.2个C.3个D.4个4、已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB = 10cm，贝U PQ 长为(A、5( 5 1)B、5( .5 1)C、10( 5 2) D、5(3. 5)三、好好想一想1、已知点C是线段AB的黄金分割点 AC = 5 55，且AC BC,求线段AB与BC的长。2

4、、E、F为线段AB的黄金分割点，已知 AB= 10 cm，求EF的长度.A E F B3、如果一个矩形 ABCD(AB v BC)中，竺 互-0.618，那么这个 BC 2矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感在黄金矩形 ABCD作正形CDEF,得到一个小矩形 ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？ 请说明你的结论的正确性二、平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果li / 12 / 13，则BCEFABDE AB ACDF， dE dF2. 平行线分线段成比例定理的推论:如图，在三角形中，如果DE / BC则 2A 一 JA

5、! AB ACDEBCDC，那么DE/ BC。C BAD AE3. 平行的判定定理：如上图，如果有一一AB AC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE / BC，且DB AE若AB 5 , AC 10，求AE的长。【例2】如图，已知1 1AB/EF / /CD，若 AB a， CD b， EF c ,求证： - c a【巩固】如图，ABBD，CD BD，垂足分别为B、EF BD，垂足为f.证明：CD EFAC和BD相交于点E，【巩固】如图，找出Sabd、Sbed、Sbcd之间的关系，并证明你的结论【例3】如图，在梯形ABCD中，AB / CD， AB 12 ,

6、 CD 9，过对角线交点0作EF / CD 交 AD , BC 于 E , F，求 EF 的长。【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD / BC ,AD a，BC b，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求 PQ的长。专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1 ），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且AE AB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BCCD（2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD : DC 2:1，AD 与 CE 相交于 F，EF 则FCAFFD的值为（A

7、.5B.13MBC(1)【例5】（2001年省中考试题）如图，在 ABC中,D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.(1)当 AC-（3）试猜想2时，求箸的值。 趋n1!时筈的值，并证明你的猜想.（2 ）当笔1、时，求AO的值;【例6】（2003年中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD 上, F是BE延长线与AC的交点（1）如果E是AD的中点，求证：AF 1 ；FC 2 ；（2 ）由（1）知，当E是AD中点时，圧 -生 成立，若E是AD上任意一FC 2 ED点（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由【巩固】（天津市竞赛题）如图

8、，已知 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且 BE AC，延长BE交AC于F。求证：AF EF。A【例7】（市中考题）如图， ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E， 延长AB交CE的延长线于P。若AD 2DE，求证：AP 3AB。A【巩固】（市中考题；省中考题）如图，1别是AB，AC的中点，贝U DE -a ；ABC 中，BC a，若 D-，E-分BC若D2 E2分别是D-B、E-C的中点，贝U D2E2137若D3、E3分别是D2B E2c的中点则D3E3 - 4a a 8a ；若Dn、En分别是Dn-lB EC的中点，贝U DnEn 专题三、利用平行线转化比例【例8】如

9、图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点0，直线I平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P . 求证：PM PN PR PS【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD II EF，AC的延长线交EF于G .求证：EG GF .【例9】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点,边AC、AB于D、E，求证:ADDCAEEBBP、CP的延长线分别交对MEDN【例10】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：BG : GH : HM 5:3:2【例11】 如图，

10、M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM MN NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF 3DE .【例12】已知：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E， DB与MC交于F .（1 ）求证：EF / /CD （ 2 ）若 AB a ,CD b，求 EF 的长【巩固】 如图，在梯形ABCD中，AD / BC，AD 3，BC 9，AB 6 ,CD4，若EF / BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的长相等，求EF的长【例13】（省竞赛题）如图，YABCD的对角线相交于点0，在AB的延长线上任取一点E，连接0E交BC于点F，若AB a , AD c, BE b ,求 BF的值。DC【例14】已知等腰直角 ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L， K