广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学理试题

1、绝密启用前 试卷类型：A“十校”20122013学年度高三联考数学(理科)试题本试卷共4页，21小题，满分150分考试时间120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答

2、案无效一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合,为虚数单位，.则正确的是（ ）A.B. C. D. 2.如果命题“”是假命题，则下列说法正确的是()A. 均为真命题B. 中至少有一个为真命题C. 均为假命题D. 中至少有一个为假命题3.等差数列中，已知,则为（ ） A. B. C. D.4. 在中,内角、所对的边分别是,已知， ,则（ ）A. B.C. D. 5. 函数满足，若，则( ). . . .6为了弘扬孝道感恩的美德，某学校准备组织一批学生观看亲情励志电影孝女彩金.现有张孝女彩金的电影票分给个班的学生去观看，每个班至少分一张电影票，则不同的分法有（ ）种A. B.

3、 C.D.7.某几何体的三视图如图所示，当取最大值时，这个几何体的体积为()A. B.C. D.8定义：关于的不等式的解集叫的邻域.已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为( ) ks5uA. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分ks5u(一)必做题（913题）9.某单位有职工人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知号、号、号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是 .10.在二项式的展开式中，含的项的系数是 .11.在中,=2 则 .12在可行域内任取一点，

4、规则如流程图所示，则能输出数对的概率是 .13.设函数在（，+）内有意义.对于给定的正数K，已知函数，取函数=.若对任意的（，+），恒有=，则K的最小值为 .(二)选做题（1415题，考生只能从中选做一题,两题全答的，只计算前一题得分）14.如图，四边形是圆的内接四边形，延长和相交于点.若,则的值为 .15.已知抛物线的参数方程为（为参数）,若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则半径=_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）设（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的集合；（2）若锐角满足，求的值17. （本小题满分1

5、2分）某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望18. （本小题满分14分） 如图5，在四棱锥中，平面，是的中点. （1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求四棱锥的体

6、积.19.（本小题满分14分）已知数列、满足：，.（1）求；（2）设，求数列的通项公式；（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围.20. （本小题满分14分）已知的顶点A在射线上 ，、两点关于轴对称，O为坐标原点，且线段上有一点满足.当点在上移动时，记点的轨迹为.（1） 求轨迹的方程；（2） 设点,，求证：.21. （本小题满分14分） 已知函数.数列满足,. 数列满足,.（1）求的单调区间;（2）求证:且;（3）若则当时,求证:.“十校”20122013学年度高三联考数学(理科) 试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案ABCAD

7、CDB 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题 9. 19 10. 10 11.-4 12. 13. 2 14. 15. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分l2分）（1）解： 1分 2分 3分故的最大值为；此时5分最小正周期 6分（2）由得， 7分故， 8分又由得，故，解得11分从而 12分 17.（本小题满分12分）解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 2分（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 6分（3）的可能取值为0、1、

8、2、3高.考.资.源+网 7分高.考.资.源+网 ； ； 分布列为 11分高考资源网. 12分另解：的可能取值为0、1、2、3高.考.资., 7分 ，. 9分分布列为 10分所以=. 12分18. （本小题满分14分）（1）如图（1），连接，由,得1分是的中点，所以 2分所以 4分而内的两条相交直线，所以平面. 5分（2）过点作由（1）平面知，平面.于是为直线与平面所成的角，且. 8分由知，为直线与平面所成的角9分由题意，知因为所以 10分由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是 12分又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 14分解法2：如图（2），以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐

9、标系.设则相关的各点坐标为： 1分. 2分（1）易知因为所以 4分而是平面内的两条相交直线，所以 5分(2)由题设和（1）知，分别是、的法向量. 6分由（1）知， 7分 而直线与所成的角和直线与所成的角相等，所以 8分由故 10分解得. 12分又梯形的面积为，所以四棱锥的体积为 . 14分19.（本小题满分14分）解：（1） , . 3分（2）解法一. 5分 数列是以4为首项，1为公差的等差数列. 6分 . 8分解法二：猜想：，下面用数学归纳法证明. 4分当时，时成立； 5分假设时， 则时， 故对任意，成立. 7分 . 8分 （3）由于，所以，从而.9分11分 由条件可知恒成立即可满足条件，设

10、当时，恒成立 12分当时，由二次函数的性质知不可能成立 13分当时，对称轴 ，在为单调递减函数， 时恒成立 综上知：时，恒成立 14分解法二.由于，所以，从而.9分11分 , . 12分 设 ，由于，所以恒成立， 所以递减，所以，. 14分20（本小题满分14分）（1）解：因为A, B两点关于x轴对称，所以AB边所在直线与y轴平行. 设M，由题意，得， . 2分 所以, 因为所以即. 5分所以点M的轨迹W的方程为. 6分（2）证明：设 因为曲线关于轴对称， 所以只要证明“点M在轴上方及轴上时，”成立即可. 以下给出“当时，” 的证明过程. 因为点M在上，所以.当时，由点M在W上，得点, 此时, 所以,则 .9分当时，直线PM、QM的斜率分别为,10分所以. ,11分 因为,所以,且. 又,所以且, 所以 12分 因为点M在W上，所以,即，所以 ,所以 . 14分21.（本小题满分14分）（1）解:因为,所以函数定义域为 1分且 , 2分由得所以的单调递减区间为；由得,所以的单调递增区间为（0，+）. 3分所以的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+）. 4分 (2)先用数学归纳法证明,.（1）当时,由已知得结论成立.（2）假设当时,结论成立,即.则当时,因为时,所以在