2019中考数学专题复习二次函数与多边形存在性问题(有答案含解析)

1、二次函数与多边形存在性问题最经常遇到的中考压轴题， 通常解决思路在于等腰三角形的定义、性质；平行四边形的性质;作图是第一步，注意多种情况分类讨论。解答题(共 15 小题)1.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过 A (1,- 1)、B (4, 0)两点.(1)求这个二次函数解析式；(2)点 M 为坐标平面内一点，若以点 O A、B M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写2 .已知在平面直角坐标系中有三个点，点A ( 0, 3) , B (- 3, 0), C (1, 0)(1) 求经过AB、C 三点的二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中再找一个点 D,使AB、C、D 四点构成一个

2、平行四边形.3.如图，二次函数的图象与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C.且 OA=2 OC=OB=3(1) 求抛物线的解析式；(2) 作 ODL BC 于 D,与抛物线相交于点 E,试在抛物线上确定点 P,使得四边形 OBEF 为平 行四边形，并说明理由.5.如图抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A (- 3, 0), B (1, 0)两点，与 点为 D,连接 AC CD AD.(1) 求该二次函数的解析式；(2 )求厶 ACD 的面积；4.如图，在y=ax2+bx+c 的图象经过 A (3,0)、B ( 1, 0)、C (0.3 )三点，设该二次函数的顶点为G

3、.(1)求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G 的坐标；(2 )求 tan / ACG 的值；G E、P 为顶点y 轴交于点 C,顶请说明理由.(3)若点 Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P,使得以 A、B Q P 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图.已知二次函数 y= - x+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为 A(4, 0),与 y 轴交于点 B.(1) 求此二次函数关系式和点 B 的坐标；(2) 在 x 轴的正半轴上是否存在点 P.使得 PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在， 求出点 P的坐标；若不存

4、在，请说明理由.7.如图，已知二次函数 y=ax2- 4x+c的图象与坐标轴交于点A (- 1, 0)和点 B (0,- 5)(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得 ABP的周长最小.请求出点 P 的坐标.(3) 在(2)的条件下，在 x 轴上找一点 M,使得AAPM 是等腰三角形，请直接写出所有符 合条件的点M 的坐标.&如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx-4(0)的图象与 x 轴交于 A(-2,0)、C( 8, 0)两点，与 y 轴交于点 B,其对称轴与 x 轴交于点 D.(1) 求该二次函数的解析式；(2) 如图 1

5、,连结 BC 在线段 BC 上是否存在点 E,使得 CDE 为等腰三角形？若存在，求 出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.O%10.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A ( 3, 0), B( 2,- 3), C( 0,(1 )求此函数的解析式和对称轴；(2 )试探索抛物线的对称轴上存在几个点P,使三角形 PAB 是直角三角形，并求出点坐标.-3)P 的11.如图，二次函数 y=x2+bx+c 图象经过原点和点 A (2, 0)，直线 AB 与抛物线交于点 B, 且/BAO=45 .(1)求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；(2)在直线 AB 上是否存在

6、点 D,使得 BCD 为直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若12.如图：已知，直线 lil 2，垂足为 y 轴上一点 A,线段 OA=2 OB=1.(1) 请直接写出AB C 三点的坐标；(2) 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A、B C,求出函数的解折式；(3)( 2)中的抛物线的对称轴上存在 巳使厶 PBC 为等腰直角三角形，请直接写出点 坐标.13.已知二次函数 y=x2+bx+c 图象的对称轴是直线 x=2,且过点 A (0, 3).(1 )求 b、c 的值；(2) 求出该二次函数图象与 x 轴的交点 B C 的坐标；(3)如果某个一次函数图象经过坐标原点0 和该

7、二次函数图象的顶点 M 问在这个一次函数图象上是否存在点 P,使得 PBC 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在,请说明理由.xoy 中，一次函数-的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于32 在 x 轴上是否存在点 巳使厶 PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若14.如图，在直角坐标系点 B.(1) 已知 OCL AB 于 C, 求 C 点坐标;15.如图，已知二次函数 y=ax2- 4x+c 的图象与坐标轴交于点A(- 1, 0)和点 C(0, - 5).(1 )求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点 B 的坐标.(2)在上面所求二次函数的对称轴

8、上存在一点P (2,- 2),连接 OR 找出 x 轴上所有点华罗庚数学：中考第一讲二次函数与多边形存在性问题参考答案与试题解析一.解答题(共 15 小题)1.如图，二次函数 y=ax3+bx 的图象经过 A (1,- 1)、B (4, 0)两点.(1) 求这个二次函数解析式；(2) 点 M 为坐标平面内一点，若以点 O A、B M 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写 出点 M 的坐标.3 .已知在平面直角坐标系中有三个点，点A ( 0, 3) , B (- 3, 0), C (1, 0)(1) 求经过AB、C 三点的二次函数解析式；(2)在平面直角坐标系中再找一个点 D,使AB、C、D 四

9、点构成一个平行四边形. 【解答】解：(1)设二次函数解析式为 y=a (x+3)( x- 1),把(0, 3)代入得 a?3? (- 1) =3,得到 a=- 1,【解答】解：(1 厂二次函数 y=ax2+bx 的图象经过 A (1, - 1 )、B (4, 0)两点,a+b= - 1L16a+4b=012q二次函数的解析式为 y= x - x.JJ(2)根据题意得：M (3, 1 )、M (- 3,- 1 )、M (5, - 1).解得所以=(x+3)( x 1)，即 y= x2- 2x+3;(2)如图，D 点坐标为(4, 3)或(-4, 3)或(-2, 3)设抛物线的解析式为 y=a (x

10、+2)( x 3).将 C 点坐标代入后可得：a(0+2)x(03)=3,a=.i|2-因此抛物线的解析式为y= -(x+2)( x 3) = x + x+3;(2)如图；存在这样的 P 点，且坐标为 P ( 1 , 2)3.如图，二次函数的图象与x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C.且 0A=20C=0B=3(1)求抛物线的解析式;E,试在抛物线上确定点P,使得四边形OBEF 为平B( 3, 0), C ( 0, 3)(2)作ODLB理由： OB=OC / COB=90/CBOMOCB=45 / ODL BC/CODWBOD=45因此 E 为直线 y=x 与抛物线的交点,1 2

11、 1o因此有：解得：|沪21v=，即 E 点的坐标为(2, 2)若四边形 OBEP 是平行四边形，那么 EP=OB 且 EP/ OB 那么 P 点的坐标为(-1 , 2)当 x=1 时，抛物线的值为 y= -(x+2)( x - 3) =-X1X(- 4) =2因此 P 点在抛物线上.24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax +bx+c 的图象经过 A (3, 0)、B (1, 0)、C (0.3 )三点，设该二次函数的顶点为G.(1)求这个二次函数的解析式及其图象的顶点G 的坐标；(2 )求 tan / ACG 的值；(3)如该二次函数的图象上有一点P, x 轴上有一点 E,问是否存

12、在以AG E、P 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.1, 2)_ 2 1 -,B (1, 0)、C ( 0.3 )在二次函数 y=ax +bx+c 的图象上,9a+3b+c=0二J：I c-3Lc=3 y= ( x-2)3- 1,顶点 G (2,- 1).(3)当 AG 为边时，作 GHLx轴于 H, PNLx轴于点 N /PNEMGHA=903 G 作 GHLx轴于点 H, GFly轴于点 F,/ G ( 2, - 1 )、A (3, 0)、B (1, 0)、C (0.3 ),CF=4 GF=2 GH=1 HA=1,在 Rt GFC Rt AOC Rt GH

13、A 中由勾股定理， 得 AC=18,GC=20 , AG=2ACG 是直角三角形，且/ CAG=90 ,解得:a=l b= -4,二次函数的解析式为:y=x2- 4x+3,tan / ACG= =四边形 PEGA 是平行四边形， PE=AG/PEAKGAEPNEAGHA PN=GH=1 设 P ( m 1)2m -4m+3=1, m=2 二， P (2 土二，1),当 AG 为对角线时，不可能.综上所述，点 P 的坐标为(2 乙 1),点为 D,连接 AC CD AD.(1) 求该二次函数的解析式；(2 )求厶 ACD 的面积；(3)若点 Q 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P,使得以

14、A、B【解答】解：(1 )当 x=0 时，y=3，即 C (0, 3)5.如图抛物线y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A (- 3, 0),B (1, 0)两点，与y 轴交于点 C,顶P 的坐标；若不存在,Q P 四点为顶点请说明理由.将 A、C、B 点坐标代入、及对称轴，得9a - 3b+c=0 a+b+c=O ， c=3a= - 1解得 b 二一 2, &3抛物线的解析式 y= - x2- 2x+3;(2)Ty=- x2- 2x+3= -( x - 1)2+4,得顶点坐标是(-1, 4),由勾股定理，得AC=32+( 0 - 3)2=18,CD= ( 0+1)2+ (3 - 4

15、)2=2,AD= (- 1+3)2+ ( 4- 0)2=20,AC+CD=AJ, ACD 是直角三角形,1, 4), Q (- 1 , - 4);? V - -j-W1ST勺圏3?ABPQ PQ=AB=4 P 点的横坐标为-1+4=3,当 x=3 时，y= 9 6+3=- 12,即 Pa(3, 12),综上所述：Pi( 1, 4), P2( 5, 12), Pa(3, 12).6.如图.已知二次函数 y= x2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为 A(4, 0)B.(1)求此二次函数关系式和点 B 的坐标;如图 2p . - -二 图 2?ABQP PQ=AB=4 1 4= - 5,12)

16、;，与 y 轴交于点（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点 P.使得 PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在, 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）把点 A （4, 0）代入二次函数有:0= 16+4b+3得：b=4所以二次函数的关系式为：y= X2+=X+3.4当X=0 时，y=3点 B 的坐标为（0, 3）.（2）如图:作 AB 的垂直平分线交X轴于点 P,连接 BP, 则：BP=AP 设 BP=AP=X贝 U OP=4-X, 在直角OBP中，Bh=oB+oP 即：X2=32+ (4 X)2解得：X=a - OP=4 =8 E一 ?所以点 P 的坐标为：（，0）

17、综上可得点 P 的坐标为（，0）.7.如图，已知二次函数 y=ax2-4x+c 的图象与坐标轴交于点 A(- 1, 0)和点 B (0,- 5)(1) 求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点 P,使得ABP 的周长最小.请求出点 P 的坐标.(3) 在(2)的条件下，在 x 轴上找一点 M,使得AAPM 是等腰三角形，请直接写出所有符 合条件的点M 的坐标.【解答】解：(:1 )根据题意，得0=aX( - 1 )2- 4X (- 1)+c*-o2- 4X0+c(a=l解得，c - 5二次函数的表达式为 y=x2- 4x - 5;(2 )令 y=0,得二次函数 y=x2-

18、4x- 5 的图象与 x 轴 的另一个交点坐标 C( 5, 0);由于 P 是对称轴 x=2 上一点，连接 AB,由于 | AB=VoA?+OB2=V2e，要使 ABP 的周长最小，只要 PA+PB 最小;由于点 A 与点 C 关于对称轴 x=2 对称，连接 BC 交对称轴于点 P,则 PA+PB=BP+PC=BC 艮据 两点之间，线段最短，可得 PA+PB 的最小值为 BC因而 BC 与对称轴 x=2 的交点 P 就是所求的点；设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，根据题意可得 1 20=5k+b解得(k=1山-5所以直线 BC 的解析式为 y=x - 5;( 9 分)_ TX=2因此直线

19、 BC 与对称轴 x=2 的交点坐标是方程组 的解, 尸工5所求的点 P 的坐标为(2,- 3);&如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx- 4(0)的图象与 x 轴交于 A(-2, 0)、C( 8, 0)两点，与 y 轴交于点 B,其对称轴与 x 轴交于点 D.(1) 求该二次函数的解析式；(2) 如图 1,连结 BC 在线段 BC 上是否存在点 E,使得 CDE 为等腰三角形？若存在，求 出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.0）或（-1, 0）或（2, 0）E在线段 BC 上，设 E 点坐标为(mm - 4).【解答】解：(1 )二次函数

20、y=ax2+bx - 4 (0)的图象与 x 轴交于 A (- 2, 0)、C( 8, 0)两点,解得该二次函数的解析式为y= x2- x - 4; 4文(2)在线段 BC 上是存在点 E,使得 CDE 为等腰三角形,由二次函数-2y= x -三 x - 4 可知对称轴 x=3, D( 3，0)/ C ( 8, 0)CD=5由二次函数1 Gy=_x2-三 x - 4 可知 B (0, - 4).设 BC 的解析式为 y=kx+b ,将 B、C 点坐标代入，得8k+b=0b=-4? 4解得BC的解析式为y=x - 4./ AOB=90 ,由勾股定理得:OA+OB=AB1当 CD=DE 寸，即(m

21、- 3)2+ ( m- 4)2=25,解得 m=0, m：2当 m=0 时，一 m- 4= - 4,2Ei(0,-4);2当 EC=DE 寸，(m- 8)2+ ( _m- 4)2= (m- 3)2+ ( .m- 4)（不符合题意舍去） ，2,解得呛=.,当 N时m-4= 7-4=-,当CD=CE寸,(m- 8)2+ (二 m- 4)2=25,解得 04=8+2,当m=8+厂综上所述：所有符合条件的点 E 的坐标为 Ei（0, - 4） ; E2（m=8 - 2 旋（不符合题意舍），可以求得AB 的交点坐标分别为:B（，： +b）, A（- :- l+b),9.如图，直线 y=x+b 与二次函数

22、 y=x2+x - 4 交于 A、B 两点,解得：xi=, X2=- ,(1J)2+1 J+b)2+( 1 J+b)2=(2：J)%( J+b+ -.1b2-2b-8=010.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A ( 3, 0), B( 2,- 3), C( 0,- 3)(1 )求此函数的解析式和对称轴；(2 )试探索抛物线的对称轴上存在几个点P,使三角形 PAB 是直角三角形，并求出点 P 的坐标.【解答】解：(1 厂二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A (3, 0), B (2, - 3), C ( 0, -3),9a+3b+c=0 4 且+2b+c 二-

23、3 ,口3a=l解得，c=-3此函数的解析式为 y=x - 2x - 3,对称轴为直线 x= -： = -_=1,N 2X1即直线 x=1 ；(2)设对称轴与 x 轴的交点为 D,则 AD=3-仁 2,如图 1，点 A 是直角顶点时，过点 B 作BELx轴于 E, A ( 3, 0), B ( 2,- 3), BE=3 AE=3- 2=1,/PAD/ BAE=/ PAB=90 ,/ PAD/ APD=180 - 90 =90,/APD/ BAE又/ ADP/ AEB=90 ,ABEAPAD.AE BE= ,PE AL即=,PE 2解得 PD=,点 P 的坐标为（1,）;如图 2,点 B 是直角

24、顶点时，过点 B 作 BELx轴于 E,作 BF 丄对称轴与 F ,则 AE=1 , BF=2- 1=1 , DF=BE=3/ ABE/ PBE=90 ,/ PBF+/ PBE=90 ,/ABE/ PBF又/ AEB/ PFB=90 , ABEAPBF,E - FGJl lPFPF解得PFJ ,w1 E PD=DFPF=3-=,GaJ J点 P 的坐标为(1,-);3如图 3，点 P 是直角顶点时，过点 B 作 BE!对称轴于 E,/1+Z2=180-90=90,/1+Z3=180-90=90,/ 2=7 3,又/ ADP7PEB=90,AT_ PEFT祈,2=旦_F-=,整理得，PD- 3P

25、D+2=Q解得 PD=1 或 PD=2,点 P 的坐标为（1,- 1 ）或（1 , - 2）,c综上所述，在对称轴上存在P1( 1 ,), P2( 1 , -), P3( 1 , - 1 ), P4( 1 ,2)共 411.如图，二次函数 y=x2+bx+c 图象经过原点和点 A (2, 0)，直线 AB 与抛物线交于点 B,且/ BAO=45 .(1)求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；(2)在直线 AB 上是否存在点 D,使得 BCD 为直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若(b 2解得：c=0二次函数的解析式为 y=x2- 2x.点(0, 0)与(2, 0)关于 x=1 对称,抛物线的

26、对称轴为 x=1 .将 x=1 代入得：y= - 1.点 C 的坐标为(1,- 1).(2)/ BAO=45 ,直线 AB 的一次项系数为-1.(2, 0)代入函数的解析式得:f4+2b+c=01 c=0设直线 AB 的解析式为 y= - x+b,将(2, 0)代入得：-2+b=0,解得：b=2.直线 AB 的解析式为y-x+2.如图 1 所示：当/ ADC=90 时. CDL AB.直线 CD 与直线 AB 的一次项系数的乘以为-1 .直线 CD 的一次项系数为 1.设直线 CD 的解析式为 y=x+b .将 C （1,- 1 ）代入得：1+b=- 1.解得：b= - 2,直线 CD 的解析

27、式为 y=x - 2.- x+2将 y= - x+2 与 y=x - 2 联立得：2解得：x=2, y=0.点 D 的坐标为（2, 0）.尸-x+2沪1K=2将y=-X+2 与y=x - 2x联立得：|尸*_2x，解得：|尸 3 或尸 0点 B 的坐标为（-1, 3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将(-1, 3)、( 1, - 1)代入得:解得:/ CDL BC直线 CD 的一次项系数为解得：c=1口直线 CD 的解析式为 y=.;-三厂fy= - x+2将 y= - x+2 与 y= x 卡联立得：*13 .J -尸 二区一字 2 2(7点 Q 的坐标为(，-).由图形可知/ CB

28、D=90 的情况不存在.一 7 1综上所述，点 Q 的坐标为(2, 0)或(，).12.如图：已知，直线 l112，垂足为 y 轴上一点 A,线段 0A=2 0B=1.(1) 请直接写出AB C 三点的坐标；(2) 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 A、B C,求出函数的解折式；(3)( 2)中的抛物线的对称轴上存在巳使厶 PBC 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标.-k+b=3k+b= - 1 直线 BC 的解析式为y= - 2x+1.设直线 CD 的解析式为尸严，将点 C 的坐标代入得:=-1.解得：【解答】解：(1)由已知得；A ( 0, 2), B (- 1 , 0

29、),根据射影定理得：0C=4故 C (4, 0);再将 C 点代入解析式可得：c=2,所以解析式为 y= - x2+-x+2 ；(3)易知 BC=4-( - 1) =5,抛物线的对称轴为 x=1.5 . 若存在符合条件的P 点，根据等腰直角三角形的性质可知：|yp|= -BC=2.5,故：P (1.5 , 2.5 )或 P (1.5 , - 2.5 ).13.已知二次函数 y=x2+bx+c 图象的对称轴是直线 x=2,且过点 A (0, 3).(1 )求 b、c 的值；(2) 求出该二次函数图象与 x 轴的交点 B C 的坐标；(3)如果某个一次函数图象经过坐标原点0 和该二次函数图象的顶点

30、M 问在这个一次函数图象上是否存在点 P,使得 PBC 是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】解：(1 )二次函数 y=x2+bx+c 图象的对称轴是直线 x=2,且过点 A (0, 3),代入得：-一 =2,3=c,解得：b= - 4, c=3 ,答：b= - 4, c=3.(2)把 b=- 4, c=3 代入得：y=x2 4x+3,2当 y=0 时，x 4x+3=0,(2)先将 B、C 点坐标代入解析式得:f 1a+b+c=O,16a+4b+c=0解得：Xi=3, X2=1,B?( 3, 0), C ( 1, 0),答：二次函数图象与 x 轴的交点 B C 的坐标分别是(3, 0),( 1, 0)(3)存在：理由是：y=x2 4x+3,=(x - 2)2- 1 ,顶点坐标是(2, 1),设一次函数的解析式是 y=kx+b ,把(0, 0),( 2, 1 )代入得：f0=b-l=2k+b?解得：*2,b=01-y=X,设 P 点的坐标是(X,- X),2取 BC 的中点 M 以 M 为圆心，以 BM 为半径画弧交直线于 G H, 则 G H 符合条件，由勾股定理得；(X 2)2+ (-丄垃-0)=12,2解得：X1=W, X2=2, G (二，-三)，H (2, 1);过 B 作 BF 丄X轴交直线于 F,1煜把