高数红宝书——第4章_向量代数与空间解析几何

1、2010智轩考研数学创高分红宝书系列-高等数学第四章 向量代数与空间解析几何【数学1，A】2009年考试内容向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积 两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角 向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦 曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离 球面 柱面 旋转曲面 常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程2009年考试要求1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2. 掌握向量的运

2、算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4. 掌握平面方程和直线方程及其求法。5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6. 会求点到直线以及点到平面的距离。7. 了解曲面方程和空间曲线方程的概念。8. 了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。一、三基及其延拓 1. 向量代数 研究的对

3、象为自由向量，研究的空间限于实物空间，即不超过三维的空间。向量的一般表示,等几何表示：以原点为起点的有向线段。坐标表示： 投影表示： ； 坐标系：任何极大完备无关向量组可以构成坐标系，如果将该向量组施密特正交化和单位化，则构成正交直角坐标系，很显然， 如果中的每一向量是3维（，有三个坐标分量），则不可能由二维坐标系（，有二个独立分量）表示，这个思想应特别注意。 向量的方向角和方向余弦与轴、轴和轴的正向且非负的夹角称为的方向角。称为的方向余弦，且 任意向量（为的单位向量，并规定离开原点为正方向。）称为的单位向量，并且 。 任意向量线元（为的单位向量，并规定离开原点为正方向。） 任意向量面元（为面

4、元法线的单位向量，并规定与轴夹角为锐角时为正方向。） 夹角专题 两向量的夹角规定：为两向量不大于的夹角，即。 直线与平面的夹角规定：直线与该直线在平面上的投影直线之间的夹角，。 平面与平面的夹角规定：两平面的公垂面与他们的截痕直线之间的夹角，。 又等于他们的法线之间不超过的夹角。 定比分点公式：为同一直线上的三点，数量积 又称标积或点积，表示为 或： 称为在上的投影。注意：数量积本质上就是一个实数。 在三维以上空间的数量积称为内积 ，且可表示为 向量积 又称叉积或外积，表示为 方向规定：转向角不超过的右手螺旋定则。 ， 几何意义： =平行四边形的面积； 混和积 表示为 几何意义： 代表平行六面

5、体的体积；求导法则 2、场论考点场的概念： 在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的确定值，叫做该空间的物理量的场，分为数量场与向量场两类。数量场用梯度描述，向量场用散度与旋度描述。场论的数学核心：梯度算符，用表示，定义为 。梯度定义： ，就好比楼梯的陡度。散度定义： ，表示分散的程度。 如果没有分散，则散度为零，如静磁场的散度。旋度定义： ，表示蜗旋的程度。 如没有闭合，即不存在蜗旋，则旋度为零，如静电场的旋度。运算关系（本知识点内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数AB需掌握） 高斯公式的场论表示 斯托克斯公式场论表示 平面格林公式 评 注 在高斯公式和斯托克斯公式中，各符号的

6、具体意义如下： 评 注 读者最难理解是关系：。其实就是的方向余弦元投影面元的关系，读者可在三维空间作一个平面。然后在该平面内过点画无数线元，每一线元在平面的投影为，显然，并有：，同理可得其他两个坐标平面的面元投影关系：。上述关系是读者能否学好空间积分的关键，务必掌握。3、万能坐标系正交曲线坐标系（本小节内容数学1-4不作要求，高数甲乙或高数需掌握）在该系中任一曲线元 为球面系、柱面系等坐标曲线元。对直角坐标 ； ；对柱坐标系 ；对球坐标系 ；则 即：而 （无须掌握证明过程）（无须掌握证明过程）记住的结论形式即可。 拉普拉斯算子在球坐标系的形式 拉普拉斯算子在柱坐标系的形式 ； 4. 直线方程

7、方向向量：一簇与该直线平行的方向数；一般用表示直线的方向向量。一般式方程，一般表示平面的法线向量。则直线的方向向量 点向式（标准式） 参数式 为直线上已知点， 方向数：两点式方向角式：，为已知。直线间关系点到直线的距离直线到直线的距离 两平行直线的距离同上 两异面直线的距离（画出平行六面体图推导出下式） 其中：和分别为两直线上的任意两点，不管这两点位置如何， 的投影的模都等于。5. 平面方程一般式 法线方向向量 形象记忆掌握法：“影评”（隐蔽平行坐标量），如不出现，则y轴；依此类推。点法式三点式=0截距式：即平面经过下列三点： 平面束方程 不包含；如果所求平面通过已知直线（一般式），则用平面束

8、方程会比较简便，但必须验证是否满足所求结论，以免遗漏。平面间的关系 =0 夹角 点到平面的距离，对直线到平面的距离只要在已知直线上任取一点即可类似处理 证明：在平面上任取一点，作平面的法线向量，则 。 两平行平面之间的距离 6. 平面与直线之关系夹角 7.曲面及其方程 7.1 准线与母线的界定准线一般指基准曲线，如旋转轴，圆或圆锥曲线；母线顾名思义是由该曲线旋转或平移（可以是空间平移）后可以生成所要求的曲面的曲线（就像母亲生孩子）；其中的旋转轴和平移基准也就是准线。如一条直线沿某一圆周平移一周形成圆柱面。7.2 二次曲面 二次曲面的二次型表示 的特征值就确定了三类曲面： 大纲中只要求掌握一部分

9、二次曲面，包括：九种常用二次曲面，圆柱面和一般锥面。如何掌握？下列技巧提供了全面解决方略。陈氏第6技 从准线与母线的三种关系和陈式4法来系统掌握考点，并理解曲面图形。 7.3 投影方程的确定任一空间曲线: 在平面上的投影构成一条平面曲线投影曲线；以投影曲线为母线沿垂直于平面的任意准线移动构成投影柱面，如直线的投影柱面就是一个垂直于的平面。如求曲线在平面上的投影方程由中消去得到一个母线z轴的柱面方程 。则投影于平面上的投影方程为评 注 空间几何解题一般切入点：首先尽可能画出草图，思考所求结论必须知道几个可能的条件，这些条件在题目中一般又是隐含出现的，我们的目标就是从隐含条件推出需要的条件，然后套

10、用直线或平面的方程类型。其中，重点注意已知直线的方向向量和已知平面的法向向量与待求直线或平面的关系。【例1】 求直线 在平面：=0上和三个坐标平面上的的投影方程。 解： 第一步 求投影柱面（对直线投影而言投影柱面就是投影平面）方程 的，该平面显然与垂直，又则易知 又也通过，可以利用上的已知点，则为 在平面投影正好为与的交线，其方程为 直线在三个平面上的投影方程为：8. 二次曲面方程和图形的研究 8.1 准线和母线是研究曲面的核心技术。已知曲面方程，用零点法可确定准线和母线，从而确定曲面的生成方式；用截痕法可以确定曲面的具体形状；用伸缩法可以研究曲面之间的转换，建立新曲面方程和后面的将要建立的旋

11、转曲面方程要使用动静点转换法。研考数学中的曲面都是由母线沿准线空间平移或旋转及坐标伸缩变形而形成。 零点法 例如：分析曲面方程为 的图形，令为一开口向下的抛物线；令为一开口向上的抛物线；这两个抛物线就构成了该二次曲面的准线和母线，可以想象，该二次曲面是有其中一个抛物线沿另一个抛物线平移生成。 截痕法 平面与曲面的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面的形状的方法，称为截痕法。例如：在中，令，这是一条双曲线，也就是用水平平面截该曲面时，其截痕是双曲线。综合零点法的分析，我们就能够确定：正是双曲抛物面，即马鞍面。 伸缩法 如在曲面上取一静点，现把变形为动点，然后想办法消去静点坐标（即动静点转换

12、法）。又，给定两了点坐标的伸缩变换关系，如令，则：称为原曲面经伸缩变形后的新曲面方程。例如圆柱面变成椭圆柱面：又如圆锥面变成椭圆锥面：8.2 常用曲面之一：柱 面评 注 柱面是由母线沿准线空间平移形成，柱面的准线和母线必有一个是直线。其中，直线为准线，曲线为母线。如果是圆柱面，则准线和母线可以互换；如果为非圆柱面，如棱柱面，则必须取直线为准线，曲线为母线。 圆柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面特点：柱面方程中，柱面轴平行于隐含的坐标轴，如的轴平行于轴。注意：在三维情况下圆的方程的一种形式为形象记忆掌握法：影（隐）评（平）。 柱面方程的一般求法： 给定准线和母线的方向，求柱面方法如下：设为柱面上

13、的任意点，根据柱面形成的过程，必在准线上有相应的点，使得，由此可以利用直线的方程将两点的坐标间关系找出来，即： （1）又由于在上，故 （2）用（1）式代入（2）式，由得 所求的柱面方程为 例如：已知母线方向及准线，则柱面方程为 这是一个斜的椭圆柱面。特别地：若母线平行某一坐标轴，如平行，则，则柱面方程就是： 8.3 常用曲面之二：旋转曲面（母线沿直线准线旋转移形成） 平面曲线沿z轴旋转不能形成曲面； 平面曲线沿轴旋转； 平面曲线沿轴旋转。形象记忆法：舅留加饭（方）。即旋转轴留在曲面方程中，增加没出现的一个变量，然后相加开平方。如二维曲线绕旋转后的曲面方程为 特别地：当母线为直线并与准线相交时，

14、旋转或平移则形成圆锥面。例如：直线（母线）(为两直线小于90度交角的一半)沿轴（准线）旋转后，变为即为锥面方程，也可以由直线（母线）沿某一园空间平移一周而形成锥面。锥面方程的一般求法：给定准线和原点，求锥面方程如下：设为锥面上的任意点，根据锥面形成的过程，必在准线上有相应的点，使得在直线的延长线上，直线的方向数显然为即： （1）又由于在上，故 （2）用（1）式代入（2）式，得所求的锥面方程为 可见以圆点为顶点的锥面方程是齐次方程。例如：已知顶点在原点及准线，则锥面方程为 这是一个椭圆锥面。【例2】求以原点为顶点且与三坐标的截距相等的圆锥（正圆锥）方程。解：设锥面与三坐标的交点为，得该三点确定的

15、平面方程截距式为：，该平面与正圆锥的的交线是一个圆，这就是准线。又设为锥面上任意点，为原点， 为母线与准线的交点，则母线方程点法式为令代入准线方程得即为所求的锥面方程。空间曲线旋转形成的曲面（可以沿任意轴旋转） 空间曲线的参数方程：，空间曲面的参数方程：沿轴旋转后形成的曲面方程为： 【例3】求曲线绕轴旋转一周所形成的曲面方程。 解：先将曲线写成参数式 绕轴旋转一周后 9种必须掌握的曲面1）椭球锥面 2）椭球面 3）单叶双曲面 4）双叶双曲面 5）椭圆抛物面 6）双曲的抛物面 又称马鞍面（准线与母线是相互正交的抛物线，母线抛物线沿准线抛物线平移形成马鞍面，这是我们需要掌握的唯一一个准线与母线都是

16、非直线的曲面。）7）椭圆柱面 （椭圆）母线平行轴8）双曲柱面 母线平行轴9）抛物柱面 母线平行轴五星级提示：对于一般的曲面方程，最方便的方法是：首先令其中一个变量为零，如能得出母线或准线，我们就能确定该曲面的形状。二、 典型题型【例4】 证明向量 表示向量与的角平行线方向。证明：因为单位向量：由与为边构成的平行四边形为棱形，其对角线平分顶角，则与与夹角平分线平行的向量故原命题成立。【例5】 一向量与轴夹角相等为，与轴夹角为，试确定该向量的方向。解：由于 ，所以： 故该向量的方向为。【例6】 过点（-1，0，4），平行于平面且与直线相交的直线方程。 解：一般切入点：如果所求的直线方向向量不能明显

17、求出，就设直线方程的参数形式。设所求直线方程为： 直线与已知平面平行，则 两直线相交，则将代入消去得 联立（1）（2得，所求的直线方程为【例7】 判断 ：；和 ： 是否共面，若在同一平面求交点，若异面求距离？解：为异面直线。设两直线距离为，, , 则由二元函数极值的充分条件知：是最小值点，所以 也可直接套用公式计算距离： 【例8】判断 ：；和 ： 的关系。 解：两直线的有四种关系：异面；相交；平行但不重合；重合。 故不平行，也不重合； 看两直线有无交点，将写成参数式，代入的两平面，看看能否得到同一个 故两直线不相交，所以两直线异面。【例9】求过点，且与直线 都相交的直线方程。解：由于所求直线过

18、与相交，则必在过与的平面上，同理它也必须过与的平面上，和联立的交面式直线方程即为所求的方程。又，过的平面束方程为： 将带入上式得过的平面束方程为： 将带入上式得故所求直线方程为 【例10】求满足下面条件的直线方程 过点； 与平面：平行； 与直线：相交。解：已知直线的方向，其上由一点，根据已知条件，过作平行于平面的平面 ：再根据已知条件，作平面通过点和直线，显然所求直线方程为【例11】设有直线 求与关于原点对称的直线的方程； 求与关于平面对称的直线的方程； 求与关于平面：对称的直线的方程；。解：对于任何在直线上的静点，由于与关于原点对称，从而与点关于原点对称的动点必在上，故的方程为： 对于任何在

19、直线上的静点，由于与关于平面对称，从而与点关于平面对称的动点必在上，故的方程为： 与平面的交点也在所求的直线上，且该点坐标满足由上面的方程组得到： 从而解的交点点坐标为。的方向数可根据向量代数的基础求得： 故所求直线的方程为：【例12】证明 是异面直线，并求公垂线方程即公垂线的长。 解：的方向向量，经过点；的方向向量，经过点，由于 ，所以是异面直线。公垂线的方向向量 那么，经过并且与平行的平面的方程为 经过并且与平行的平面的方程为 而平面的交线即是公垂线的方程 公垂线的长为 【例13】求过点及直线的平面。 解：将写成一般式 经过的平面束方程为 以代入得 ，得平面方程为 又，采用这个平面束方程时

20、没有包括这个平面，但不经过点，故不是所求。【例14】求经过直线，并且与平面交成二面角为的平面方程。 解：平面束方程为 又有 得平面方程为 由于平面束方程没有包括，故需要验证如下 所以，所求的平面方程为 或【例15】设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。 解：平面束方程为 又 切平面法向向量为 则平面束方程中只有过的，且其法线平行的平面才能满足要求，即 。【例16】垂直通过平面， 坐标已知，离平面的距离为线段的，求的坐标。 解：由定比分点公式得与平面的交点坐标为 该点满足平面方程，则 （1） （2）（2）代入（1）可解得 所以的坐标为 【例17】求直线在平面上的投影直线绕轴旋转一周所形成

21、的曲面方程。 解：再次提示：如果所求的平面通过一已知直线，则使用平面束方程简便。 经过的平面束方程为 所求为将写成参数式绕轴旋转一周后形成的曲面方程 陈氏第7技 动静转换法求旋转曲面方程。【例18】求曲线绕轴旋转形成的曲面的方程。解：建立旋转面、锥面与柱面的方程的一般方法是等效变换静点和动点的所满足的几何关系。 设曲线存在一静点，对任意在旋转面上的动点，其坐标关系为，得曲面的方程为 【例19】求直线：绕直线：旋转一周的曲面方程。解：设直线上的一静点，对应的旋转曲面上任意动点。为旋转中心，显然，则 又在上，故有： 代入 得所求的曲面方程为： 【例20】求准线，母线方向为的柱面方程。解：设（动点）为所求柱面上的一点，按该题的含义，形成柱面的是准线沿母